高等数学下册试题库

高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 试题库 一、填空题 xyz1. 平面与直线平行的直线方程是___________ ,,x，y，kz，1,0 2,11 2. 过点且与向量平行的直线方程是________________ M(4,,1,0)a,(1,2,1) a,b,,3. 设，且，则__________ a,i，j,4k,b,2i，,k , (a,b),|a|,3,|b|,2,(b),,14. 设，则____________ a 6x,2z，5,05. 设平面通过原点，且与平面平行，则Ax，By，z，D,0 A,_______,B,________,D,__________ x,1y，26. 设直线与平面垂直，则,3x，6y，3z，25,0,,,(z,1) m2 m,________,,,___________ x,1,7. 直线，绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ z,y,0, 8. 过点M(2,0,,1)且平行于向量a,(2,1,,1)及的平面方程是b(3,0,4)__________ 222z,5z,x，yxoy9. 曲面与平面的交线在面上的投影方程为__________ ,nnx10. 幂级数的收敛半径是____________ ,n2,n1 xz,,1 3xyz，,，1 1 3 11. 过直线且平行于直线的平面方程是,，,y2,,22,023_________________ y'12. 设则 f(x,y),ln(x，),f(1,0),__________y2x ,z,z,__________,,____________13. 设z,arctan(xy),则 ,x,y 22'f(xy,x，y),x，y,f(x,y),14. 设则____________________ x xdz,15. 设则_____________ z,, y 23dz|,f(x,y),xy,16. 设则______________ (1,,2) t,017. 曲线，在对应的处的切线与平面x,cost,y,sint,z,sint，cost B,平行，则__________ x，By,z,0 22z,x，y18. 曲面在点处的法线与平面垂直，则(1,1,2)Ax，By，z，1,0 ______________ A,________,B, a,{1,0,,2}b,{,3,1,1}a,ba，b19. 设，，则=________， =____________ 20. 求通过点和轴的平面方程为________________ M(2,,1,4)z0 3x,y，2,021. 求过点且垂直于平面的直线方程为_______________ M(0,1,0)0 ,,,,da,[2,3,,1]c,[2,,1,1],622. 向量垂直于向量和，且与的数量积为，则b,[1,,2,3] ,d向量=___________________ ,,,,,,,,,,7a,5b7a,2ba，3ba,4bb23. 向量分别与垂直于向量与，则向量与的夹角为a_______________ 222xOyx，z,124. 球面与平面的交线在面上投影的方程为x，y，z,9 ______________ x,2y，z,1,0,dl25. 点到直线:的距离是_________________ M(2,,1,`1),0x，2y,z，3,0, x,2y，z,4,0ll26. 一直线过点且平行于平面:，又与直线:M(1,2,0),0 x,2y,1x,2l,, 相交，则直线的方程是__________________ 121 ,,,,,,π,,,27. 设,, a,5,b,2,a,b,,则2a,3b,____________,,3,, ,,,,,,,,,,,,,28. 设知量满足，则,, a,ba,b,3,a，b,1,,1,1a,b,____________,,,, x,1y,2z,3x2y1z，,LLL:,,29. 已知两直线方程，L，则过且平行的,,1212:10,1211 平面方程是__________________ π,ab,2a，b,30. 若，，则 ，a,b, ____________ ()a,b,22 ,z,zy31. ______________. =_________________ z,x,则,,y,x 23,32. 设 ，，，，，，z,y,11，xsinx,y，x,则z2,1,____________x du,______________________33. 设 则 ，，ux,y,xlny，ylnx,1 222xyz，x，y，z,2dz,34. 由方程确定在点全微分______ ，，，，z,zx,y1,0,,1 ,z,z22235. ，其中可微，则 y，,___________z,y，f，，x,y，，fu,x,y22,,2，,zxyxOy36. 曲线在平面上的投影曲线方程为 _________________ ,z,1, 2y,z，2,037. 过原点且垂直于平面的直线为__________________ (,3,1,,2)(3,0,5)38. 过点和且平行于轴的平面方程为 _________________ x x,y，2z,6,039. 