杭州电子科技大学高等数学期末试卷及答案

杭州电子科技大学信息 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院学生考试卷（期末）A卷 课程名称 高等数学甲（下） 考试日期 10年 6月23日 时间共120分钟 考生姓名   任课教师姓名   学号   班级   专业   题号 一、二、三 四 五、六、七 总分 得分                                   一、 填空题(每小题3分，共计15分) 1．点 到坐标轴 的距离为 . 2．曲线 在 面上的投影方程为 . 3．函数 的全微分 . 4．写出一个简单的条件收敛的级数: . 5．设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 .    则它的傅里叶级数在点 处收敛于   0    . 二、单项选择题（每小题3分，共计15分） 1．设 ，则                                             (  B ) (A)       (B)   (C) (D)     2．设 ，则点（1，0）                            ( B  ) （A）是z的极大值点              （B）是z的极小值点 （C）不是z的极值点              （D）是否为z的极值点不能确定 3．曲面 在点 处的切平面方程是：                  (  C ) (A) ；                  (B) ； (C) ；        (D) ． 4．设曲面 ,则对面积的曲面积分 等于          （  D ） (A)     (B)     (C)       (D) 5．级数                                                 （ A  ） （A）收敛；  （B）发散；  （C）敛散性不能确定；  （D）不是正项级数 三、试解下列各题（每小题6分，共计12分） 1．一平面过点 且平行于向量 和 ,试求这平面的方程. 解: 这平面的法向                      (4分) 这平面的方程                                    (6分) 2．设 ,求 . 解:     (3分) (6分)     第 1 页  共3 页 四、试解下列各题（每小题6分，共计36分） 1. 设 由方程 确定，求 . 解: 令 (1分) (4分) (5分) (6分) 2. 求曲线 在对应于 的点处的切线方程与法平面方程. 解:曲线上对应于 的点为( (1分) 此点处的切向量 = (4分) 所以, 此点处的切线方程 (5分) 此点处的法平面方程 (6分) 3．画出积分区域D并计算二重积分: 其中D 是由两条平面曲线 所围成的闭区域. 解: (4分) (5分) (6分) (图1分) 4．求幂级数 的收敛半径、收敛域及其和函数. 解: 收敛半径 ..............1分 收敛域 ................2分 .....................3分 ...................4分 ....................5分 ...............6分 5．计算曲线积分 ，其中 为由直线 及抛物线 所围成的区域的整个边界. 解: = .................................2分 ...............4分 ..............5分 ............................6分 6. 计算对坐标的曲线积分 ，其中 是在圆周 上由点 到点 的一段弧. 解:令 ,.............................1分 ..................................................2分 故积分与路径无关,所以选折线段从 沿 到 ,再沿 到终点 ....................3分 = .........................................................5分 ........................................................................................6分     第 2 页  共3 页 五、试解下列各题（本题8分） 在平面 上求一点,使它到 及 三直线的距离平方之和为最小. 解:设所求点为 ,则目标函数 ..........................3分 由 ...................................................................5分 解得驻点 是唯一的驻点,..............................................................................7分 根据问题的性质可知,到三直线的距离平方之和最小的点一定存在,故 即为所求...............8分. 六、二题中选一题做（本题9分） 1．计算 ，其中 与 所围成的闭区域. 2．计算对坐标的曲面积分 ，其中 是球面 的下半部分的下侧. 1.解: .......................................7分 = ...................................................9分 2.解: = ......................5分 = ....................................7分 = .........................................8分 = ..............................................................9分 七、证明题（本题5分） 证明级数 发散. 证明:反证.设 收敛于 ,设级数的部分和数列为 ..........1分 那么, ,从而................2分 ........................3分 但 ,...............4分 故 ........................5分 与假设收敛矛盾,这说明级数 发散     第 3 页  共 3 页