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RSA算法原理
2013/07/08 | 分类: IT技术 | 6 条评论 | 标签: RSA, 加密, 算法
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原文出处: 阮一峰
如果你问我，哪一种算法最重要,我可能会回答“公钥加密算法”。因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。 进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是”公钥加密算法”。
一、一点历史
1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式:
(1)甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密;
(2)乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
”(Symmetric-key 由于加密和解密使用同样规则(简称”密钥”)，这被称为“对称加密算法algorithm)。
这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。
1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为“Diffie-Hellman密钥交换算法”。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。
这种新的加密模式被称为”非对称加密算法”。
(1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
(2)甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
(3)乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。
1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的”非对称加密算法”。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。 这种算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解(至少没人公开宣布)。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。 下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点数论知识就可以理解。 二、互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。 关于互质关系，不难得到以下结论:
1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。 3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。 4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
三、欧拉函数
请思考以下问题:
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系,(比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系,)
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。 第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。 第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。 上面的式子还可以写成下面的形式:
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。 这一条的证明要用到“中国剩余定理”，这里就不展开了，只简单说一下思路:如果a与p1
(b
办法
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从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办,有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密;另一种是先选择一种”对称性加密算法”(比如DES)，用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
九、私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:
? cd m (mod n) 因为，根据加密规则
,e ? c (mod n) 于是，c可以写成下面的形式:
c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则:
(me - kn)d ? m (mod n) 它等同于求证
med ? m (mod n) 由于
ed ? 1 (mod φ(n))
所以
ed = hφ(n)+1
将ed代入:
mhφ(n)+1 ? m (mod n) 接下来，分成两种情况证明上面这个式子。 (1)m与n互质。
根据欧拉定理，此时
φ? m(n) 1 (mod n)
得到
(mφ(n))h × m ? m (mod n) 原式得到证明。
(2)m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立:
(kp)q-1 ? 1 (mod q)
进一步得到
[(kp)q-1]h(p-1) × kp ? kp (mod q) 即
(kp)ed ? kp (mod q) 将它改写成下面的等式
(kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t’p
(kp)ed = t’pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
med ? m (mod n)
原式得到证明。
浙公网安备 33021202002483