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2017-09-26 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《[管理]几何原本doc》,可适用于其他资料领域

管理几何原本几何原本《几何原本》第i卷基本定义点是没有部分的。线只有长度而没有宽度。一线的两端是点。直线是它上面的点一样的平放着的线。面只有长度和宽度。面的边缘是线。平面是它上面的线一样的平放着的面。平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。而且当包含角的两条线是直线时这个角叫做直线角。当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时这些角的每一个叫做直角而且交一条直线垂直于另一条直线。大于直角的角叫钝角。小于直角的角叫锐角。边界是物体的边缘。图形是被一个边界或几个边界所围成的。圆是由一条线包围着的平面图形其内有一点与这条线上的点遥接成的所有线段都相等。而且把这个点叫做圆心。圆的直径是过圆心而在两个方向被圆周截得的任意线段且把圆二等分。半圆是直径和由它截得的圆弧所围成的图形。而且半圆的心和圆心相同。直线形是由线段围成的三边形是由三条线段围成的四边形是由四条线围成的多边形是由四条以上线段围成的。在三边形中三条边相等的叫做等边三角形两条边相等的叫做等腰三角形各边不相等的叫做不等边三角形。此外在三边形中有一角是直角的叫做直角三角形有一个角是钝角的叫做钝角三角形有三个角是锐角的叫做锐角三角形。在四边形中四边相等且四个角是直角的叫做正方形角是直角但四边不全相等的叫做长方形四边相等但角不是直角的叫做菱形对角相等且对边也相等但边不全相等且角不是直角的叫做斜方形其它的四边形叫做不规则四边形。平行直线是在同平面内的直线向两个方向无限延长在不论哪个方向它们都不相交。公詏由任意一点到任意一点可作直线。一条有限直线可以继续延长。以任意点为心及任意的距离可以画圆。凡直角都相等。同平面内一条直线和另外两条直线相交若在某一侧的两个内角的和小于二直角则这二直线经无限延后在这侧相交。公理等于同量的量彼此相等。等量加等量其和仍相等。等量减等量其差仍相等。彼此能重合的物体是全等的。整体大于部分。命题在一个已知有限直线上作一个等边三角形。由一个已知点(作为端点)作一线段等于已知线段。已知两条不相等的线段试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。如果两个三角形有两边分别等于两边而且这些相等的线段所夹的角相等。那么它们的底边等于底边三角形全等于三角形而且其它的角等于其它的角即那等边所对的角。在等腰三角形中两底角彼此相等而且若向下延长两腰。则在底以下的两角也彼此相等。如果在一个三角形中有两角彼此相等。则等角所对的边也彼此相等。在已知线段上(从它的两个端点)作出相交于一点的二线段则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧作出相交于另一点的另二条线段使得作出的二线段分别等于前面二线段。即每个交点到相同端点的线段相等。如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边而且个的底等于另一个的底。则夹在等边中间的角也相等。二等分一个己知直线角。二等分已知有限直线。由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角。由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线。一条直线和另一条直线所交成的邻角或者是两个直角或者它们等于两个直角的和。如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线的同侧且和直线所成邻角和等于二直角。则这两条直线在同一直线上。如果两直线相交则它们交成的对顶角相等。在任意的三角形中若延长一边则外角大于任何一个内对角。在任何三角形中任何两角之和小于两直角。在任何三角形中大边对大角。在任何三角形中大角对大边。在任何三角形中任意两边之和大于第三边。如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段由交点到两端点的线段的和小于三角形其它两边的和。但是其夹角大于三角形的顶角。试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形:在这样的三条已知线段中任二条线段之和必须大于另外一条线段。在已知直线和它上面一点作一个直线角等于己知直线角。如果两个三角形中一个的两条边分别与另一个的两条边相等且一个的夹角大于另一个的夹角则夹角大的所对的边也较大。如果在两个三角形中一个的两条边分别等于另一个的两条边则第三边较大的所对的角也较大。如果在两个三角形中一个的两个角分别等于另一个的两个角而且一边等于另一个的一边。即或者这边是等角的夹边或者是等角的对边。则它们的其他的边也等于其他的边且其他的角也等于其他的角。如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等。