定义在平面内的一条直线[高效]
定义 在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
逆定理 三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
用线面垂直证明
已知:如图,PO在α上的投影OA垂直于a
求证:OP?a
证明:过P做PA垂直于α
?PA?α
?PA?a
又a?OA
OA?PA=A
?a?平面POA
?a?OP
用向量证明三垂线定理
1.已知:PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b属于α,且b垂直于OA,求证:b垂直于PA
证明:?PO垂直于α,?PO垂直于b,又?OA垂直b,向量PA=(向量PO+向量OA)
?向量PA×b=(向量PO+向量OA)×b=(向量PO×b)+(向量OA×b )=O,?PA?b。
2.已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,?AOB=?BOC=?COA=60度,求交线OA与平面OBC所成的角。
解:?向量OA=(向量OB+向量AB),O是内心,又?AB=BC=CA,?OA与平面OBC所成的角是30?。
编辑本段使用
1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射
影),a(直线)之间的垂直关系.
2,a与PO可以相交,也可以异面.
3,三垂线定理的实质是空间内的一条斜线和
平面内的一条直线垂直的判定定理.
关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.
至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.
从三垂线定理的证明得到证明a?b的一个程序:一垂,
二射,三证.即
第一,找平面(基准面)及平面垂线
第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与
一条斜线.
第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.
注:
1?定理中四条线均针对同一平面而言
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