与平面垂直的单位向量为______________ ,z,zx,(u)z,x,() 40. ,可微，则 2，y,____________ 2y,x,y 22z,lnx，ydz,_________________(2,1)41. 已知，则在点处的全微分 z(1,2,0)42. 曲面在点处的切平面方程为___________________ z,e，2xy,3 ,z,xyz，，z,zx.y43. 设 由方程，求=________________ e,2z，e,0 ,x，，，，，，z,f2x,y，gx,xy，，gu,vft44. 设，其中二阶可导，具有二阶连续偏 2,z导数 有=___________________ ,x,y 2xz,z,ln，，z,zx.y45. 已知方程 定义了，求=_____________ 2zy,x 2y，，，，u,fx.y.z,,x.e.z,046. 设，，，其中，都具有一阶连续y,sinxf ,,dz偏导数，且，求=______________________ ,0 dx,z 212,y47. 交换积分次序 _______________________________ dyf(x,y)dx,,,0y 1y22,y dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx48. 交换积分次序=___________________ ,,,,0010 xyD,{(x,y)0,x,1,0,y,1}49. 其中 I,xedxdy,_________,,D I,x，y,250. ，其中D是由两坐标轴及直线所围 (3x，2y)dxdy,________,,D 122I,x，y,451. ，其中D是由所确定的圆域 dxdy,________22,,1，x，yD 222222I,x，y,a52. ，其中D: a,x,ydxdy,___________,,D I,53. ，其中D是由所围成的区域 y,x,y,5x,x,1(x，6y)dxdy,________,,D 222y,dxedy54. , _____________________,,x0 1,1x22255. dx(x，y)dy,___________2,,0x ,,,22256. 设L为，则按L的逆时针方向运动一周所x，y,9F,(2xy,2y)i，(x,4x)j ___________.作的功为 y,2x,1,2,757. 曲线点处切线方程为______________________ ，，在,22z,3x，y, 2x2z,，y58. 曲面在(2，1，3)处的法线方程为_____________________ 2 ,159. ，当p满足条件 时收敛 ,pnn,1 n,,1，，60. 级数的敛散性是__________ ,2n1,n,n,2 ,,nnaxaxx,361. 在x=-3时收敛，则在时 ,,nnnn,1,1 n,a62. 若收敛，则的取值范围是_________ ，，lna,n,1 ,11(),63. 级数的和为 ,nn(n，1)2,n1 ,1 ,，，，，2n,12n，1n1,64. 求出级数的和=___________ n,(ln3)65. 级数的和为 _____ ,n2,0n ,n知级数u的前项和，则该级数为____________ 66. 已s,n,nnn，1n,1 n,2n67. 幂级数的收敛区间为 x,n,1n ,2n1,x68. 的收敛区间为 ，和函数为 s(x),2n,1,n1 n,x(0,p,1)69. 幂级数的收敛区间为 ,pn,n0 ,170. 级数当a满足条件 时收敛 ,n1，an0, 2n,x,2，，71. 级数的收敛域为 ______ ,nn4n,1 ,,nn，1axnax(1),72. 设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 _____ ,,nnn0n1,, 1f(x),73. 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 2x，3x，2 274. 设函数关于的幂级数展开式为 __________，该幂级数f(x),ln(1,x,2x)x 的收敛区间为 ________ ,z,x,y,,,75. 已知 xlny，ylnz，zlnx,1，则 ______ ,x,y,z ,z,z22xy yz,(1，x，y)76. 设 _____________，,_____________ ,那么,,y,x D77. 设是由xy,2及x，y,3所围成的闭区域，则_______________ dxdy,,,DD78. 设是由|x，y|,1及所围成的闭区域，则|x,y|,1 _______________ dxdy,,,D 22C79. ________________,其中为圆周(x，y)ds,,C x,acost,y,asint(0,t,2,) 222Ly,x80. ________________,其中是抛物线上从点到点，，0,0(x,y)dx,,L 的一段弧。 ，，2,4 二、选择题 a,b,a，b与b都是非零向量，且满足，则必有( ) 1. 已知a a,b,0a，b,0a,b,0a，b,0(A); (B) ; (C) (D) a，b,a，b2. 