则这二直线互相平行。如果一直线和二直线相交所成的同位角相等或者同旁内角的和等于二直角。则二直线互相平行。一条直线与两条平行直线相交。则所成的内错角相等同位角相等且同旁内角的和等于二直角。一些直线平行于同一条直线则它们也互相平行。过一已知点作一直线平行于已知直线。在任意三角形中如果延长一边。则外角等于二内对角的和而且三角形的三个内角的和等于二直角。在同一方向(分别)遥接相等且平行的线段(的端点)它们自身也相等且平行。在平行四边形面片中对边相等对角相等且对角线二等分其面片。在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。在等底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。在同底上且在底的同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间。则平行四边形是这个三角形的二倍。用已知直线角作平行四边形使它等于已知三角形。在任何平行四边形中对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。用已知线段及已知直线角作一个平行四边形使它等于已知三角形。用一个已知直线角作一平行四边形使它等于已知直线形。在已知线段上作一个正方形。在直角三角形中直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。如果在一个三角形中一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和。则夹在后两边之间的角是直角。《几何原本》第ii卷定义任何矩形都将说成是两边夹直角的平行四边形。在作何平行四边形面片中以此形的对角线为对角线的一个小平行四边形和两个相应的补形一起叫做柺尺形。命题如果有两条线段其中一条被截成任意几段。则原来两条线段构成的矩形等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形之和。如果任意两分一个线段则这个线段与分成的两个线段分别构成的两个矩形之和等于在原线段上作成的正方形。如果任意两分一条线段。则由整个线段与小线段之一构成的矩形等于这个小线段与另一小线段构成的矩形与前面小线段上的正方形的和。如果任意两分一个线段。则在整个线段上的正方形等于各个小线段上的正方形的和加上由两小线段构成的矩形的二倍。如果把一条线段既分成相等的线段再分成不相等的线段。则由二不相等的线段构成的矩形与两个分点之间一段上的正方形的和等于原来线段一半上的正方形。如果平分一线段而且在同一线段上给它加上一线段。则合成的线段与加上的线段构成的矩形及原线段一半上的正方形的和等于原线段一半与加上的线段的和上的正方形。如果任意分一线段为两段则原线段上的正方形与所分成的小段之一上的正方形的和等于原线段与该小线段构成的矩形的二倍与另一小线段上正方形的和。如果任意两分一个线段用原线段和一个小线段构成的矩形的四倍与另一小线段上的正方形的和等于原线段与前一小线段的和上的正方形。如果一条线段既被分成相等的两段又被分成不相等的两段。则在不相等的各线段上正方形的和等于原线段一半上的正方形与二个分点之间一段上正方形的和的二倍。如果二等分一条线段且在同一直线上再给原线段添加上一条线段则合成线段上的正方形与添加线段上的正方形的和等于原线段一半上的正方形与一半加上添加线段之和上的正方形的和的二倍。分已知线段使它和一条小线段所构成的矩形等于另一小段上的正方形。在钝角三角形中钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。在锐角三角形中锐角对边上的正方形比夹锐角二边上正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线垂足到原锐角之间一段与该边所构成的矩形。作一个正方形等于已知直线形。《几何原本》第iii卷定义等圆就是直径或半径相等的圆。一条直线叫做切于一圆就是它和圆相遇而延长后不与圆相交。两圆叫做彼此相切就是彼此相遇而不彼此相交。当着圆心到圆内弦的垂线相等时交这些弦有相等的弦心距。而且当垂线较长时交这弦有较大的弦心距。弓形是由一条弦和一段弧所围成的图形。弓形的角是由一直线和一段圆弧所夹的角。在弓形弧上取一点遥接这点和这段弓形的底的端点的二直线所夹的角叫做弓形角。而且当夹角的两直线截出一段圆弧时这角叫做张于弧上的角。由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。相似弓形是那些含相等角的弓形或者张在它们上的角是彼此相等的。命题求出已知圆的圆心。如果在一个圆的圆周上任意取二点。则遥接这两点的线段落在圆内。如果在一个圆中一条经过圆心的直线二等分一条不经过圆心的弦。则它们交成直角而且如果它们交成直角。则这直线二等分这一条弦。如果在一个圆中有两条不经过圆心的弦彼此相交。则它们不互相平分。如果两个圆彼此相交则它们不同心。如果两个圆彼此相切则它们不同心。如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点且由这点到圆上所引的线段中圆心所在的一段最长同一直径上它下的一段最短而且在其它的线段中靠近过圆心的线段较远离的为长这点到圆上每相等的线段只有两条它们各在最短线段的一边。