三角函数、导数、积分
三角函数、导数、积分综合试题
,,,,a,(,2sinx,2cosx，1),b,(3cosx,2cosx,1),f(x),a,b(x,R)1.已知,
,,(,f())f(x)在点处的切线为: l1212
(1)求直线的方程; l
f(x)(2)求证直线与只有一个公共点; l
,x,f(x)(3)求直线、曲线以及直线所围成的区域的面积. l3
,,5,,f(x),a,b,,3sin2x，cos2x,2sin(2x，)f(),0解:(1)，所以 126
5,,f'(x),4cos(2x，)f'(),,4又，所以，所以直线的方程为l126
,y,,4(x,). 12
5,,F(x),2sin(2x，)，4(x,)(2)构造函数，所以6125,,F'(x),4cos(2x，)，4,0F(),0RF(x)，所以在上为增函数，又，612
5,,,,x,2sin(2x，),,4(x,)x,F(x),0所以当时，，即;当时，1212612
5,,2sin(2x，),,4(x,)F(x),0，即. 612
,(,0)f(x)所以直线l与只有一个公共点. 12
,x,f(x)(3) 直线l、曲线以及直线所围成的区域的面积为 3
,,,255,,,,,2333 [2sin(2x，)，4(x,)]dx,,cos(2x，)|，(2x,x)|,,1,,,,612638121212
cosxaf(x),(0,x,2,)g(x),ln(x，,2)2(设函数，，其中a为正的常数， 2,sinxxMfx()(1)求最大值;
3h(a),M，g(x),2,，,h(a)a(2)求在上的最小值，并求时的的取值范围; 3
,,(cosx)(2,sinx),cosx(2,sinx)1,2sinx,解:(1)f(x),,( 22(2,sinx)(2,sinx)
,5,1,,x,2,0,x,sinx,f(x),0当或时，， 626
,5,1,,x,sinx,f(x),0当时，， 662
,,5，，，,,2,0,因此fx()在区间和上是增函数， ,,,,66，，，,
,,5，，,fx()区间上是减函数( ,,66，，
,M,f(x),f(),3f(0),f(2,)又，所以 max6
aa,p(x),x，,2(a,0,x,0),则p(x),1,,0得x,a,(2)设函数 2xx
,故当x,(0,a)时,p(x),0,p(x)在(0,a)单调递减,
,当x,(a,，,)时,p(x),0,p(x)在(a,，,) 单调递增，
？当x,a时,p(x),2a,2, min
，,2,，, ? 因此在上若0,a,2,即0,a,4时,p(x)在[2,，,)单调递增,
aa()22,px,，,, min22
a？h(a),ln; 2
a,2,即a,4时,p(x),p(a),2a,2,则h(a),ln(2a,2)?若 min
a,ln,0,a,4,2？h(a), ,
,ln(2a,2),a,4,
a3若 ln,M,1,则a,2e,(0,4);23
若
223e3eln(2a,2),M,1,则a,，e，1,[4,，,],？当h(a),M时,a,，e，13434
2，,e,即实数a的取值范围是 ，，1,，,e,,4，,
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