当与b满足( )时，有; a (A)ab,(D)abab,,,; (为常数); ?b; ( (B)ab,,(C)a 3. 下列平面方程中，方程( )过轴; y x，y，z,1x，y，z,0x，z,0x，z,1(A) ; (B) ; (C) ; (D) ( 224. 在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( ); z,1,x,2y (A) 椭球面; (B) 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面; (D) 单叶双曲面 x,1yz，1x,y，z,15. 直线,,与平面的位置关系是( )( 21,1 ππ(A) 垂直; (B) 平行; (C) 夹角为; (D) 夹角为( ,446. 若直线(2+5)+( -2)+4=0与直线(2-)+(+3) -1=0互相垂直，则yyaxaaxa ( ): (A). =2 (B). =-2 (C). =2或=-2 (D). =?2或=0 aaaaaa 22,,，,2,zxyxOy7. 空间曲线在面上的投影方程为( ) ,z,5, 222222,,,,，,2zxy，,7xyx，y,722(A); (B); (C) ;(D) x，y,7,,,z,0z,5z,0,,, 1cos,x,,0x,2,,x6，，f0fxfx,8. 设，则关于在0点的6阶导数是( ) ，，，，，，,1,,0x,,,2 111(A)(不存在 (B)( (C)( (D)( ,,56566! z,z(x,y)F(x,az,y,bz),0F(u,v)a,b由方程所确定，其中可微，为常数，则9. 设 必有( ) ,z,z,z,z(A) (B) a，b,1b，a,1,x,y,x,y ,z,z,z,z(C) (D) a,b,1b,a,1,x,y,x,y 1,xyxysin,,0,0，，，，,22fxy,,10. 设函数，，，则函在处( )，，fx,y，，0,0xy，, ,，，，，xy0,,0,0, (A)(不连续 (B)(连续但不可微 (C)(可微 (D)(偏导数不存在 11. 设函数在点处偏导数存在，则在点处 ( ) ，，，，x,yx,y，，，，fx,yfx,y0000(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 2xy2,,,t12. 设 ，则 ( ) ,，，,x,edt,0,x 424242422-xy-xy-xy-xy(A). (B). 2xy (C). (-2t) (D). (-2xy) eeee fahbfahb，,,，，，，,,13. 已知在处偏导数存在，则 ，，,，，，，fx,ya,blimh,0h ,,,(A).0 (B). (C). (D). ，，，，，，f2a,bfa,b2fa,bxxx xy,22,x，y,0,22(0,0)f(x,y)14. 设f(x,y),，则在点关于叙述正确的是x，y,22,0,x，y,0, ( ) (A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在 24,4xy22x，y,0,242，，，，fx,y,在0,015. 函数极限( ) ,，，y，x22x，y,0,0, (A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立 ,,z,,z,arctanxy，16. 设，则 ，，,,,4,x,, xyx，1(A) (B) ,,21，(xy，)1，(xy，)44 ,2xysec(xy，)y4(C) (D) ,,221，(xy，)1，(xy，)44 2x，k,1,x17. 关于的方程有两个相异实根的充要条件是( ) x (A).-k (B). -?k? 2222,, (C).1k? (D). 1?k 22,, 1,xyxysin,,0,0，，，，,22fxy,,18. 函数，，，则函在处( ) ，，fx,y，，0,0xy，, ,，，，，xy0,,0,0, (A).不连续 (B)(连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在 xyy,f(x,y),,xsin19. 设fx,= ，则 = ( ) ,,22,xxx，y,, 22yy,xyxyxy，，sinxcosxsin(A).+, (B)( 22222222x，yx，y1，y，，x，y yyxcossin(C). (D). 221，y1，y 22z,x，y20. 函数 在点处 ( ) ，，0,0 (A).不连续 (B)(连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值 2,,x,z,,21. 设 ,则 = ( ) z,lnxy，,,,x,yy,, y1(A).0 (B)(1 (C). (D). 2y，1x ,z,z2222. 设 则 + y = ( ) x，z,yf，，x,zz,x,y 22(A). (B)(y (C). (D). yf，，x,zxz 23. 若函数在点处取极大值，则 ( ) ，，x,y，，fx,y00 ,,，，(A).