_常用数列解法和习题及近几年高考题

_常用数列解法和习题及近几年高考题 数列知识点和常用的解题方法归纳 一、 等差数列的定义与性质 定义:为常数，aaddaand,,,，,()1，，nnn，11 等差中项:，，成等差数列xAyAxy,,，2 aan，1nn,，，，，n1前项和nS,,，nad n122 性质:是等差数列a,,n ()若，则;1mnpqaaaa，,，，,，mnpq ()数列，，仍为等差数列;2aakab，,,,,,,212nnn, SSSSS，，„„仍为等差数列;,, nnnnn232 ()若三个数成等差数列，可设为，，;3adaad,， aSmm21, ()若，是等差数列，为前项和，则;4abSTn,nnnnbTmm21, 2 ()为等差数列(，为常数，是关于的常数项为5aSanbnabn,,，,,nn 0的二次函数) 2 SSanbna的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界,，,,nnn 项，即: a,0,n 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。ad,,00Sn,1na,0，n1, a,0,n 当，，由可得达到最小值时的值。ad,,00Sn,1na,0，n1, 如:等差数列，，，，则aSaaaSn,，，,,,1831 ,,nnnnn,,123 (由，?aaaaa，，,,,,3331 nnnnn,,,,1211 ，aa1，，13,331,,,又?，?Saa 32223 1,,1，n,,aanaan，，?,,，，，，3nn121, 18 ?S,,,,n222 ？,n27) 二、等比数列的定义与性质 an,1n，1 定义:(为常数，)，,,,qqqaaq0n1an 2 等比中项:、、成等比数列，或xGyGxyGxy,,,, naq,()1,1,n前项和:(要注意)nS, ! aq,1,，，n1q,()1,,q1, 性质:是等比数列a,,n ()若，则??1mnpqaaaa，,，,mnpq ()，，„„仍为等比数列2SSSSS,, nnnnn232 三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗, 1、公式法 由S求a2、 nn (时，，时，)naSnaSS,,,,,12 111nnn,3、求差(商)法 111 如:满足„„aaaan，，，,，,,251,,n12n2n222 1 解: naa,,，，,1时，，?21514112 111 naaan,，，，,,，,,2时，„„215212n,1n,21222 1 ,,,,,,12得:a2nn2 n，1?a,2 n 141()n,,?a, ,nn，122()n,, ,练习, 5 数列满足，，求aSSaaa，,,4,,nnnnn，，1113 Sn，1 (注意到代入得:aSS,,,4nnn，，11Sn n 又，?是等比数列，SSS,,44,,1nn n,1naSS,,,,,234时，„„? nnn,1 4、叠乘法 ann1， 例如:数列中，，，求aa,,3a,,n1nan，1n aaaa,12n1123nn 解: ,,?„„?„„，?aaa23nan,1211n 3 又，?aa,,31nn 5、等差型递推公式 由，，求，用迭加法aafnaaa,,,() nnn,110 ,naaf,,,22时，()21,aaf,,()3,32 两边相加，得:,„„„„, ,aafn,,()nn,1, aafffn,,，，，()()()23„„ n1 ?„„aafffn,，，，，()()()23 n0 ,练习, n1, 数列，，，求aaaana,,，,132，，,,nn1nn1, 1n ()a,,31，，n2 6、等比型递推公式 acadcdccd,，,,,、为常数，，，010 ，，nn,1 可转化为等比数列，设axcax，,，，，nn,1,,，,acacx1 ，，nn1, d 令，?()cxdx,,,1c,1 dd,,?是首项为，为公比的等比数列a，a，c ,,n1c,11c,,, dd,,n1,??a，,，ac ,,n1,,11c,c, dd,,n,1?aa,，c, ,,n1,,11c,c, ,练习, 数列满足，，求aaaaa,，,934,,nnnn11， n,14,, ()a,,8，1,,n,,3 7、倒数法 2an 例如:，，求aa,,1a11n，na，2n a，2111n 由已知得:,,，aaa22n，1nn 111 ?,,aa2nn，1 ,,111 ？为等差数列，，公差为,1 ,,aa2n1,, 111 ？,，,,，11nn?1，，，，a22n 2 ?a,nn，1 三、 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗, 1、公式法:等差、等比前n项和公式 2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 n1如:是公差为的等差数列，求ad ,,,naak,1kk，1 ,,11111d由,,,,0解: ，，,,aaddaa，aa?,,，，kkkk，1kk，1 nn,,1111?,, ,,,,aadaa,,k,1k,1kk，1kk，1 ，，,,,,,,1111111,,，,，，,„„,,,,,,,,daaaaaa,,,,,,12231nn，，， ,,111,,,,daa,,11n， ,练习, 111 求和:„„1，，，， 12，123，，123，，，，„„n 1 („„„„，)aS,,,,2nnn，1 3、错位相减法: 若为等差数列，为等比数列，求数列(差比数列)前项ababn,,,,,,nnnn 和，可由求，其中为的公比。SqSSqb,,,nnnn n231,如:„„Sxxxnx,，，，，，,,12341 n nn2341, xSxxxxnxnx?„„,，，，，，,，,,23412，，n nn21, ,,,,,,,，，，，,1211:„„xSxxxnx，，n nn1,x，，nx xS,,1时，,n21,x1,x，， nn，1，，xSn,,，，，，,1123时，„„ n2 4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 ,Saaaa,，，，，„„,nnn121,相加 ,,Saaaa,，，，，„„nnn,121, 2Saaaaaa,，，，，，，„„„„，，，，，，nnnn1211, ,练习, 2x111,,,,,,已知，则fx()()()()(),fffffff，，，，，，,1234 ,,,,,,2,,,,,,，x2341 21,,,,22,,1xx1x,,(由fxf()，,，,，,1 ,,2222,,x1，x1，xx1，1,,1，,,,,x 111，，，，，，,,,,,, ?