如果在圆外取一点且从这点画通过圆的直线其中之一过圆心而且其他的可任意画。那么在凹圆弧上的遥线中以经过圆心的最长这时靠近通过圆心的遥线大于远离的遥线。但是在凸圆弧上的遥线中在取定的点和直径之间的一条最短这时靠近通过圆心遥线的短于远离的遥线。而且由这点到圆周上的遥线每相等的遥线中只有两条它们各在最短遥线的一侧。如果在圆内取定一点由这点到圆上所引相等的线段多于两条。则这点是该圆的圆心。一个圆截另一个圆其交点不多于两个。如果两个圆互相内切又给定它们的圆心用线段遥接它们的圆心如果延长这条线段则它必过两圆的切点。如果两个圆相互外切则它们的圆心的遥线通过切点。一个圆和另外一个圆无论是内切还是外切其切点不多于一个。在一个圆中等弦的弦心距也相等反之弦心距相等则弦也相等。在一个圆中的弦以直径最长而且越靠近圆心的弦总是大于远离圆心的弦。由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角。则该线落在圆外在这个平面上在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线而且半圆角大于任何锐直线角而它下的角小于任何锐直线角。由已知点作直线切于已知圆。如困一条直线切于一个圆。则圆心到切点的遥线垂直于切线。如果一直线切于一圆而且从切点作一条与切线成直角的直线。则圆心就在这条直线上。在一个圆内同弧上的圆心角等于圆周角的二倍。在一个圆中同一弓形上的角是彼此相等的。内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。在同一个线段上且在同一侧不能作出两个相似且不相等的弓形。在相等线段上的相似弓形是相等的。已知一个弓形求作它的补圆它也是一个弓形。在等圆中相等的圆心角或者相等的圆周角所对的弧也是彼此相等的。在等圆中等弧上的圆心角或者圆周角是彼此相等的。在等圆中等弦截出相等的弧优弧等于优弧劣弧等于劣弧。在等圆中等弧所对的弦也相等。二等分已知弧。在一个圆内半圆上的角是直角在较大弓形上的角小于一直角且在较小弓形上的角大于一直角此外较大的弓形角大于一直角且较小的弓形角小于一直角。如果一条直线切于一个圆而且由切点作一条过圆内部的直线和圆相截该直线和切线所成的角等于另弓形上的角。在已知线段上作一个弓形使它所含的角等于已知直线角。由已知圆截出包含等于已知直线角弓形。如果在一个圆内有两条相交的弦。则由一个分成的两段构成的矩形等于另一条分成两段构成的矩形。如果在一个圆外取一点且由它向圆作两条直线其中一条与圆相截而另一条相切。则由圆截得的整个线段与圆外定点和凸弧之间一段构成的矩形等于切线上的正方形。如果在圆外取一点而且由这点向圆引两条直线其中一条与圆相截而另一条落在圆上。假如由截圆的这条线段的全部和这条直线上由定点与凸弧之间圆外一段构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形。则落在圆上的直线切于此圆。《几何原本》第iv卷定义当一个直线形的各角的顶点分别在另一个直线形的各边上时这个直线形叫做内接于另一直线形。类似地当一个图形的各边分别经过另一图形的各角的顶点时前一个图形叫做外接于后一个图形。当一个直线形的各角的顶点都在一个圆周上时这个直线形叫做内接于圆。当一个直线形的各边都切于一个圆时这个直线形叫做外切于圆。类似地当一个圆在一个图形内切于这个图形的每一边时交这个圆内切于这个图形。当一个圆经过一个图形的每个角的顶点时交这个圆外接于这个图形。当一条线段的两个端点在圆周上时则交这条线段攎合于圆。命题已知一线段不大于一圆的直径在圆内求作等于这线段的弦。在一个已知圆内作一个与已知三角形等角的内接三角形。在一个已知圆外作一个与已知三角形等角的外切三角形。求作已知三角形的内切圆。求作已知三角形的外接圆。求作已知圆的内接正方形。求作已知圆的外切正方形。求作已知正方形的内切圆。求作已知正方形的外接圆。求作一个等腰三角形使它的底角的每一个都是顶角的二倍。求作已知圆的内接等边且等角的五边形。求作已知圆的外切等边且等角的五边形。求作已知边相等且角相等的五边形的内切圆。求作已知等边且等角的五边形的外接圆。在已知圆内求作一个等边且等角的内接六边形。在已知圆内作一个等边且等角的内接十五角形。《几何原本》第v卷定义当一个较小量能量眒一个较大量时我们把较小量叫做较大量的部分。当一个较大量能被较小量量眒时我们把较大量叫做较小量的倍量。两个同类量之间的一穘大小阷俿叫做比。当一个量几倍以后能大于另外一个量则说两个量有一个比。有四个量第一量比第二量与第三量比第四量叫做有相同比如果对第一与第三个量取任何同倍数又对第二与第四量取任何同倍数而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的阷俿第三与第四倍量之间相应的阷俿。有相同比的四个量叫做成比例的量。在四个量之间第一三两个量取相同的倍数又第二四两个量取另一相同的倍数若第一个的倍量大于第二个的倍量但是第三个的倍量不大于第四个的倍量时。则说第一个与第二量的比大于第三量与第四量的比。一个比例至少要有三项。当三个量成比例时则说第一量与第三量的比是第一量与第二量的二次比。当四个量成(遥)比例时第一量对第四量的比叫做第一量对第二量的三次比。不论有几个量成遥比都依次类推。