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接触李超代数偶部的具有负次数的导子

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接触李超代数偶部的具有负次数的导子接触李超代数偶部的具有负次数的导子 1 2 3 关宝玲 , 刘文德 , 兰 何 ( 1. 齐齐哈尔大学 理学院 , 齐齐哈尔 161006; 2. 哈尔滨师范大学 数学科学学院 ,哈尔滨 150025; 3. 齐齐哈尔医 )学院 基础医学院 , 齐齐哈尔 161006 摘 要 : F 是特征大于 3的基域 ,参数 n > 3, m > 2, 并且 n 是偶数 , m 是奇数 。 K, K, W 和 W 分 1 () ( ) 别表示接触李超代数 K m , n; t及其偶部和模李超代数 W m , n; t及...

接触李超代数偶部的具有负次数的导子
接触李超代数偶部的具有负次数的导子 1 2 3 关宝玲 , 刘文德 , 兰 何 ( 1. 齐齐哈尔大学 理学院 , 齐齐哈尔 161006; 2. 哈尔滨师范大学 数学科学学院 ,哈尔滨 150025; 3. 齐齐哈尔医 )学院 基础医学院 , 齐齐哈尔 161006 摘 要 : F 是特征大于 3的基域 ,参数 n > 3, m > 2, 并且 n 是偶数 , m 是奇数 。 K, K, W 和 W 分 1 () ( ) 别表示接触李超代数 K m , n; t及其偶部和模李超代数 W m , n; t及其奇部 , 利用接触李超代数 ()W m , n; t偶部的生成元集 , 通过计算导子在其生成元集上的作用的方法 , 确定了接触李超代数 (( ))W m , n; t偶部到奇部的 Z - 次数小于 - 3 的导子 , 于是接触李超代数 K m , n; t偶部到奇部的所 有具有负 Z - 次数的导子得以刻画 。 关键词 :阶化 ; 接触李超代数 ; 导子 ( ) 文献标志码 : A中图分类号 : O 15215 文章编号 : 1001 - 7011 2010 02 - 0205 - 04 0 引 言 目前非模李超代数的研究已经取得了相当丰富的结果 。例如 , V. G. Kac于 1977 年和 1998 年分别完成 [ 1 - 2 ] 了特征零代数闭域上有限维单李超代数和无限维单的线性紧致李超代数的分类 。然而 ,对于模李超代 数分类的研究是在九十年代初才开始的 。在这方面 ,最早期的重要文献当属 [ 3 ] , V. M. Pe trograd sk i在 [ 3 ]中 不仅定义了限制李超代数的概念 ,而且对限制李超代数的包络代数进行了研究 。另外 ,在 [ 4 ]中研究了模李 ( ) 超代数的 p, 2 p- 结构 ,它类似于模李代数的 p - 映射的概念 。对于有限维 Ca rtan型模李超代数 W , S , H, K [ 5 - 9 ] 和 HO 的超导子的研究已经完成 。由于 Ca rtan型李超代数的偶部是李代数 ,而且对于一个李超代数 L = L? L, 在伴随表示下可以把 L看作 L- 模 , 这样就可以研究 L到 L的导子 。对于 Ca rtan 型模李超代数 W 0 1 10 01和 S 的偶部到奇部的导子以及接触李超代数 K的偶部到奇部的 Z - 次数为 - 1, - 2, - 3 的导子已经分别由 [ 10 - 11 ] 作者完成 , 而本文确定的是接触李超代数 K的偶部到奇部的 Z - 次数小于 - 3 的导子 , 从而所有具有 负 Z - 次数的导子便完全被决定了 。 1 预备知识 除特别声明外 , 本文中的符号和概念均与文献 [ 12 ]相同 。 θ( )设 V = V? V是一个超空间和 a ?V,?Z, 如果 a 是 Z- 齐次元素 , 则用 p a 表示 a 的 Z- 次数 。设 θ0 12 2 2 m m (αα) α αα N 是正整数集 , N 是非负整数集 , m ?N \ { 1, 2} , n ?N \ { 1, 2, 3} 。对于 = , ?,?N , 记 = 和0 1 m 0 i ? i = 1 α α α= +。设 I: = { 1, 2, ?, m } , I: = { m + 1, ?, m + n } , I: = I? I。设 B : = {〈 i, i, ?, i〉 m + 1 ? m 0 1 0 1 k 1 2 k n ( ) i< i< ? < i?m + n } 。令 B : = B n = ? B , 这里 B : = Ø 。令 1 2 k k 0 k = 0 0 B : = {〈 i, i, ?, i〉 m + 1 ?i< i< ? < i?m + n, r = 2 l, l?N } 。 