原式,，，fffffff()()()()12，，3，，4,,,,,,,,,,,,,,,,,,234，，，，，， 11 ,，，，,1113)22 数列 2010年高考 数学试题 八年级上册数学北师大八年级数学期末考试题必修一高中数学函数北京市东城区是哪个区高等学校统一招生考试 分类汇编—— S580aa，,S(2010浙江理数)(3)设为等比数列的前项和，，则, na,,n25nS2 ,11(A)11 (B)5 (C) (D) ,8 380aa，,8a，aq,0q解析:解析:通过，设公比为，将该式转化为，解得2522q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 aaa，，,12(2010全国卷2理数)(4).如果等差数列a中，，那么,,345n aaa，，，,... 127 (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 7()aa，17【解析】 aaaaaaaaa，，,,,？，，，,,,312,4,7283454412742 32Sa,,S(2010辽宁文数)(3)设为等比数列的前项和，已知，na,,n34n 32Sa,,q,，则公比 23 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 a4aaq,？,,4,4解析:选B. 两式相减得， 3aaa,,，. 34343a3 S(2010辽宁理数)(6)设{a}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已nn S,7S,知aa=1, ,则 2435 15313317(A) (B) (C) (D) 2442 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同 学们解决问题的能力。 1242aq,1a,【解析】由aa=1可得，因此，又因为，Saqq,，，,(1)72411231q 14(1),,5111312(3)(2)0，,,，所以q=,所以，故选联力两式有S,,51qq241,2 B。 aaaaa(2010全国卷2文数)(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••„a,,34512n a+= 7 (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 :本题考查了数列的基础知识。 【解析】C 1aaaaaa，，，,，，，,,7()728127174a,4aaa，，,1234542? ～? a,2a(2010江西理数)5.等比数列中，，=4，函数a,,18n '，则( ) fxxxaxaxa,,,,()()()f0,，，，，128 691215A(2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应 '用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只f0，， 412与函数的一次项有关;得:。 fxaaaaaa,,,,()2，，123818 111,,lim1，，，，,,,2nx,,333,,(2010江西理数)4. ( ) 53 23A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和，然后对和取极限。 11,n33 ,lim()n,，,121,3 2Sn,{}aa(2010安徽文数)(5)设数列的前n项和，则的值为 nn8 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64 5.A aSS,,,,,644915【解析】. 887 aSSn,,,(2)【方法技巧】直接根据即可得出结论. nnn,1 aa，,10a(2010重庆文数)(2)在等差数列中，，则的值为 a,,195n (A)5 (B)6 (C)8 (D)10 aaa，,2a解析:由角标性质得，所以=5 1955 S580aa，,s{}a,(2010浙江文数)(5)设为等比数列的前n项和，则 nn25S2(A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 380aa，,8a，aq,0qq解析:通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，2522带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 aa,8(2010重庆理数)(1)在等比数列中， ，则公比q的值为 a,,20102007n A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 a32010,q,8解析: ？q,2 a2007 a,1aaaaaa,(2010北京理数)(2)在等比数列中，，公比.若，aq,1,,1m12345n 则m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 答案:C a,0S(2010四川理数)(8)已知数列的首项，其前项的和为，且na,,1nn anSSa,，2，则 lim,nn，11n,,Sn 1(A)0 (B) (C) 1 (D)2 2 SSa,，2SSa,，2解析:由,且 nn，11nn，，211 作差得a,2a ，，n2n1 又S,2S，a，即a，a,2a，a , a,2a 211211121 故{a}是公比为2的等比数列 n,2n1nS,a，2a，2a，„„，2a,(2,1)a n11111 n,1a2a1n1则 ,,limlimnnn,,,,,Sa(21)2n1 答案:B s(2010天津理数)(6)已知是首项为1的等比数列，是的前n项aa,,,,nnn ,,19ss,和，且，则数列的前5项和为 ,,36an,, 15313115(A)或5 (B)或5 (C) (D) 881616 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等 题。 