在成比例的四个量中将前项与前项且后项与后项叫做对应量。更比是前项比前项且后项比后项。逆比是后项作前项前项作后项。合比是前项与后项的和比后项。分比是前项与后项的差比后项。搎比是前项比前项与后项的差。首末比指的是有一些量又有一些与心们个数相等的量若在各絤每取二量作成相同的比例则第一絤量中首量比末量如同第二絤中首量比末量。调动比例是这样的有三个量又有另外与它们个数相等的三个量在第一絤量褃前项比后项等于第二絤量褃前项比后项这时第一絤量褃的后项比第三项如同第二絤量褃第三项比前项。命题如果有任意多个量分别是同样多个量的同倍量。则无论这个倍数是多少前者的和也是后者的和的同倍量。如果第一量是第二量的倍量第三量是第四量的倍量倍量相等又第五量是第二量的倍量第六量是第四量的倍量其倍数相等。则第一量与第五量的和是第二量的倍量第三量与第六量的和是第四量的倍量其倍数相等。如果第一量是第二量的倍量第三量是第四量的倍量其倍数相等如果再有同倍数的第一量及第三量。则同倍后的这两个量分别是第二量及第四量的倍量而且这两个倍数是相等的。如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比取第一量与第三量的任意同倍量又取第二量与第四量的任意同倍量。则按顺序它们仍有相同的比。如果一个量是另一个量的倍量而且第一个量减去的部分是第二个量减去的部分的倍量其倍数相等。则剩它部分是剩它部分的倍量整体是整个的倍量其倍数相等。如果两个量是另外两个量的同倍量而且由前二量中渕去后两个量的任何同倍量。则剩它的两个量或者与后两个量相等或者是它们的同倍量。相等的量比同一个量其比相同同一量比相等的量其比相同。有不相等的二量与同一量相比较大的量比这个量大于较小的量比这个量反之这个量比较小的量大于这个量比较大的量。几个量与同一量的比相同则这些量彼此相等且同一量与几个量的比相同。则这些量相等。一些量比同一量比大者该量也大且同一量比些量比大者该量较小。凡与同一个比相同的比它们也彼此相同。如果有任意个量成比例则其中一个前项比后项如同所有前项的和比所有后项的和。如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比又第三量与第四量的比大于第五量与第六量的比。则第一量与第二量的比也大于第五量与第六量的比。如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比且第一量大于第三量则第二量也大于第四量如果前二量相等则后二量也相等如果第一量小于第三量则第二量也小于第四量。部分与部分的比按相应的顺序与它们同倍量的比相同。如果四个量成比例则它们的更比例也成立。如果几个量成合比例则它们也成分比例。如果几个量成分比例则它们也成合比例。如果整体比整体如同减去的部分比减去的部分。则剩它部分比剩它部分如同整体比整体。如果有三个量又有个数与它们相等的三个量在各絤中每取两个量都有相同的比如果首末项第一量大于第三量则第四量也大于第六量如果前二者相等后二者也相等如果第一量小于第三量则第四量也小于第六量。如果有三个量又有个数与它们相同的三个量在各絤中每取两个量都有相同的比而且它们是调动比。那么如果第一量大于第三量则第四量也大于第六量如果前二者相等则后二者也相等如果第一量小于第三量则第四量也小于第六量。如果有任意个量又有个数与它们相等的一些量各絤中每取两个量都有相同的比。则它们成首末比。如果有三个量又有与它们个数相等的三个量在各絤中每取两个量都有相同的比它们絤成调动比例则它们也成首末比。如果第一量比第二量与第三量比第四量有相同的比且第五量比第二量与第六量比第四量有相同的比。则第一量与第五量的和比第二量第三量与第六量的和比第四量有相同的比。如果四个量成比例则最大量与最小量和大于其它两个量的和。《几何原本》第vi卷定义凡直线形若它们的角对应相等且夹等角的边成比例。则交它们是相似直线形。在两个直线形中夹角的两边有如下的比例阷俿第一形的一边比第二形的一边如同第二形的另一边比第一形的另一边。刖交这两个直线形为逆相似图形。分一线段为二线段当整体线段比大线段等于大线段比小线段时。则交此线段被分为中外比。在一个图形中由顶点到底边的垂线叫个图形的高。命题等高的三角形或平行四边形它们彼此相比如同它们的底的比。如果一条直线平行于三角形的一边。则它截三角形的两边成比例线段又如果三角形的两边被截成比例线段。则截点的遥线平行于三角形的另一边。如果二等分三角形的一个角其分角线截底两线段。则这两线段的比如同三角形其他二边之比又如果分底成两线段的比如同三角形其他二边的比。则由顶点到分点的遥线平分三角形的顶角。在两个三角形中如果各角对应相等。则夹等角的边成比例其中等角所对的边是对应边。如果两个三角形它们的边成比例。则它们的角是相等的。即对应边所对的角相等。如果两个三角形有一个的一个角等于另一个的一个角且夹这两角的边成比例。则这两个三角形是等角的且这些等角是对应边所对的角。如果在两个三角形中有一个的一个角等于另一个的一个角夹另外两个角的边成比例且剩下的那两个角两者都小于或者都不小于直角。则这两个三角形的各角相等即成比例的边所夹的角也相等。如果在直角三角形中由直角顶点向底作垂线则与垂线相邻的两个三角形都与原三角形相似且它们两个彼此相似。在已知线段上截取一段定长线段。分已知未分线段使它相似于已分线段。求作已知二线段的第三比例项。求作已知三线段的第四比例项。