，，,fx,y,0 fx,y,0y00x00 (B)(若是内唯一极值点，则必为最大值点 ，，Dx,y00 2,,,,,,,,,,，，，，，，，，fx,y,fx,y,fx,y,0,且fx,y,0(C). xy00xx00yy00xx00D、以上结论都不正确 x 24. 判断极限，，lim,x,0xy，y,0 (A).0 (B)(1 (C).不存在 (D).无法确定 2xy，，25. 判断极限 lim,22x,0x，yy,0 (A).0 (B)(1 (C).不存在 (D).无法确定 4,26. 设可微，，则 ，，，，，，，，fx,3x,xf1,3,fx,yx (A).1 (B)(-1 (C).2 (D).-2 2xx，y，z，xyz,027. 设，其中是由方程确定的隐函数，则 ，，fx,y,z,yze，，z,gx,y , ，，，，f0,1,,1,x (A).0 (B)(-1 (C).1 (D).-2 kkk28. 设是次齐次函数，即，其中为某常数，则下列，，，，ftx,ty,tz,tfx,y,z，，fx,y,z 结论正确的是( ) ,f,f,f,f,f,ftk，，，，(A)x，y，z,kfx,y,z (B)(x，y，z,tfx,y,z ,x,y,z,x,y,z ,f,f,f,f,f,f，，，，(C).x，y，z,kfx,y,z (D).x，y，z,fx,y,z ,x,y,z,x,y,z 220,x,1,0,y,129. 已知，其中是正方形域:，则( ) D，，I,cosy，sinxd,,,D 0,I,2(A). B( (C). (D). 1,I,21,I,20,I,2 2y,x,x,0,y,130. 设，其中是由以及围成在，则D，，，，fx,y,4xy，yfu,vdudv,,D ,,，，，，fx,y, xy 4y8y4x8x(A). (B)( (C). (D). 22222231. 设，，则下，，，，D,,,x,y|x，y,a,y,0D,,,x,y|x，y,a,y,0,x,01 列命题不对的是:( ) 2222(A). (B)( xyd,,2xyd,xyd,,2xyd,,,,,,,,,DDDD11 222(C). (D). xyd,,2xyd,xyd,0,,,,,,,DDD1 2t,032. 设是连续函数，当时，，则 ，，fx,ydxdy,o，，t，，，，，，fx,yf0,0,,,222x，y,t 1(A).2 (B)(1 (C).0 (D). 2 ,cos,233. 累次积分可写成( ) ，，d,frcos,,rsin,rdr,,00 221y,y11,y(A). (B)( ，，，，dyfx,ydxdyfx,ydx,,,,0000 2111x,x，，dxfx,ydy(C). (D). ，，dxfx,ydy,,,,0000 2234. 函数的极值为( ) ，，，，fx,y,4x,y,x,y (A).极大值为8 (B)(极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 x，y,135. 函数在附加条件下的极大值为( ) z,xy 111(A). (B)( (C). D(1 ,224 ，xy，，ed,,x，y,136. ，其中由所确定的闭区域。 D,,D ,1,1,2e，ee,ee,e(A). (B)( (C). (D).0 322237. ，其中的大小关I,(x，y)dxdy与I,(x，y)dxdyD:(x,2)，(y,1),212,,,,DD 系为:( )。 (A). (B). (C). (D). 无法判断 I,II,II,I121212 2f(x,y)38. 设连续,且,其中D由所围成,y,0,y,x,x,1f(x,y),xy，f(u,v)dudv,,D 则 f(x,y),() 12xyxy，1(A). xy (B). (C). (D). xy，8 225x，yd,39. 的值是( ) ,,22x，y,1 ,,10,10,55(A) (B) (C) (D) 36711 x，y,1x，y,140. 设是 所围成区域, 是由直线和轴, 轴所围成的区域，则 DyxD1 ，，，，1，x，ydxdy,,,D (A) (B) 0 (C) (D) 2 ，，，，41，x，ydxdy21，x，ydxdy,,,,DD11 (,,1)41. 半径为均匀球壳对于球心的转动惯量为( ) a 4442,a4,a6,a(A) 0 (B) (C) (D) 22xy2l42. 设椭圆:，,1的周长为，则( ) L(3x，2y)ds,,L43 3l4l12l (A) l (B) (C) (D) 43. 下列级数中收敛的是( ) nn,nnnn,,，24nn,8424,,，48 (B) (C) (D) (A),,,nnn,n8888,n1,n1n1,,n1 44. 下列级数中不收敛的是( ) ,nn,,,111，,3(1)(A) (B) (C) (D) ln(1，),,,,nn3nn(n，2)4,1nn,1n1n1,, 45. 下列级数中收敛的是( ) n,,,,4n，131(A) (B) (C) (D) ,,,,nnn(n，2)(n,1)(n，3)n,2nn,n1n1nn1,,1, , u为正项级数，下列命题中错误的是( ) 46. ,nn,1 ,,uu，1，1nnlim,,,1lim,,,1uu(A)如果，则收敛。 (B) ，则发散 ,,nn,,,,nnuun,1n,1nn ,,uun，1n，1,1,1uu(C) 如果，则收敛。 (D)如果，则发散 ,,nnuun,1n,1nn47. 下列级数中条件收敛的是( ) ,,,,n111nnn1n，(,1)(,1),,(1)(1)(A) (B) (C) (D) ,,,,2n，1n(n，1)nnn1n1n1n1,,,, 48. 下列级数中绝对收敛的是( ) ，，，n1n1n1,,,,,(,1),1(1)(1)n,(1)(A) (B) (C) (D) ,,,,lnnnlnnnnn,,,n2n1n2n1, ,,, (a，b)ab49. 当收敛时，与( ) ,,,nnnn,n,1n1n,1 (A)必同时收敛 (B)必同时发散 (C)可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛 ,,2450. 级数a收敛是级数a收敛的( ) ,,nnn,1n,1 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 , lima,0a,a51. a为任意项级数，若且，则该级数( ) ,nnn，1nn,,n,1 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不确定 52. 下列结论中，正确的为( ) ,,,,11uu(A)若发散，则发散; (B)若收敛，则发散 (u,0)(u,0),,,,nnnnuu,1,1nnn,1n,1nn ,,1u(u，)(C)若收敛，则收敛; ,,nn10010n1n,1, ,,, uv(u，v)(D)若与发散，则发散 ,,,nnnnn,1n1n,1, 1f(x),53. 函数的麦克劳林展开式前三项的和为( ) 1，x x3x3x3x322221,，x1，，x(A); (B); (C)1,，x; (D)1，，x 24242828 aa，||aa,||nnnn54. 设，，则下列命题正确的是( )( p,qn,,,,,,1,2,3,nn22 ,,, apq(A)若条件收敛，则与都收敛; ,,,nnn,,n1n1n1, ,,, apq(B)若绝对收敛，则与都收敛; ,,,nnn,,n1n1n1, ,,, apq(C)若条件收敛，则与的敛散性都不定; ,,,nnn,,n1n1n1, ,,, apq(D)若绝对收敛，则与的敛散性都不定. ,,,nnn,,n1n1n1, 55. 设, 则( ) (A) 与都收敛. (B) 与都发散. (C) 收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛 56. 75、 若在处收敛, 则此级数在处( ) (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定 57. 设幂级数的收敛半径为3, 则幂级数的必定收敛的区间为 ( ) (A) (,2, 4) (B) [,2, 4] (C) (,3, 3) (D) (,4, 2) ,,nn，，axax,258. 若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛开区间为( )R,,nn1n,1n, (A) (B) (C) (D) ，，，，，，，，,R,R1,R,1，R,,,，,2,R,2，R n,(,,5)x59. 级数的收敛区间( ) ,nn,1 (A)(4，6) (B) (C) (D)[4，6] ,，，,4,64,6 n,(2x,a)60. 若级数的收敛域为，则常数=( ) ，a,3,4,2n,1,n1 (A)3 (B)4 (C)5 (D)以上都不对 ,n，，ax,1x,,1x,261. 若幂级数在处收敛，则该级数在处( ) ,n1n, (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不能确定 2,xf(x),e62. 函数展开成的幂级数为( ) x 2n,nnn,,n2n,xx,,(1)x,,(1)x(A) (B) (C) (D) ,,,,n!n!n!n!n,0,,0n0nn,0 4x，，fx,63. 函数展开成的幂级数是( ) x21,x ,,,,2nn2n2nn2nx(,1)xx(,1)x(A) (B) (C) (D) ,,,,n1n,1n2n,2,, 64(下列各组角中，可以作为向量的方向角的是( ) ,,,,,,2(A)，， (B)，， ,343343 ,,,,,2(C)，， (D)，， ,66333 ，，a,a,a,a65(向量与轴垂直，则( ) xxyz (A) (B) (C) (D) a,0a,a,0a,0a,0yyxxz ，，，，66(设a,1,1,,1,b,,1,,1,1，则有( ) ,,,,,,2,,,,,,a//ba,b(A) (B) (C) (D) ,,a,ba,b,,,,33,,,, x，2y,1,xy,1z,167(直线与直线,,关系是( )( ,2y，z,110,1, (A) 垂直; (B) 平行; (C) 重合; (D) 既不平行也不垂直( 2x，z,068(柱面的母线平行于( ) (A)轴 (B)轴 (C) 轴 (D)面 yxzoxz a，b,a，c,a,b,c69(设均为非零向量，则( ) a//(b,c)a,(b,c)b,cb,c(A) (B) (C) (D) 70(函数的定义域为( ) ，，z,lnxy