28尾数与余数问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
第28讲 尾数和余数
学生姓名:
【专题精华】
在学习有关“数与代数”方面的知识时,我们常把自然数末位的数字称为自然数的尾数,除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算中是有规律可寻的,熟练地掌握并利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
【教材深化】
[题1]47×47×47ׄ„×47积的尾数是几,
100个47
〈敏捷思维〉 若干个自然数的积的尾数,等于这若干个自然数尾数之积的尾数,100个47的连乘积的尾数等于100个7的连乘积的尾数。
〈全解〉我们先列举前几个7的积,看看尾数在怎样变化,1个7的尾数就是7;7×7的尾数就是9;7×7×7的尾数就是3;7×7×7×7的尾数是1;7×7×7×7×7的尾数是7„„,由此可见,积的尾数以“7、9、3、1”四个数字在不断重复出现,100?4=25,没有余数,说明100个7相乘,积的尾数是1。
〈拓展探究〉 一个自然数的n次方的尾数等于它的尾数的n次方的尾数,而且一个自然数的n次方的尾数是有规律可循的。
[能力冲浪]
1、34×34×34×34ׄ„×34积的尾数是几,
2007个34
2、自然数2×2ׄ„×2-1的尾数是几,
67个2
3、(21×26)×(21×26)ׄ„×(21×26)积的尾数是几,
100个(21×26)
200620072008 [题2] 求3+4+5的尾数是几, 200620072008〈敏捷思维〉 先分别求出3,4,5的尾数是几,然后再将尾数相加,最后看和的尾数是几就行了。
1
n〈全解〉 因为3的尾数是以“3、9、7、1”四个数字循环的,2006?4=501„„2,所以2006n20073的尾数是9。因为4的尾数是以“4、6”两个数字循环的,2007?2=1003„„1,所以4n2008的尾数是4。因为5的尾数永远都是5,所以5的尾数是5。又因为9+4+5=18,所以这道加法算式的尾数是8。
〈拓展探究〉 若干个自然数的和的尾数,等于这若干个自然数尾数之和的尾数,因此200620072008先分别求出3,4,5的尾数,再找出这些尾数之和的尾数就行了。
[能力冲浪] 20002001200220032004、求5+6+7+8+9的尾数。 1
5943172125293337412、求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的尾数。
33293、求52-32的尾数。
【生活数学】
[题3] 数学小博士组的学生做研究,把1991个1991相乘所得的积,你能猜想:积的末两位数字是几,
〈敏捷思维〉 这道题若用硬乘的方法算出它们的积来,显然是非常费力的,我们不妨,从简单入手开始研究:
1991的末两位数是91
1991×1991的末两位数是81
1991×1991×1991的末两位数是71
1991×1991×1991×1991的末两位数是61
1991×1991×1991×1991×1991的末两位数是51
„„„„„„
10个1991相乘的积的末两位数是01
11个1991相乘的积的末两位数是91。
算到这里,规律也很明显,上面的末两位数是按91、81、71、61、51、41、31、21、11、01不断循环出现。
〈全解〉根据末两位出现的规律。
因为1991?10=199„„1,所以1991个1991的末两位数是91。
〈拓展探究〉无论是末位数,还是末两位数,在这样的乘法算式里,它都是按一定的规律出现的,如果找到了规律,问题也就迎刃而解了。
[能力冲浪]
1、324个324相乘所得的积,末两位数字是多少,
2
2、把23个数3、33、333„„,333„„3 相加,所得和的末四位数字是多少,
23个3
3、1~+2~+3~+„„+99~的后两位数字是多少,
(说明:n~=1×2×3ׄ„×n)
[题4] 555„„55?13,当商是整数时,余数是几,
2007个5
〈敏捷思维〉 可以先写几个5,除以13,找找规律看余数是否有规律地重复出现。
〈全解〉5?13余5
55?13余3
555?13余9
5555?13余4
55555?13余6
555555?13余0
我们发现,6个5相连组成的数能被13整除,余数是按5,3,7,4,6,0的顺序重复出现的,因此2007?6=344„„3,余数为3,即与555?13的余数相同是9。
〈拓展探究〉 有时候从复杂问题退到简单问题,找到解题的规律,可以使问题变得简单。
[能力冲浪]
1、求666„„66除以7所得的余数。
2007个6
3
2、求888„„88?6所得的余数是几,
100个8
19943、2除以7的余数是几,
【感受奥赛】
[题5] 213除以一个两位数,余数是3,这个两位数可能是多少,
〈敏捷思维〉 213除以一个两位数,余数是3,如果213减去3,那么得到的210就是这个两位数的倍数。
〈全解〉 213-3=210,210?10=21,210?14=15,210?15=14,210?21=10,210?35=6,210?30=7,210?42=5,因此这个两位数可能是10、14、15、21、35、30、42这7个数。
〈拓展探究〉 在寻找这个两位数时可以把210写成210=2×3×5×7,然后将2、3、5、7进行搭配,去寻找这4个数相乘,得到的两位数。
[能力冲浪]
1、109除以一个两位数,余数是4,这个两位数可能是多少,
2、1290除以一个三位数,余数是3,这个三位数可能是多少,
3、77除以一个一位数,余数是5,这个一位数是多少,
4
尾数与余数提高篇
1、2×2×2×2ׄ„×2的积的末两位数是多少,
803个2
2、3×3×3×3ׄ„×3-1的尾数是多少,
2007个3
3、把2、22、222„„,222„„2这2007个数相加所得和的末四位数是多少,
2007个2
50514、2007+2008的尾数是多少,
54465、654-63的尾数是多少,
5
6、178除以一个两位数后,余数是3,这个两位数可能是多少,
7、444„„4除以6,余数是多少
100个4
8、2886×2886ׄ„×2886+2888×2888ׄ„×2888的和的尾数是多少,
12个2888 15个2886
2886*2886*....*2886(15个2886)
的尾数永远为6
2888*2888*....*2888
的尾数:4 2 6 8循环
所以2888*2888*....*2888(12个2888)
的尾数为:6
2886*2886*....*2886(15个2886)+2888*2888*....*2888(12个2888) 的尾数为:6+6=12
即:2
32319999、求1999+323除以7的余数是多少,
10、34×37×41×43除以13所得的余数是多少,(2007年仙桃市“英才杯”智能竞赛
五
年级
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试题
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)
34/13余数8
37/13余数11
41/13余数2
43/13余数4
只需求8*11*2*4除以13的余数
88/13的余数10
6
8/13的余数为8
只需求80/13的余数
80/13的余数为2
7