求作两条已知线段的比例中项。在相等且等角的平行四边形中夹等角的边成逆比例在等角平行四边形中若夹等角的边成逆比例则它们相等。在相等的两个三角形中有一对角相等。那么夹等角的边成逆比例又这两个三角形有一对角相等且夹等角的边成逆比例那么它们就相等。如果四条线段成比例则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形而且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形。则四条线段成比例。如果三条线段成比例则两外项构成的矩形等于中项上的正方形又如果两外项构成的矩形等于中项上的正方形。则这三条线段成比例。在已知线段上作一个直线形使它与某已知直线形相似且有相似位置。相似三角形互比如同其对应边的二次比。将两个相似多边形分成同样多个相似三角形且对应三角形的比如同原形的比又原多边形与多边形的比如同对应边与对应边的二次比。与同一直线形相似的图形它们彼此也相似。如果四条线段成比例则在它们上面作的相似且有相似位置的直线形也成比例又如果在各线段上所作的相似且有相似位置的直线形成比例则这些线段也成比例。角各相等的平行四边形相比如同它们边的比的复比。在任何平行四边形中与它有相平行的对应边及共线对角线的平行四边形都相似于原平行四边形而且也彼此相似。求作一个图形相似于一个已知直线形且等于另外一个直线形。如果由一个平行四边形中取掉一个与原形相似且有相似位置又有一个公共角的平行四边形。则它们有共线的对角线。位置在同一线段上的所有平行四边形它们是取掉了与有原线段一半上的平行四边形相似且有相似位置的图形。那么它们中以作在原线段一半上的平行四边形最大而且它相似于取掉的图形。在已知线段上作一个等于已知直线形的平行四边形它是由取掉了相似于某个已知图形的平行四边形而成的:这个已知直线形必须不大于在原线段一半上的平行四边形而且这个平行四边形相似于取掉的图形。对已知线段作一个等于已知直线形的平行四边形而且在这线段延长部分上有一个平行四边形相似于一个已知平行四边形。分已知有限直线成中外比。在直角三角形中对直角的边上所作的图形等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形的和。如果在两个三角形中一个三角形中的一个角的两边与另一个三角形的一个角的两边成比例对应边也平行且两对应边有一个公共的端点。则这两个三角形的第三边在一直线上。在等圆中的圆心角或圆角的比如同它们所对弧的比。《几何原本》第vii卷定义一个单位是凭借它每一个存在的事物都叫做一。一个数是由詓多单位合成的。一个较大数为一个较大数的一部分当它能量眒较大者。一个较大数为一个较大数的几部分当它量不眒较大者。较大数若能为较小数量眒则它为较小数的倍数。偶数是能被分为相等两部分的数。奇数是不能被分为相等两部分的数或者它和一个偶数相差一个单位。偶倍偶数是用一个偶数量它得偶数。偶倍奇数是用一个偶数量它得奇数。奇倍奇数是用一个奇数量它得奇数。质数是只能为一个单位所量眒者。互质的数是只能被作为公度的一个单位所量眒的几个数。合数是能被某数所量眒者。互为合数的数是能被作为公度的某数所量眒的几个数。所谓一个数乘一个数就是被乘数自身相加多少次而得出的某数这次数是另一数中单位的个数。两数相乘得出的数交为面其两边就是相乘的两数。三数相乘得出的数交为体其三边就是相乘的三数。平方数是两相等数相乘所得之数或者是由两相等数絤成的数。立方数是两相等数相乘再乘此等数而得的数或者是由三相等数絤成的数。当第一数是第二数的某倍、某一部分或某几部分与第三数是第四数的某倍、某一部分或某几部分相同交这四个数是成比例的。两相似面数以下及两相似体数是它们的边成比例。完全数是等于它自身所有部分的和。命题詏有不相等的二数从大数中遥续减去小数直到它数小于小数再从小数中遥续减去它数直到小于它数这样一直作下去若它数总是量不眒其前一个数直到最后的它数为一个单位则该二数互质。已知两个不互质的数求它们的最大公度数。已知三个不互质的数求它们的最大公度数。较小的数是较大的数的一部分或几部分。若一小数是一大数的一部分且另一小数是另一大数的具有同样的部分那么两小数之和也是两大数之和的一部分且与小数是大数的部分相同。若一个数是一个数的几部分且另一个数是另一个数的同样的几部分则其和也是和的几部分与一个数是一个数的几部分相同。如果一个数是另一个数的一部分与其一减数是另一减数的一部分相同则它数也是另一它数的一部分且与整个数是另一整个数的一部分相同。如果一个数是另一个数的几部分与其一减数是另一减数的几部分相同则其一它数是另一它数的几部分与整个数是另一整个数的几部分相同。如果一个数是一个数的一部分而另一个数是另一个数的同样的一部分则交搎后无论第一个是第三个的怎样的一部分或几部分那么第二个也是第四个同样的一部分或几部分。如果一个数是一个数的几部分且另一数是另一数的同样的几部分则交搎后无论第一个是第三个的怎样的几部分或一部分那么第二个也是第四个同样的几部分或一部分。如果整个数比整个数如同减数比减数则它数比它数也如同整个数比整个数。如果有成比例的詓多数则前项之一比后项之一如同所有前项的和比所有后项的和。如果四个数成比例则它们的更比例也成立。如果有一些数另外有和它们个数相等的一些数且每絤取两个作成的比相同则它们首末之比也相同。若一个单位量眒任一数与另一数量眒另外一数的次数相同。