x,0,y,0(A) (B) x,0,y,0或x,0,y,0 x,0,y,0x,0,y,0x,0,y,0(C) (D)或 xyy,,，，fx,y,，，f,1,71(，则 ,,22xx，y,, 222xy，xxyx(A) (B) (C) (D) 2242xyx，y1，xx，1 33272(下列各点中，是二元函数的极值点的是( ) ，，fx,y,x,y,3x，3y,9x(A) (B) (C)( (D) ，，，，，，，，,3,,13,1,1,1,1,,1 211,x2273(( ) dx1,x,ydy,,,00 ,,,,324(A) (B) (C) (D) 2336 2y,1x,274(设D是由，所围成的闭区域，则( ) xydxdy,,,D 8416(A) (B) (C) (D)0 3330,x,1,0,y,,75(设是由所确定的闭区域，则( ) D，，ycosxydxdy,,,D 2,,，1(A) 2 (B) (C) (D)0 三、计算题 1、下列函数的偏导数 5426222(1); (2); z,x,6xy，yz,xln(x，y) x2z,xy，(3); (4); z,sin(xy)，cos(xy)y 2,,xx,,tan(5); (6)z,; z,e(cosy，xsiny),,y,, xyyz,sin,cos(7); (8); z,(1，xy)yx x，yz,ln(x，lny)z,arctan(9); (10); 1,xy y222x(x，y，z)z(11); (12) u,eu,x z1y (13); (14); u,xu,222x，y，z nn u,axy,a,a(15)u,ax(为常数); (16)且为常数。 a,ijijijji,iiiij,,1,1i dzx,2yx,2y17) ;求 (z,e,x,sint,y,tz,e,x,sint,y,t dt 22f(x,y),x，y,x，y2(设，求及。 f(3,4)f(3,4)yx x2,z,zyz,e3(设，验证2x，y,0。 ,x,y 4(求下列函数在指定点的全微分: 22(1,2) (1)，在点; f(x,y),3xy,xy 22(2,4) (2)，在点; f(x,y),ln(1，x，y) sinx,,,(0,1)(3)，在点和,2。 f(x,y),,,24y,, 5(求下列函数的全微分: xxy (1); (2); z,xyez,y x，yyz, (3); (4)z,; 22x,yx，y 222222u,x，y，z (5); (6)。 u,ln(x，y，z) xy,22xy,，,0,,22(0,0)fxy6(验证函数(,), 在原点连续且可偏导，但,xy， 22,xy0,，,0, 它在该点不可微。 1,2222(x，y)sin,x，y,0,,22f(x,y),7(验证函数 的偏导函数,xy，22,xy0,，,0, 在原点(0，0)不连续，但它在该点可微。 f(x,y),f(x,y)xy 8(计算下列函数的高阶导数: 222y,z,z,z (1)，求; z,arctan,,22x,x,y,x,y 222,z,z,zz,xsin(x，y)，ycos(x，y) (2)，求; ,,22,x,y,x,y 33,z,zxyz,xe (3)，求; ,22,x,y,x,y 44,u,zu,ln(ax，by，cz), (4)，求; 422,x,x,y pq，,zpq (5)，求; z,(x,a)(y,b)pq,x,y ，，pqr1,u22z,tan(3t，2x,y),x,,y,t (6)，求。 pqr,x,y,zt 3duy,asinx (7)，求; 9.计算下列重积分: (1),其中是矩形闭区域:, , (2) ,其中是矩形闭区域: (0,0),.和的三角形闭区域(3) ,其中是顶点分别为 .所围成的闭区域(4),其中是由两条抛物线, (5),其中是由所确定的闭区域. (6)改换下列二次积分的积分次序 ? ? ? (7) (8) ,其中是由圆周所围成的区域.(9) (10),其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭 区域. ,,其中是由直线及曲线(11)所围成的闭区域 ,其中是由圆周及坐标轴所(12)围成的在第一象限内的 闭区域. ,其中是由直线(13),,,所 围成的闭区域. ,: 其中是圆环形闭区域(14) ,其中是平行四边形闭(15)区域,它的四个顶点是, ,和. , ,其中是由两条双曲线和直线和所围(16) 成的在第一象限内的闭区域. ,,其中是由轴轴和直线所围成(17)的闭区域 , 其中为椭圆形闭区域(18) (19)化三重积分为三次积分,其中积分区域分别是 及平面所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。(1)由曲面 (2)由曲面(c>0),,所围成的在第一卦限内的闭区域. ,, 所(20)计算,其中为平面, .围成的四面体 ,以及抛物柱面所(21)计算,其中是由平面,, .围成的闭区域 (22)计算,其中是由锥面与平面所 围成的闭区域. (23)利用柱面坐标计算下列三重积分 (1),其中是由曲面及 所围成的闭区域 (2), 其中是由曲面 及平面所围成的闭区域 (24)利用球面坐标计算下列三重积分 (1),.其中是由球面所围成的闭区域 (2), , .