369(1q)1-,q13=12,，,,qq,{}显然q1，所以，所以是首项为1，公比1-q1,qan 151(),1312为的等比数列， 前5项和. T,,511621,2 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。 {}aaaa,,2(2010广东理数)4. 已知为等比数列，S是它的前n项和。若， nn231 5aaS且与2的等差中项为，则= 4754 A(35 B.33 C.31 D.29 aaaaa,,,,2a,2aq4(C(设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。n231414 55aa由与2的等差中项为知，，即aa，,，22474744 15151( aa,，,,，,,(2)(22)7424244 a111337a,16 ?q,,，即(，即(q,aaqa,,，,21411a8284 ,2010广东文数, aaaa(2010全国卷1文数)(4)已知各项均为正数的等比数列{}，=5，n123aaaaaa=10，则= 789456 (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5242 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 3 【解析】由等比数列的性质知，aaaaaaa,,,()51231322 133aaaaaaa,,,()10,所以, aa,50789798828 13336aaaaaaaaa,,,,,()()(50)52所以 456465528 aaaa(2010全国卷1理数)(4)已知各项均为正数的等比数列{}中，=5，n123aaaaaa=10，则= 789456 (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 1aa(2010湖北文数)7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等aa,2m1322 aa，910,差数列，则 aa，78 A.12，12,322，322, B. C. D (2010山东理数) 1.(2010安徽理数)10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与na2n,,n 前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 XYZ,,3n XZY，,2A、 B、 YYXZZX,,,，，，， 2C、 D、 YXZ,YYXXZX,,,，，，， 10.D 【分析】取等比数列,令得XYZ,,,1,3,7代入验算，只有选项D满1,2,4n,1 足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. (2010湖北理数)7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，sslim设为前n个圆的面积之和，则= nnn,, 82222A( 2 B. C.4 D.6 rrrr,,,,3 Sa,,11aa，,,6(设等差数列的前n项和为,若,,(2010福建理数)3a,,n146n S则当取最小值时,n等于 n A(6 B(7 C(8 D(9 【答案】A aaadd，,，,，,，,,282(11)86【解析】设该数列的公差为，则，解d461 得， d,2 nn(1),22S所以，所以当时，取最Snnnn,,，，,,,,,11212(6)36n,6nn2 小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 2010年高考数学试题分类汇编——数列 11nn(2010浙江理数)(14)设 nnNxx,,，,，2,,(2)(3)23 2n,，，，,,,，aaxaxax， 012n T将的最小值记为，则 akn(0),,nk 1111 TTTTT,,,,,,,,,,,,0,,0,,,,2345n33552323 T其中=__________________ . n 解析:本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 332333(2010陕西文数)11.观察下列等式:1，2,(1，2)，1，2，3,(1，2， 233333)，1，2，3，4, 233333(1，2，3，4)，„，根据上述规律，第四个等式为1，2，3，4，5,(1，(((((222，3，4，5)(或15). 解析:第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方 3333322所以第四个等式为1，2，3，4，5,(1，2，3，4，5)(或15). ((((( SS,,324，S{}a(2010辽宁文数)(14)设为等差数列的前项和，若，nnn36a,则 。 9 32，,Sad,，,3331,a,,1,,12解析:填15. ,解得， ？,，,aad815.,,91d,265，,,Sad,，,62461,2, anaaan,,,33,2,(2010辽宁理数)(16)已知数列满足则的最小值a,,11nn，nn为__________. 21 【答案】 2 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 2【解析】a=(a-a)+(a-a)+„+(a-a)+a=2[1+2+„(n-1)]+33=33+n-n nnn-1n-1n-2211 a33n所以 ,，,n1nn 33,33(33,)，,设，令，则在上是单调fn(),fn(),fn()，,10，,n12nn (0,33)递增，在上是递减的，因为n?N,所以当n=5或6时有最小值。 fn()+ aaaa53632121566n又因为，，所以，的最小值为 ,,,,n5562662 (2010浙江文数)(14)在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。 