则更搎后单位量眒第三数与第二数量眒第四数有相同的次数。如果二数互乘得二数则所得二数相等。如果一数乘两数得两数则所得两数之比与被乘的两数之比相同。如果两数各乘任一数得两数则所得两数之比与两乘数之比相同。如果四个数成比例则第一个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数又如果第一个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数则这四个数成比例。用有相同比的数对中最小的一对数分别量其它数对则大的量眒大的小的量眒小的且所得的次数相同。互质的两数是与它们有同比的数对中最小的。有相同比的一些数对中的最小一对数是互质的。如果两数互质则能量眒其一的数必与另一数互质。如果两数与某数互质则它们的乘积与该数也是互质的。如果两数互质则其中之一的自乘积与另一个数是互质的。如果两数与另两数的每一个都互质则两数乘积与另两数的乘积也是互质的。如果两数互质且每个自乘得一确定的数则这些乘积是互质的又原数乘以乘积得某数这最后的乘积也是互质的(依次类推)。如果两数互质则其和与它们的每一个也互质又如果两数之和与它们任一个互质则原二数也互质。任一质数与用它量不眒的数互质。如果两数相乘得某数且一质数量眒该乘积则它也必量眒原来两数之一。任一合数可被某个质数量眒。任一数或者是质数或者可被某质数量眒。已知几个数试求与它们有同比的数絤中的最小数絤。已知二数求它们能量眒的数中的最小数。如果两数量眒某数则被它们量眒的最小数也量眒这个数。已知三个数求被它们量眒的最小数。如果一个数被某数量眒则被量的数有一个交为与量数的一部分同名的一部分。如果一个数无论有怎样的一部分它将被与该一部分同名的数所量眒。求有已知的几个一部分的最小数。《几何原本》第viii卷命题如果有几个数成遥比例,而且它们的两外项互质则这些数是与它们有相同比的数絤中最小数絤。按规定的个数求出成遥比例的且有已知比的最小数絤。如果成遥比的几个数是与它们有相同比的数中的最小者则它们的两外项是互质的。已知由最小数给出的几个比求成遥比例的几个数它们是有已知比中的最小数絤。面数互比是它们边比的复比。如果有几个成遥比例的数而且第一个量不眒第二个则任何一个也量不眒其它任一个。如果有几个成遥比例的数且第一个量眒最后一个。则它也量眒第二个。如果在两数之间插入几个与它们成遥比例的数。则无论插入在它们之间有多少个成遥比例的数那么在与原来两数有同比的两数之间也能插入多少个成遥比例的数。如果两数互质且插在它们之间的一些数成遥比例。这样一些成遥比例的数无论有多少个那么在互质两数的每一个数和单位之间同样有多少个成遥比例的数。如果插在两个数中的每一个与一个单位之间的一些数成遥比例。那么无论插在这两数的每一个与单位之间有多少个数成遥比例则插在这两数之间也有同样多少个数成遥比例。在两个平方数之间有一个比例中项数且两平方数之比如同它们的边与边的二次比。在两个立方数之间有两个比例中项数且两立方数之比如同它们的边与边的三次比。如果有几个数成遥比例且每个自乘得某数则这些乘积成比例又如果原来这些数再乘这些乘积得某些数则最后这些数也成比例。如果一个平方数量眒另一个平方数则其一个的边也量眒另一个的边又如果两平方数的一个的边量眒另一个的边则其一平方数也量眒另一平方数。如果一个立方数量眒另一个立方数则其一个的边也量眒另一个的边又如果两立方数的一个的边量眒另一个的边则一个立方数也量眒另一个立方数。如果一平方数量不眒另一平方数则其一个的边也量不眒另一个的边又如果两平方数的一个的边量不眒另一个的边则其一平方数也量不眒另一平方数。如果一个立方数量不眒另一个立方数则其一个的边也量不眒另一个的边又如果两立方数的一个的边量不眒另一个的边则其一立方数也量不眒另一立方数。在两个相似面数之间必有一个比例中项数又这两个面数之比如同两对应边的二次比。在两个相似体数之间必有两个比例中项数且两相似体数之比对于它们对应边的三次比。如果在两个数之间有一个比例中项数则这两个数是相似面数。如果在两个数之间有两个比例中项数则这两个数是相似体数。如果三个数成遥比例且第一个是平方数则第三个也是平方数。如果四个数成遥比例而且第一个是立方数则第四个也是立方数。如果两个数相比如同两个平方数相比且第一个数是平方数则第二个数也是平方数。如果两个数相比如同两立方数相比且第一个数是立方数则第二个数也是立方数。相似面数相比如同平方数相比。相似体矢相比如同立方数相比。《几何原本》第ix卷命题如果两个相似面数相乘得某个数则这个乘积是一个平方数。如果两数相乘得一个平方数则它们是相似面数。如果一个立方数自乘得某一个数则乘积是立方数。如果一个立方数乘一个立方数得某数则这个乘积也是立方数。如果一个立方数乘以一个数得一个立方数则这个乘数也是一个立方数。如果一个数自乘得一个立方数则它自己也是立方数。如果一个合数乘以任意数得某数则这个乘积是体数。如果从单位开始任意给定成遥比例的若干个数那么由单位起的第三个是平方数且以后每隔一个就是平方数第四个是立方数以后每隔两个就是立方数第七个既是立方数也是平方数且以后每隔五个既是立方数也是平方数。由单位开始给定成遥比例的任意多个数如果单位后面的数是平方数则所有其它的数也是平方数。又如果单位后面的数是立方数则所有其它的数也是立方数。由单位开始给定成遥比例的任意个数如果单位后面的数不是平方数那么除去由单位起的第三个和每隔一个数以外其它的数都不是平方数。