其中闭区域由不等式所确定 25.选用适当的坐标计算下列三重积分 (1),其中为柱面及平面 ,,所围成的在第一卦限内的闭区域 (2),其中是由球面 所围成的闭区域 (3),其中是由曲面 .及平面所围成的闭区域 (4),其中闭区域由不等式 ,.所确定 26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 (1)及 ().含有轴的部分 (2)及 二.曲线积分 1(计算下列对弧长的曲线积分 (1),其中为圆周, (2),其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段 (3),其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界. 及轴在第一象限内所围成的扇(4),其中为圆周,直线 形的整个边界. (5),其中为曲线,,上相应于从0变 到2的这段弧. (6),其中为折线,这里,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2), (1,0,2),(1,3,2). (7),其中为摆线的一拱, ,(8),其中为曲线 2(计算下列对坐标的曲线积分 (1),其中是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧 (2),其中为圆周 及轴所围成的在第一象限内的区域 的整个边界(按逆时针方向绕行). (3),其中为圆周 (按逆时针方向绕行). (4),其中为曲线,,上对应从0到 的一段弧. (5),其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线 (6),其中是抛物 线上从点到点(1,1)的一段 弧. 3.计算,其中是 (1)抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段 (3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线. (4)曲线,上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 4.把对坐标的曲线积分划成对弧长的曲线积分,其中为 (1)在面内沿直线从点(0,0)到点(1,1) (2)沿抛物线从点(0,0)到点(1,1) (3)沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1) 5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性. ,其中是由抛物面和所围成的区域的正 (1) 向边界曲线. (2),其中是四 个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向 边界. 6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积 (1)星形线 , (2)椭圆 7.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值 (1) (2) 8.利用格林公式,计算下列曲线积分 (1),其中为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角 形正向边界 (2),其中为正向星形线 (3),其中为在抛物面上由 点(0,0)到的一段弧 (4),其中是在圆周上由点(0,0)到点(1,1) 的一段弧 9.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求 这样的一个 (1) (2) (3) 第三部分 级数 1. 判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3) (4) 2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3) (4) 3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3) 4(用根值审敛法判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3),其中,,,均为 正数. 5.判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3) (4) 6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? (1) (2) (3) (4) 7.求下列幂级数的收敛区间 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数. (1) (2) (3) 9.将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间. (1) (2) (3) (4) 10.将展开成的幂级数,并求展开式成立的区间. 11.将函数展开成的幂级数. 12.将函数展开成的幂级数. 13.将函数展开成的幂级数. 