2答案: n，n q,2(2010天津文数)(15)设{a}是等比数列，公比，S为{a}的前n项和。nnn 17SS,*nn2TTn记TnN,,,.设为数列{}的最大项，则= 。 nn0n0a，n1 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 nn217[1(2)][1(2)]aa,,11,2nn1(2)17(2)16,，1212,,T,,,nnna(2)12(2),1 11616nnn(2),,，,(2)，[(2)17]因为?8，当且仅当=4，即n=4nn(2),12(2) 时取等号，所以当n=4时T有最大值。 0n 【温馨提示】本题的实质是求T取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以n n(2)对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. ,(2010湖南理数)15(若数列满足:对任意的，只有有限个正整数mnN,a,,n ,,()aan,()a使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列(例如，m,,nmn ,()a1,2,3,…，n…0,1,2,1,…，n,…若数列是，则数列是(已知对任意的a,,,,nn 2,,an,，，则 ， n,N()a,n5 ,,(())a, ( n (2010福建理数)11(在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,q=4a,,n a,则该数列的通项公式 ( n n-1【答案】 4 n-1aaa，，,41621a,1a,【解析】由题意知，解得，所以通项。 41111n【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。 223. (2010江苏卷)8、函数y=x(x>0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的kk 横坐标为a,k为正整数，a=16，则a+a+a=____?_____ k+11135 [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 a22kyaaxa,,,2(),在点(a,a)处的切线方程为:当时，解得， y,0x,kkkkk2 ak所以。 ,，，,，，,,164121aaaa，1135k2 2010年高考数学试题分类汇编——数列 (2010上海文数)21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。 *Sna,,,585S已知数列的前n项和为，且， nN,a,,nnnn (1)证明:是等比数列; a,1,,n SS,(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n. S,,nn，1n 解析:(1) 当n,1时，a,,14;当n?2时，a,S,S,,5a，5a，1，所以1nnn,1nn,1 5， aa,,,1(1)nn,16 又a,1,,15?0，所以数列{a,1}是等比数列; 1n n,1n,155,,,,a,,,,115a,,,115(2) 由(1)知:，得，从而nn,,,,66,,,, n,15,,Sn,,，,7590(n,N*); n,,6,, n,1522,,,由S>S，得，，最小正整数n,15( n,，,log114.9n，1n,,56525,,6 (2010湖南文数)20.(本小题满分13分) 给出下面的数表序列: 其中表n(n=1,2,3 )有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起， 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并(I) 将结论推广到表n(n?3)(不要求证明); (II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 bbb32n，4，， 求和: b,,nbbbbbb12231nn， (2010全国卷2理数)(18)(本小题满分12分) 2n已知数列a的前n项和( Snn,，()3,,nn an(?)求; lim,,nSn aaann12(?)证明:( 3，，，…,22212n sn(1),,1【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极a,,nssn,,(2),nn1,限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】2010年高考数学全国I、?这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. (2010陕西文数)16.(本小题满分12分) 已知{a}是公差不为零的等差数列，a,1，且a，a，a成等比数列. 1139nan (?)求数列{a}的通项; (?)求数列{2}的前n项和S. nn 解 (?)由题设知公差d?0， 12，d18，d 由a,1，a，a，a成等比数列得,， 1139112，d 解得d,1，d,0(舍去)， 故{a}的通项a,1+(n,1)×1,n. nn mna2 (?)由(?)知=2，由等比数列前n项和公式得 n2(12),23nn+1 S=2+2+2+„+2==2-2. m12, 18)(本小题满分12分) (2010全国卷2文数)( {}a已知是各项均为正数的等比数列，且 n 11111， aa，,，2()aaa，，,，，64()12345aaaaa34512 {}a(?)求的通项公式; n 12{}bTba,，(?)设()，求数列的前项和。 nnnnnan n【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。 aa11dd,1,设出公比根据条件列出关于与的方程求得与～可求得数列的通项公式。 ,2,由,1,中求得数列通项公式～可求出BN的通项公式～由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。 (2010江西理数)22. (本小题满分14分) 证明以下命题: 222(1) 对任一正整a,都存在整数b,c(b