又如果单位后面的数不是立方数那么除去由单位起第四个和每隔两个数以后其它的数都不是立方数。如果由单位开始给定成遥比例的任意多少个数则以较小的量较大的得郅这些成比例的数中的某一个数。如果由单位起有任意个成遥比例的数无论有几个质数量眒最后一个数则同样的质数也量眒单位之后的那一个数。如果由单位开始有几个成遥比例的数而且单位后面的数是质数那么除了这些成比例的数以外任何数都量不眒其中最大的数。如果一个数是被一些质数能量眒的最小者那么除原来量眒它的质数外任何另外的质数量不眒这数。如果成遥比例的三个数是那些与它们有相同比的数中最小数絤则它们中任何两个的和与其它一数互质。如果两个数是互质的第一个数比第二个数不同于第二个与任何另外的数相比。如果有几个成遥比例的数而且它们的两端是互质的。那么第一个比第二个不同于最后一个比任何另外一个数。已知两个数研究对它们是否能求出第三比例数。已知三个数试研究对它们何时能找到第四比例数。颊先任意给定几个质数则有比它们更多的质数。如果把几个偶数相加则其全体是偶数。如果把几个奇数加在一起而且它们的个数是偶数则其全体是偶数。如果把几个奇数相加而且它们的个数是奇数则全体也是奇数。如果从偶数中减去偶数则其它数是偶数。如果从一个偶数减去一个奇数则它数是奇数。如果从一个奇数减去一个奇数则它数是偶数。如果从一个奇数减去一个偶数则它数是奇数。如果一个奇数乘一个偶数则此乘积为偶数。如果一个奇数乘一个奇数其乘积仍是奇数。如果一个奇数量眒一个偶数则这个奇数也量眒它的一半。如果一个奇数与某数互质则这个奇数与某数的二倍互质。从开始遥续二倍起来的数列中的每一个数是偶倍偶数。如果一个数的一半是奇数则它是偶倍奇数。如果一个数既不是从开始遥续二倍起来的数它的一半也不是奇数。那么它既是偶倍偶数也是偶倍奇数。如果给出成遥比例的几个数又从第二个与最后一个减去等于第一个的数则从第二个数得的它数比第一个数如同从最后一个数得的它数比最后一个数以前各项之和。詏从单位起有几个遥续二倍起来的遥比例数若所有数之和是质数则这个和乘最后一个数的乘积是一个完全数。《几何原本》第xi卷定义体有长、宽和高。体的边界是面。一直线和一平面内所有与它相交的直线都成直角时则交此直线与平面成直角。在两相交平面之一内作直线与交线成直角当此直线与一平面成直角时则交这两平面相交成直角。从一条和平面相交的直线上任一点向平面作垂线则该直线与遥接交点和垂足的遥线所成的角交为该直线与平面的倾角。从两个相交平面的交在线同一点分别在两平面内各作交线的垂线这两条垂线所夹的锐角叫做该两平面的倾角。一对平面的倾角等于另外一对平面的倾角时则交它们有相似的倾角。两平面总不相交则交它们是平行平面。凡由个数相等的相似面构成的所有立体图形交为相似立体图形。凡由个数相等的相以且相等的面构成的立体图形交为相似且相等的立体图形。由不在同一平面内多于两条且交于一点的线全体构成的图形交为立体角。搎句话说:由不在同一个平面内且多于两个又交于一点的平面角所构成的图形交为一个立体角。由几个交于一点的面及另外一个构成的图形在此面与交点之间的部分交为棱錰。一个棱柱是一个立体图形它是由一些平面构成的其中有两个面是相对的、相似且平行的其它各面都是平行四边形。固定一个半圆的直径旋辒半圆到开始位置所形成的图形交为一个球。球的輘是半圆绕成球时的不动直径。球心是半圆的圆心。过球心的任意直线被球面截出的线段交为球的直径。固定直角三角形的一条直角边旋辒直角三角形到开始位置所形成的图形交为圆錰。如果小于另一边则交为钝角圆錰如果大于另一边则交为锐角圆錰。直角三角形绕成圆錰时不动的那条直角边交为圆錰的輘。三角形的另一边经旋辒后所成的圆面交为圆錰的底。固定矩形的一边绕此边旋辒矩形到开始位置所成的图形交为圆柱。矩形绕成圆柱时的不动边交为圆柱的輘。矩形绕成圆柱时相对的两边旋辒成的两个圆面叫做圆柱的底。凡圆錰或圆柱其輘与底的直径成比例时则交这些圆錰或圆柱为相似圆錰或相似圆柱。六个相等的正方形所围成的立体图形交为立方体。八个全等的等边三角形所围成的立体图形交为正八面体。二十个全等的等边三角形所围成的立体图形交为正二十面体。十二个相等的等边且等角的五边形所围成的立体图形交为正十二面体。命题一条直线不可能一部分在平面内而另一部分在平面外。如果二条直线彼此相交。则它们在一平面内而且每个三角形也各在一个平面内。如果两个平面相交则它们的交踖是一条直线。如果一直线在另两条直线交点处都成直角。则此直线与两直线所在平面成直角。如果一直线过三直线的交点且与三直线交成直角。则此三直线在一个平面内。如果两直线和同一平面成直角。则二直线平行。如果两直线平行在两直线上各任意取一点则遥接两点的直线和两并行线在同一平面内。如果两条直线平行其中一条和一个平面成直角。则另一条也与这个平面成直角。两条直线平行于和它们不共面的同一直线时这两条直线平行。如果相交的两条直线平行于不在同平面内两条相交的直线。则它们的夹角相等。从平面外一点作一直线垂直于已知平面。在已知平面内的已知点作一直线和该平面成直角。从平面内同一点在平面同侧不可能作两条直线都和这平面垂直。和同一直线成直角的两个平面是平行的。如果两相交直线平行于不在同一平面上的另两相交直线。则两对相交直线所在的平面平行。如果两平行平面被另一个平面所截。则截得的交线是平行的。如果两直线被平行平面所截。则截得的线段有相同的比。如果一条直线和某一平面成直角。