1 2 r 1 2 r 0 1 B : = {〈 i, i, ?, i〉 m + 1 ? i< i< ? < i?m + n, r = 2 l, l?N } 。 1 2 r 1 2 r 收稿日期 : 2008 - 10 - 08 ( ) ( ) 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 10871057 ; 黑龙江省自然科学基金资助项目 A200802 , A200903 ; 黑龙江省教育厅科学研究项 ( )目 11541415 黑 龙 江 大 学 自 然 科 学 学 报 第 27卷 ?206? α ε)((α) - r( ()) ( ) δ设 5是 O m , n 的一个超导子 , 并且满足 5x = x , r? I和 5x=, r, s? I, 则 r r 0 r s rs () W m , n : = () f? O m , n , r ? If5 r r r? r? I (() )是包含在 D e r O m , n 中的一个李超代数 。 m 和 J: = J? I。对于现设 m = 2 r + 1 是奇数 , J: = I i?J, 令 0 0 1, i + r, 1 ? i? r 1 ? i?r ζ ( ) i: ′ = i - r, = - 1, r < i?2 r < i?2 r i:r i, 1, 2 r < i?m + n; 2 r < i?m + n。 () () 定义一个线性映射 D ?O m , n ?W m , n , 使得 K η( ) ( )ip a ( ) ( )( ( ) ζ ( ) ( ) ) ( ( ) ) D a ?= - 1 + 2 a - x5a 5。x5a +i′5a 5 K i i m i m i′i? ? i?J i?J () ( )() ()则 K m , n ?= { D f f?O m , n }是 W m , n 的一个无限维子代数 。令 K m ( ) π(πππ) = t, t, ?, t?N ,t: : = ,, ?,, 1 2 m 1 2 m t m iααξπππ ( ) = 其中 ?= p - 1, i? I。设 A : = {?N ?, i = 1, 2, ?, m } ; : + n。易 知 O m , n; t: = i 0 0 i i (α) ξ u α()(() ) ?A, u?B }是 O m , n的一个有限维子代数 ,并且带有 Z - 阶化结构 O m , n; t= ? O m , n; t, span{ x x i = 0 i F (α) u () () 这里 O m , n; t: = sp an() f 9? O m , n; t, r ? I} 是 f 。则 W m , n; t: = r r r i F= i x x α + u ? r ? I () () () (W m , n 的一个有限维单子代数 ,并且带有 Z - 阶化结构 称为广义 W itt超代数 , 即 W m , n; t= ? W m , i? - 2 (α) u ) () δ。根据定义 , 易知 : n; t, 这里 W m , n; t: = sp an + x x 5s ? I, = i + 1 + α i i Fs u s, m () () W m , n; t= F 5; W m , n; t= sp an{ 5, x5i?J} ; - 2 m - 1 F i i m () W m , n; t= sp an{ x5, xx5, x5i, j?J} 。 0 F i j i j m m m 置 ( ) () { D a a ?O m , n; t} ,() n - m - 3 ? 0 modp K () K m , n, t: = ξ- 1 ( )() { D a () a ?? O m , n; t} , n - m - 3 ?0 modp。 K i = 0 i ()() 则 K m , n, t是一个有限维单李超代数 , 称为接触超代数 见 [ 13 ] , 而且 (() ) K m , n; t= ? K m , n; t i? - 2 i (α) u )( ) ( )(是 W m , n, t的一个 Z - 阶化子代数 , 这里 K m , n; t= sp anD x x + = i + 2 。