8年级数学下册期中温习演习题[精彩]

8年级数学下册期中温习演习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 [精彩] 分解因式复习 1、提公因式法 ?公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的,. ?提公因式法:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am，bm，cm,m(a+b+c) ?具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“,”号，使括号内的第一项的系数是正的. 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法: (1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(b-a) 提公因式法小结: 1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。 2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。 3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用 4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0(提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致) 2、运用公式法 • 乘法公式有: • 平方差公式:(,，,)(,,,),,?,,?. • 完全平方公式:(,，,) ?,,?，2,,，,?， • (,,,) ?,,?,2,,，,?. • 立方和与立方差公式: • (,，,)(,?,,,，,?),,3，,3， • (,,,)(,?，,,，,?),,3,,3. 注意:1、平方差公式运用的条件:(1)二项式(2)两项的符号相反(3)每项都能化成平方的形式 2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3、各项都有公因式，一般先提公因式。 3、分组分解法 分组分解法:把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 例1: 把下列各式因式分解(分组后能提公因式) 2 (1)a-ab+ac-bc (2)2ax-10ay+5by-bx 2(3) 3ax +4by+4ay+3bx (4) m+5n-mn-5m 4、拆项、补项法 拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. 221、已知，求x,y的值 xyxy，,，，,46130 5、替代法 当发觉公因式比较复杂时，可以用一个简单字母来代替公因式，这样是做题思路清晰，不容易出错。 2(6x ，x) ,11(6x ，x) ，5 (提示:利用a替代(6x ，x)) 2 2m+10m(a+b)+25(a+b)分解因式. 6、十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 例: 分解因式 222215x，3x，2x，x,x,7x，6(1) (2) 222x,4x,21x，3x,106x,13x，6(3) (4) 2点拨:把 分解因式时: x，px，q 1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同 2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因 数与一次项系数P的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P 变式练习:(可以使用十字相乘法) 4222432(1) (2) x，6x，8x,3xy，2yx,3x,28x七、系数法:给系数变形一下，每一项同时乘以一个数后再或者除以 122分解因式: 2xy,2 总结: 多项式因式分解的一般步骤: ?如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; ?如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ?如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ?分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 2. 若|m+4|与n?-2n+1互为相反数，把多项式x?+4y?-mxy-n分解因式。 解:|m+4|+(n-1) ?=0 则 m+4=0,m=-4;n-1=0,n=1; x?+4y?-mxy-n =x?+4y?+4xy-1=(x+2y) ?-1=(x+2y-1)(x+2y+1) 3. 已知a、b、c是?ABC三边的长，且a?+2b?+c?-2b(a+c)=0.你能判断?ABC的形状吗,请说明理由。 解:a?+2b?+c?-2b(a+c)=0 a?-2ab+ b?+ b?-2bc+ c?=0 (a-b) ?+(b-c) ?=0 则a-b=0, a=b; b-c=0,b=c.即a=b=c. ??ABC为等边三角形 4、综合法因式分解: 224224(1)3ax+6axy+3ay; (2)81m,72mn+16n. 第三章第一节:分式 1:知识回顾 单项式 整式 多项式 A【分式的概念】(整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有B A字母，那么称 为分式，其中A为分式的分子，B为分式的分母。)B 重点:?、分母中含有字母 24a ?、分式只看其初始状态 例如 a x,2 ?、分式是一种表达形式 例如是分式，而(x-2)?(x-1)不是分式x,1 x ?、π是一个特定的字母，代表一个常数。 如是整式而不是分式,,1 3、分式有意义的条件是:(分母?0) 分式无意义的条件是:(分母,0) 分式的基本性质 1、应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.例题讲解 2、约分:[ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式. 3(通分:[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. 