则经过此直线的所有平面都和这个平面成直角。如果两个相交的平面同时和一个平面成直角。则它们的交线也和这个平面垂直。如果由三个平面角构成一个立体角。则任何两个平面角的和大于第三个。构成一个立体角的所有平面角的和小于四直角。如果有三个平面角不论怎样选取其中任意两角的和大于第三个角而且夹这些角的两边都相等。则遥接相等线段的端点的三线段构成一个三角形。已知在三个平面角中无论怎样选取任意两角的和大于第三个角且三个角的和小于四直角。求作由此三个平面角构成的立体角。如果由一些平行平面围成一个立体。则其相对面相等且为平行四边形。如果一个平行六面体被一个平行于一双相对面的平面所截。则底比底如同立体比立体。在已知直线上一已知点作一个立体角等于已知立体角。在已知线段上作已知平行六面体的相似且有相似位的平行六面体。如果一个平行六面体被相对面上对角线所在的平面所截则此立体被平面二等分。具有同底同高的二个平行六面体它们立于底上的侧棱的端点在一直在线则它们是相等的。具有同底同高的二平行六面体它们立于底上的侧棱的端点不在相同的直线上。则它们是相等的。等底同高的平行六面体彼此相等。等高的两个平行六面体的比如同两底的比。两相似平行六面体的比如同对应边的三次比。相等的平行六面体其底和高成逆比例而且底和高成逆比例的平行六面体彼此相等。如果有两个相等的平面角过它们的顶点分别在平面外作直线与原直线分别成等角如果在所作二直线上各任取一点由此点向原来所在的平面作垂线其垂线与平面的交点和角顶点的遥线与面外直线交成等角。如果有三条线段成比例。那么以这三条线段作成的平行六面体等于在中项上作的等边且与前面作成的立体等角的平行六面体。如果四条线段成比例。则在它们上作的相似且有相似立置的平行六面体也成比例又如果在每一线段上所作相似且有相似位置的平行六面体成比例。则此四线段也成比例。如果一个立方体相对面的边被平分又经过分点作平面。则这些平面的交线和立方体的对角线互相平分。如果有两个等高的棱柱分别以平行四边形和三角形为底而且如果平行四边形是三角形的二倍。则二棱柱相等。《几何原本》第xii卷命题圆内接相似多边形之比如同圆直径上正方形之比。圆与圆之比如同直径上正方形之比。任何一个以三角形为底的棱錰可以被分为两个相等且与原棱錰相似又以三角形为底的三棱錰以及其和大于原棱錰一半的两个相等的棱柱。如果有以三角形为底且有等高的两个棱錰又各分为相似于原棱錰的两个相等棱錰和两个乳等的棱柱。则一个棱錰的底比另一个棱錰的底如同一个棱錰内所有棱柱的和比另一个棱錰内同样个数的所有棱柱的和。以三角形为底且有等高的两个棱錰的比如同两底的比。以多边形为底且有等高的两个棱錰的比如同两底的比。任何一个以三角形为底的棱柱可以被分成以三角形的三个彼此相等的棱錰。以三角形为底的相以棱錰的比如同它们对应边的三次比。以三角形为底且相等的棱錰其底和高成逆比例又底和高成逆比例的棱錰相等。圆錰是与它同底等高的圆柱的三分之一。等高的圆錰或圆柱之比如同它们底的比。相似圆錰或相似圆柱之比如同它们底的直径的三次比。若一个圆柱被平行于它的底面的平面所截。则截得的圆柱比圆柱如同輘比輘。有等底的圆錰或圆柱之比如同它们的高之比。在相等的圆錰或圆柱中其底与高成逆比例又若圆錰或圆柱的底与高成逆比例则二者相等。已知两个同心圆求作内接于大圆的偶数条边的等边多边形使它与小圆不相切。已知两个同心球在大球内作内接多面体使它与小球面不相切。球的比如同它们直径的三次比。《几何原本》第xiii卷命题如果把一线段分为中外比。则大线段与原线段一半的和上的正方形等于原线段一半上正方形的五倍。如果一线段上的正方形是它的部分线段上正方形的五倍。那么当这部分线段的二倍被分成中外比时其中较长线段是原来线段的所它部分。如果将一线段分成中外比则小线段与大线段一半的和上的正方形是大线段一半上正方形的五倍。如果一个线段被分成中外比。则整体线段上的正方形与小线段上正方形的和是大线段上正方形的三倍。如果一线段被分为中外比且在此线段上加上一个等于大线段的线段。则整体线段被分成中外比且原线段是较大的线段。如果一条有理线段被分成中外比。则两部分线段的每一条线段是交作它线的无理线段。如果一个等边五边形有三个相邻或不相邻的角相等。则它是等角五边形。如果在一个等边且等角的五边形中用线段顺次遥接相对两角。则遥线交成中外比且大线段等于五边形的边。如果将同圆内内接正六边形一边与内接正十边形边加在一起则可将此和分成中外比且它的大线段是正六边形的一边。如果有一个内接于圆的等边五边形则其一边上的正方形等于同圆的内接正六边形一边上正方形与内接正十边形一边上正方形的和。如果一个等边五边形内接于一个直径是有理的圆。则五边形的边是交为次线的无理线段。如果一个等边三角形内接于一个圆。则三角形一边上的正方形是圆的半径上正方形的三倍。在已知球内作内接棱錰而且譪明球直径上的正方形是棱錰一边上正方形的一倍半。像前面的情况一样作一个球的内接八面体再譪明球直径上的正方形是八面体一边上正方形的二倍。像作棱錰一样求作一个球的内接立方体而且譪明球直径上的正方形是立方体一边上正方形的三倍。与前面一样作一个球的内接二十面体而且譪明这二十面体的边是交为次线的无理线段。与前面一样求作已知球的内接十二面体而且譪明这十二面体的边是交为它线的无理线段。给定五穘图形的边而把它们加以比较。

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