由定义 , α i F K u 易知下列结果成立 : () ( ) ( ) () ( ) K m , n; t= sp an{ D x, D xxi, j?J} ; K m , n; t= sp an{ D xi?J} ; 0 F K m K i j - 1 F K i () () ( ) ( ) η( ) η( ) K m , n; t= F 5; Km , n; t= sp an{ D x, D xxi=j, i, j?J} ; - 2 m 0 0 F K m K i j () () () ( )Km , n; t= sp an{ D xi?J} ; Km , n; t=W m , n; t= F 5。 0 0 - 2 0 - 2 m 0 - 1 F K i 另外 , 下列计算公式成立 : ( ) ( )η( ) ( )p fp g ip f ( ) ( ) = D [D f, D g ] λ ( ) ζ ( ) ( )λ ( ) ( ) ( ) ( ) )g, f+ i- 1 f, g - - 1 5f5g K K K i i′? i?J ( ) ) (λ 这里 f, g : = g , f, g ? O m , n; t 。 ( ) 2 f - x9f9i i m? i?J () () () () 在后面的讨论中 , 用 K , K, W , O 分别表示 Km , n; t, K m , n; t, W m , n; t, O m , n; t。规定基域 F 0 的特征大于 3, 参数 n > 3, m > 2, 并且 n 是偶数 , m 是奇数 。 下面将给出接触李超代数偶部生成元集 。由定义 , 易知 (α) u 0 α ( )p8 n - m ? A , u ? B } sp an{ D x x - 3 F K K : = (α) 0 u ( ) α ? + + n } p n - m sp an{ D x x ? A , u ? B , α π - 3。 u F K ( ε)k i i() ( ) ( ) ( 命题 111 见 [11 ]设 R: = {Dxxxi, j, ?J} , M : = Dxxx| i? I, k, l? I, N ?= Dx) 0? K i′j j′0 K i k l 0 1 K πk?, i?I} ,则 R ?M ?U 生成 K 。 i i 0 u u ( ) 令 G: = sp an{ x 5r? I, u ?B , p x 5= 1 } , 易知下列简单事实成立 : F rr ( )( ) ( ) ( ) 引理 112 设 3, 并且 n 是偶数 。ω 1 ( ε)ε)( t q ii( ) (( ) ) (( ) ) = 0, i?J, 则有 < D x= 0, q?N ,引理 211 设 < ?D erK , W , t > 3。如果 < D x 0 K 0 - t 1 K i?J。 0 ( ε)ε)( q q ii(( ) ) ( ) = 0, i?J。注意有 < [Dx , 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 使用命题 111,首先对于 q?t + 1用归纳法来证明 < Dx 0 K K ( ε)( ( )ε)( ε)q q - 1 q iii( ) ) ( ) ( ) ζ ( )δ( , i, j?J。由归纳假设 ,又有 < [Dx , K ] = 0, i?J。显然有 [Dx , Dx] =iDx 0 K - 2 0 K K j ij′ K ( ε) qi(( ) ) K ] = 0。由引理 112, 因而有 < D x ?G。又由于 q? t + 1, 从而有 t - 2 ? - 1, 这样可以设 q - - 1 K q - t - 2 ( ε)u q i(( ) ) < D xcx 5+ d5。= ( ) 1 K u r r i i ? ?( ) u?B a?1 , r? I i? I a 1 ( ) 如果 q - t - 2 = n - 1, 由 1 , 有 ( ε)q ω i(( ) ) ( )= cx 5。2 < D x ωK r r? r? I 1显然有 ( ε)q i(( ) ) ( ) q? I。( )s, [ < D x , D xx] = 0, 3 1 K K s q ( ε)q i( )( ) ( ) 由 2 和 3 , 得到 c= c= 0, s, q? I。由 2 , 有(( ( ) < D x) ) t - 2 ?n - 2, 由 1 , 有 q - = 0。如果 ωq ωs 1 K ( ε)q u i(( ) ) ( )cx 5+ d5。4 = < D x u r r i i K ? ? ) ( i? I u?B 1 ?a?n - 1 , r? I 1a 由于 1 ? u ?n - 1, 所以可以取 s?u, q| u。