4、每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变. 分式的乘除(一) 一、分式基本性质: AA，MAA,M,,,BB，MBB,M ，，M不等于0的整式 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变. 二、约分的依据:分式的基本性质。 约分方法: A、如果分式的分母和分子均为整式，那么只需找出分子和分母的最大公因式，然后根据分式的基本性质同时约去分子分母的最大公因式，把分式化到最简。 B、如果分式的分子和分母均为多项式，那么要看分子和分母可不可以各自进行分解因式，然后再根据分式的基本性质进行约分，要注意正负号。 【分式的乘除法法则 】 两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母。 两个分式相除, 把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘。 注意:?分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。?当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分( 2、分式乘除的混合运算: 23ab8xy3x(1) ,(,),32(,4b)2xy9ab 23ab8xy4b,= (先把除法统一成乘法运算) (),,,323x2xy9ab 23ab8xy4b= (判断运算的符号) ,,323x2xy9ab 216b= (约分到最简分式) 39ax 最简分式的概念:一个分式的分子和分母没有公因式时，就叫做最简分式。 二、分式的通分: 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式叫做________( 注意:分式通分依据——分式的基本性质。 分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 三、同分母分式的加减 同分母的分数如何加减,需要变符号的要先变号，然后分母不变，分子相加减。 四、异分母分式的加减 1、先变形，需要变号的要变号。 2、先把分母进行因式分解，然后找出各个式子分母的最简公分母，对各 个式子进行通分。 3、通分后按照同分母的分母运算法则进行运算。 4、结果要化为最简分式. 五、分式的的加减混合运算 分式的混合运算:分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序:先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. xx,,11,,例1、( (1)，,x,,23xxxx，,,, 分析:该题综合性较强，涉及整式运算、分解因式等知识(计算时运用乘法分配率较为简便( ，，x,11xx,,11解:原式 ( ,，,1,，，(1)x,,xxxxxxx(1)(1)(1)，，,，， x，2x,14,x(,),例2、 22xx,2xx,4x，4 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边. 242xyxyx例3、 ,,,4422x,yx，yx,yx，y [分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边. 六、化简求值 x3例1、化简，并指出x的取值范围( ,,1x,1(x,1)(x，2) 分析:分式的计算或化简应先分清运算顺序，再按分式乘除和加减法的法则进行运算.当某项是整式时，可当成分母为1的分数参与通分. x3解: ,,1x,1(x,1)(x，2) x(x，2)3(x,1)(x，2),,= (x,1)(x，2)(x,1)(x，2)(x,1)(x，2) 22x，2x,3,(x，x,2)1==( (x,1)(x，2)x，2 x3x,1,0且x，2,0要使有意义，需满足，解得:x?1且x?,2.,,1x,1(x,1)(x，2) 所以x的取值范围是x?,2且x?1的实数( 学生练习: 七:分式 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 1(某项工程，甲单独做所需天数是乙、丙两队合作所需的天数的a倍;乙独做所需的天数等于甲、丙两队合作所需的天数的b倍;丙独做所用的天数等于甲、乙两队合作所需天数的 111，，c倍(求的值. a，1b，1c，1 分析:根据工作时间，效率及工作总量之间的关系，用甲、乙、丙三队的工作时间分别 111表示a，b，c，然后再进一步表示，，. a，1b，1c，1 解:设甲、乙、丙三队独做所需的天数分别为x，y，z天. 1ayzxy，yz，xz1yz则，得， (x,a,,a，1,,11y，zyza，1xy，yz，xz，yz 1xz1xy同理( ,,,b，1xy，xz，yzc，1xy，yz，xz 111，，故=1. a，1b，1c，1 八、找规律: 2、观察下列各式: 11111111==,，==,， 62，323123，434 11111111==,，==,( 204，5455，65630 1(1)由此可推测= ; 42 )的特点的一般规律，用含字母的等式表示出来，并说明理由(2)请你猜想出能表示(1m (m表示整数); 121(3)请直接用(2)中的规律计算,，的值((x,2)(x,3)(x,1)(x,3)(x,1)(x,2) 分析:由观察知:当分子是1，分母是两个连续正整数的积时;可把它写成这两个数的倒数的差( 分式方程 分式方程的定义:等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做、、。 2、 分式方程求解的一般步骤 ?去分母:方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。 (最简公分母:?系数取最小公倍数?出现的字母取最高次幂?出现的因式取最高次幂) ?按解整式方程的步骤:移项，若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值; ?验根:求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根. 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这 个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。 ?注意 (1)注意去分母时，不要漏乘整式项。 (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 (3)増根使最简公分母等于0。 归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 3、分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解: a、交叉相乘法 13,例1(解方程: xx，2 b、化归法 12例2(解方程: ,,02x,1x,1 c、左边通分法 x,81,,8例3:解方程: x,77,x d、分子对等法 1a1b，,，(a,b)例4(解方程: axbx e、观察比较法 4x5x,217，,例5(解方程: 5x,24x4 f、分离常数法 x，1x，8x，2x，7，,，例6(解方程: x，2x，9x，3x，8 g、分组通分法 1111，,，例7(解方程: x，2x，5x，3x，4 4、分式方程求解技巧 题型一:用常规方法解分式方程 提示易出错的几个问题:?分子不添括号;?漏乘整数项;?约去相同因式至使漏根;?忘记验根. 题型二:特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程 x，7x，9x，10x，6x4x，4，,，，,4(1); (2)x，6x，8x，9x，5x，1x x，71x,1，,y提示:(1)换元法，设;(2)裂项法，.x，6x，6x，1 【例3】解下列方程组 111,，,(1),xy2,111,，,(2) ,yz3,,111，,(3),zx4, 题型四:解含有字母系数的方程 【例6】解关于的方程 x x,ac,(c，d,0) b,xd a,b,c,d提示:(1)是已知数;(2). c，d,01111，,， (分组法) x，1x，5x，2x，4 x，2x，4x，6x，8xx,9x，1x,8，,，,,,(分离常数法)x,2x,7x,1x,6x，1x，3x，5x，7 5、分式方程求待定字母值的方法练习 x,1m,例1(若分式方程无解，求的值。 mx,22,x 2xkxk，,例2(若关于的方程不会产生增根，求的值。x2x,1x，1x,1 1k3k，,例3(若关于x分式方程有增根，求的值。2x,2x，2x,4 2,a2x，a,,1x,,0a例5(若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示:且，x,2x,23 且. ？a,2a,,4 x，3k,，1x2(当为何值时，关于的方程的解为非负数.kx，2(x,1)(x，2) 1k,5k,1k4(若关于的方程有增根，求的值。，,xx,1122x,xx，xx,1 x,1xm6.已知关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。,,x，2x,1(x，2)(x,1) 7.方程思想的运用 x,a1,1. 若关于x的方程的解是x=2，则a= ;ax,12 22x11(1)y,,f(x)f,,14、如果设，并且表示当x=1时y的值，即;f(1)22211，1，x 12()11112f()f,,表示当x=时y的值();„„ 那么1122252，()22 111f(1)，f(2)，f()，f(3)，f()，？，f(n)，f(), (用含n的代数式23n 表示) 15、阅读探究:(1)观察下列分数减法的运算: 545,4828,27127,12,,,,,, ， ， ，„„656，5939，38138，13 这里异分母分数相减，运算法则是:分母相乘，分子相减。上面的运算是正确的，为什么这样运算可行呢,原来相减的分数有某种特点。数学兴趣小组的同学用刚刚学过的分式的知识进行了探究:设a、b是正整数，上面的分数运算就是: aba(b，1),b(a，1)ab，a,ab,ba,b，于是上面分数减,,,,a，1b，1(a，1)(b，1)(a，1)(b，1)(a，1)(b，1) 法的运算的正确性就得到了验证。 (2)观察下列分数的加法运算: 5555999913131313 ，,，,，,，,，,，,？？232327276767 判断上面的运算是否正确。如果正确，请仿照(1)的思路用适当的分式运算加 以验证;如果不正确，请说明理由。 17.用你发现的规律解答下列问题( 11111111， ， ， ??,,1,,,,122，2323，3434， 11111(1) 计算 ( ，，，，,1223344556，，，，， 1111(2)探究 ((用含有的式子表示)n，，，，,......122334(1)，，，，nn 171111(3)若 的值为，求的值n，，，，......35133557(21)(21)，，，,，nn 分式方程应用题 1例2、某市从今年,月,日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年,,份3的水费是,,元，而今年,月份的水费则是,,元。已知小丽家今年,月份的用水量比去年 3m,,份的用水量多,，求该市今年居民的用水价格。 分析:请列出此题中的两个等量关系:www.xkb1.com ; x元解:设该市去年居民用水的价格是，则该市今年居民的用水价格是 3m 元 3m 根据题意:可列方程: 解之得:x = 检验: 答: 小结:列分式方程解应用题的一般步骤是: 1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系 . 2.设:选择恰当的未知数,注意单位 3.列:根据等量关系正确列出方程 . 4.解:认真仔细 . 5.验:不要忘记检验 . 6.答:不要忘记写 . 以中招考试为例——某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格 .今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热上涨25%.小颖家去年12月份的燃气费是96元 水器，5月份的用气量比去年12月份少10m3，5月份的燃气费是90元.求该市今年居民用气的价格. 1、合作问题 例1、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标(经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成( (1)乙队单独完成这项工程需要多少天, (2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元(若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱, 解:(1)设乙队单独完成需天 x 111根据题意，得 ，，，，,20()2416060x 解这个方程，得=90经检验，=90是原方程的解?