14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值. (1)(误差不超过0.0001); (2)(误差不超过0.00001) (3)(误差不超过0.0001) 15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值. (1)(误差不超过0.0001) 16.将函数展开成的幂级数 17.下列周期函数的周期为,试将展开成傅里叶级数, 如果在上的表达式为 (1) (2) (3) (为常数,且 ) 18.将下列函数展开成傅里叶级数 (1) (2) 19.将函数展开成傅里叶级数. 20.设是周期为的周期函数,它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数. 21.将函数展开成正弦函数 22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数 23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) (1) (2) (3) 24.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数 (1) (2) 25.设是周期为2的周期函数,它在上的表达式为, 试将展开成复数形式的傅里叶级数. 26(设是周期为的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为 试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形 式) 四、 证明题 1(三角形的三条 垂线交于一点。(提示:用向量方法) 22zf2(设其中是导数存在的一元函数，证明函数满足方程 z,yf(x，y), 1,z1,zz。 ,,,2x,xy,yy x,y3(证明不存在。 limx，yx,0y,0 2221,u,u,u222，，,0.4(设证明 u,,r,x，y，z,222,x,y,zr xyz,15(证明:曲面的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。 1,2222(xy)sin,xy，，,0,22xy，f(x,y),6(设， , 22,00,xy，,, 证明:但不连续。 f(x,y)在原点(0，0)偏导数存在 7(证明不等式 22。 120101,，,,,,,(sinycosx)dxdy,D:x,y其中正方形域:,,D 224I,(x，2xy)dx，(x，y)dy8(证明曲线积分与路径无关，其中L是由点 ,L ,(0，0) 到(1，1)的曲线，并计算的值。 Iy,sinx2 2,, 9(若级数a(a,0)收敛，证明收敛。 a,nn,n1n,n,1 22,,, 10. 已知级数和都收敛，证明级数ab绝对收敛。 ab,nn,,nnn,1n,1n,1 五、 应用题 23x，2y，z,41( 求曲线与平面平行的切线。 x,t,y,,t,z,t x，y，z，1,0,2( 用对称式方程及参数方程表示直线 ,2x,y，3z，4,0, z3( 曲面在点(1，2，0)处的切平面方程和法线方程。 z,e，2xy,3 222224( 求曲面及所围成的立体的体积。 z,x，yz,x，y 2222225( 求由曲面及所围成图形的体积。 x，y，z,ax，y,ax 22226(求位于两圆和之间的均匀薄片的重心位置。 x，(y,2),4x，(y,1),17(试分解已知正数为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。 a 222xyz，，,18(在第一卦限内作椭球的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最222abc 小，求切点的坐标。 (设生产某种产品必须投放入两种要素， 和分别为两要素的投入量，Q为产出量，9xx12 aba,bab,，,1若生产函数，其中为正常数，且假设两种要素的价格分别为Qxx,212 试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。 p,p,12 10(某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为，销售量分别为p,pq,q,1212 需求函数及总成本函数分别为，q,24,0.2p,q,10,0.05p,C,35，40(q，q)112212 试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大,最大总利润为多少, ,n11(求级数的和。 ,n2,1n x1edx12(计算积分的近似值。 ,0.1x x13(将函数f(x),展开的幂级数。 x2x,x,2 14(设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm, 求容器外壳体积的近似值。 2,(x),(0),015(设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，xydx，y,(x)dy,L 1，1，，2，，xydx，y,xdy计算。 ,，，0,0