七年级数学竞赛讲座09 应用题1

七年级数学竞赛系列讲座(9) 应用 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （一） 一、 一、知识要点 1、 1、  应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、  列方程(组)解应用题的一般 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 是： (1) (1)    弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2)    找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3)    根据这个相等关系列出方程； (4) (4)    解这个方程，求出未知数的值； (5) (5)    写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式： 速度时间=路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。 二、 二、例题精讲 例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需 小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析  本题用方程来解简单自然。 解  设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数 恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数 也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( + )=9+ 所以        x+y=               (3) (1)-(2)得    (x-y)( - )=9- 所以          x-y=               (4) 由(3)、(4)得  x= 所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。 例2 公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔 分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于        分钟。(第六届迎春杯初赛试题) 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过 分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。 解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得 两式相减得  12a=72b  即a=6b 代入可得x=5 评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。 例3 摄制组从A市到B市有一天的路程， 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 上午比下午多走100千米到C市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题) 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。 解：如图，设小镇为D，傍晚 汽车在E 休息            A        D                C            E    B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD    = DC    又由已知，EB= CE 两式相加得：AD+ EB= DE 因为DE=400千米，所以AD+ EB= 400=200千米， 从而A、B两市相距400+200=600千米    评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。 例4 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1> v2> v3> v >0，其中v为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下： (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。 在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为          解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v)1+v1= vi 1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为： (小时) 由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军。 评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度。 例5在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 题) 解：设甲的运动速度是   乙的运动速度是 ，丙的运动速度是 ．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有 － ＝     ① 甲比丙多运动一圈用时40秒，故有 － ＝             ② ②－①可得到 － ＝ － ＝                       ③ ④ ⑤ 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离 ＝（ － ）×30－（ － ）×10； 乙追上丙所用时间＝ ＝ 秒．所以第110秒时，乙追上丙． 评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和时间； 追及问题的关系式是：追及路程=速度差时间。 例6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数。 解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7 由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2 ∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：这个三位数是926 评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。 例7 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。 解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得 解这个方程得：x=857,  ∴999-x=142 答：大数为857，小数为142。 例8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为 ，过了1小时里程碑上的数字为 ，又行驶了1小时里程碑上的数字为 ，求每次看到的数字和卡车的速度。 分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。 解：依题意得： - = - ，即 + =2 ， 所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B 因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6 故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时。 评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B。 例9 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为 ，试问擦去的数是什么数？ 分析：设出擦去的数，用平均值为 来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。 解：设写出了n个自然数1，2，…，n中擦去的是k，则由题意得： 即 因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69 于是由 ，可解得k=7，即擦去的数为7。 评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。 三、 三、巩固练习 选择题 1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走。若a≠b，则(      )先到达N地。 A、甲    B、乙    C、二人同时到达    D、不确定 2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是(    ) A、24千米    B、12千米    C、48千米    D、40千米 3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地。已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是(    ) A、2千米/时    B、4千米/时    C、5千米/时    D、6千米/时 4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是(    ) A、43    B、34    C、25    D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是(    ) A、1.5    B、1.9    C、3.25    D、4.375 6、一个插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，如：72中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9倍，这样的两位数有(      )  (第六届《祖冲之杯》数学邀请赛试题) A、1个      B、4个      C、10个        D、超过10个 填空题 7、早晨8点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时60千米，8点32分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3倍。到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。则第一辆车是8点      分离开化肥厂的. 8、甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米，两人骑自行车的速度都是每小时15千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B地。甲走全程的平均速度是          千米/小时。(第六届迎春杯初赛试题)