乙队单独完成需90天。xx 11(2)设甲、乙合作完成需天，则有 ()1，,yy6090 解得(天)甲单独完成需付工程款为60×3.5=210(万元) y,36 乙单独完成超过计划天数不符题意(甲、乙合作完成需付工程款为36(3.5+2)=198(万元) 答:在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱( 例2、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单做，则要超过规定时间6天完成;现甲乙两人合作4天后，剩下工程由乙 单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天, 分析:设工作总量为1，工效 X 工时= 工作量 11设规定日期为 x 天，则甲乙单完成各需x天、(x+6)天，甲乙的工效分别为, xx，6 、(2009年湖北十堰)某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技1 术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件, 2((2006年长沙市)在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造(已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成;如果由乙工程队先单独做10天，•那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成( (1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数; (2)求两队合做完成这项工程所需的天数( 3、某项工程，甲单独做所需要的天数是乙、丙两队合作所需天数的a倍;乙单独做所需要的天数是甲、丙两队合作所需天数的b倍;丙单独做所需要的天数是甲、乙两队合作所需天数的c倍;求1/a+1 +1/b+1 +1/c+1 =? 2、购物问题 例1、(2009年山东青岛市)北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元( (1)该商场两次共购进这种运动服多少套, (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售 利润价至少是多少元,(利润率) ,，100%成本 1、某商店甲种糖果的单价是每千克20元，乙种糖果的单价是每千克,,元。为了促销，现将,,千克乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克,,.,元，那么分开销售和混合销售的销售额相同。问这包甲种糖果有多少千克, 2、某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少, 3、相遇问题。 例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。 分析:本题把时间作为考虑的着眼点。 设甲的速度为 x 千米/时 2040,,1)、相等关系:乙的时间=甲的时间 6060 5x甲用的时间，甲的速度,2)、乙用的时间= x，4乙的速度 4(x，4)乙用的时间，乙的速度3)、甲用的时间= ,x甲的速度 解:设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得 5x4(x，4)2040,,, x，4x6060 解之得， x1=16, x2= - 2, 都是原方程的根 但x= - 2 不合题意，舍去 所以x=16时， x+4=20 答:甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20千米/小时。 2、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。 4、比例问题: 例1、某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1?4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的分式方程, 1、甲种原料和乙种原料的单价比是,:,，将价值,,,,元的甲种原料和价值,,,,元的乙种原料混合后，单价是,元，求甲种原料的单价。 32、某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5 m，则每立方米收费1.5元; 3若每户每月用水超过5 m，则超出部分每立方米收取较高的定额费用。1月份，张家用水量 23是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元。超出5 m的部分每3 立方米收费多少元, 4、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成;如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间, 2x,3 1、若分式 不论x取任何实数总有意义，求m的取值范围.2x，4x，m 22？x，4x，m,(x，2)，m,4 22又？(x，2),0,？当m,4,0,即m,4时,x，4x，m,0 注意: 使分式不论x取任何实数总有意义,只要分母不论x取任何值总不等于0. x，3AB**若,，,则A,____,B,____.22(x,2)x,2(x,2) 6xAB**若,，,那么A,___,B,____.2x,9x，3x,3 xyz，,1、已知x:y:z=3:4:6，求分式的值(提示:引入一个参数K)xyz,， 112x,3xy，2y **若，,5,求的值.xyx，2xy，y 21a**已知:a，,5,求的值. 42aa，a，1 12423.已知:x,3x，1,0,求x，的值.4x a,bb,cc,a已知:,,,且a,b,c互不相等.求x，y，z的值.xyz a,bb,cc,a解:？a,b,c互不相等,？设,,,k,0,xyz a,bb,cc,a则x,,y,,z,;kkk a,bb,cc,a0？x，y，z,，，,,0kkkk 2例、若x+3x+1=0，试求 2在x，3x，1,0中,x,0 1两边同除以x化简得:x，,,3 x 11222x，,(x，),2,(,3),2,72xx 21a**已知:a，,5,求的值.42aa，a，1