B6-001 有一群儿童，他们的年龄之和50岁，其中最大的13岁，有一个是10
B6-001 有一群儿童，他们的年龄之和50岁，其中最大的13岁，有一个是10岁;除去这个10岁儿童之外，其余儿童的年龄都是整数且恰好组成一个等差数列(问有几个儿童,每个儿童是
几岁,
【
题
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说】1956年北京、天津市赛二
试题
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1(
【解】设除去10岁的那个儿童外，他们的岁数为
a，a+ d，a+2d，…，a+ nd
且a+nd=13(
于是 a+(a+ d)+(a+2d)+…+(a+ nd)
亦即 (n+1)(2a+nd)=80
或 (n+1)(a+13)=80
可见，(n+1)|80(但a+13,13，又a+13,2×13=26，故3,n+1,6(
当n+1=4时，由4(a+13)=80，得a=7，从而d=2，共5个儿童，岁数为7，9，10，11，13(
是不可能的，于是解是唯一的(
B6-002 在公比大于1的等比数列中，最多有几项是在100和1000之间的整数(
【题说】第四届(1972年)加拿大数学奥林匹克题10(
【解】考虑等比数列
2n-1(100?)a,ar,ar,…,ar(?1000)
其中r,1是公比，a为首项，各项都是整数(因此r为有理数(设r =p/q，(p，q)=1，p,q(
n-1n-1n-1因为ar=a(p/q)是整数，所以q整除a(
如果q?3，则有
而有n?5(
如果q=1，则
而有n?4(
，则 如果q=2
432，648，972在100与1000之间( B6-003 若实数a，a，a，a满足 1234
求证:a，a，a成等比数列，且公比为a( 1234【题说】1978年上海市赛二试题5(
4看成关于a的二次方程，则判别式
因为判别式为0，方程两根相等，由韦达定理
即a是等比数列a，a，a的公比( 4123
B6-004 如果1、x、y三个正数，既依次是一个等差数列的第l项、第m项、第n项，又依次是一个等比数列的第l项、第m项、第n项，试确定x、y应满足的关系式(
【题说】1983年上海市赛一试题1(6)(
【解】设该等差数列的公差为d(若d?0，则
又设该等比数列的公比为q，则q?1，且有
y-1x-1若d=0，则x=y=1(此时仍有x=y(
答案
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是否定的(
B6-008 证明:在首项为1，公差为729的等差数列中，可找到无限多项是10的(自然数)方幂(
【题说】第二十二届(1996年)全俄数学奥林匹克九年级题5(
【证】我们可证明更为一般的结论:
k若整数a与m互素，则存在无限多个自然数k，使得a-1被m
，m=729时便是本题的结论)( 整除(当a=10
先证至少存在一个这样的k(
2m由抽屉原则，在数列1，a，a，…，a中，必有两项，除以m
j+kjjk所得的余数相同，即它们的差a-a=a(a-1)被m整除，因为a
k与m互素，所以a-1被m整除(
klka-1被m整除时，显然a-1被m整除，其中l=1，2，3，…(
B6-010 设[x]
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示不超过x的最大整数(试对任意正整数n计算和
【题说】第十届(1968年)国际数学奥林匹克题6(本题由英
国提供(
【解】令,x,=x-[x]，则
从而
利用(1)得
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