显然有 ( ε)q i(( ) ) ( ) ( )[ < D x , D xx] = 0,s, q? I。5 K K s q 1 可以得出 u u u ( ) - - cx 5cx 5cx5x 5+ d5- d5= 0。 uq sus qu r q s r q s s q ? ? ? ( ( ( ))) u?B 1 ?a?n - 1 u?B 1 ?a?n - 1 u?B 1 ?a?n - 1 , r? I a a a ( ε)q i( ) ( ) (( 因而有 c= 0, u ?B 1 ?a ?n - 1 , r? I; d= d= 0, s, q? I。由 4 , 有 < D x= 0, i?J, q?N 。 ) ) u r a s q 1 K 0 0 ( ε)q n - 1 i(( () ) ) 如果 q - t - 2 > n - 1, 由引理 112, 有 < D x ?G。注意 G Α ? W 。又由于 q - t - 2 > n - 1, 所 K i = - 2 1 i ( ε)q i(( ) ) () < D x ? W ?G = 0。 以有 K 1 q - t - 2 ( ε)t( ε)l q m m (( ) ) ) ) ( ) (( ,则 < Dx= 0, q?N 。= 0, l = 定理 212 设 < ?D e rK , W , t > 3。如果 < Dx K 0 - t 1 K 2( ε)( ε)q q m m (( (( 证明 如果 q?l - 1,则 < Dx= 0。对于 q > l,来证明 < Dx = 0。由于 - 1?2 l - t?0, 所 ) ) ) ) K K ( ε)q m (( ) ) () Dx ? W ,这样可以设< 以有 2q - t - 2? - 1。又由于 K 1 2q - t - 2 ( ε)α) (q (α) ω (α) u m (( ) ) ( )D x6 < = cx ax x 5+ bx 5+ x 5。 αK ααu r r r r r r? ? ? ααα( ) ?A , r?J ?A , r? I?A , u?B 1 ?a < n, r? I 1a < n, 所以可以取 s?u, q| u。显然有 由于 1 ? u ( ε)q m (( ) ) ( ) ( )[ < D x , D xx] = 0, s, q? I。7 K K s q 1 ( )( ) 由 6 和 7 , 可以得出 (α) ω (α) ω (α) (α) (α) u ax x 5- ax x 5+ bx 5- bx 5x 5 + cxααααsq ss q q ss qαuq ? ? ? ? ? ααααα)( ?A ?A ?A ?A ?A, u ?B 1 ?a < n a u u (α) (α) ( ) - cx- x 5cx5x x 5= 0。 ααus qu r q s r? ? α( )α( )?A , u?B 1 ?a < n ?A , r? I, u ?B 1 ?a < n a a 因而 ααa= a= 0, ?A , s, q? I; b= b= 0, ?A , s, q? I; ααααq s 1 q s 1 α( ) c= 0, ?A , r? I, u ?B 1 ?a < n 。 αu r a ( ε)q m ( ) (( 由 6 , 得到 < D x) ) = 0。 K 黑 龙 江 大 学 自 然 科 学 学 报 第 27卷 ?208? ( ε)q m ( ) (( < ?D erK , W , 其中 t > 3是奇数 。则) ) q?N 。设 < D x= 0, 推论 213 - t 1 0 K t( ε)( ε)l l m m 证明 设 ( ) )( ) )l: = ( (x ( ) ( ) (x = 0。 。则 zd < D = 2 l - 2- t = t - 1 - 2- t = - 3。因而有 < D K K 2 ( ε)q m (( = 0, q?N 。由引理 212, 有 < D x ) ) 0 K ( ) ( ) 定理 214 设 t > 3。则 D erK , W = 0。特别地 , D erK , K= 0。 - t 1 - t 1 ( ε)( ε)t t ii( ) (( () ) ) 证明 设 < ?D erK , W 。由于 < Dx ? W , i?J, 因而有(( ) ) = 0, i?J。由 < Dx - t 1 K 1 - 2 0 0 K ( ε)( ε)q q im (( ) ) (( ) ) = 0, q?N 。如果 t引理 211,有 < Dx = 0, q?N , i?J。如果 t是奇数 ,由推论 213,有 < Dx 0 K 0 0 K t( ε( ε) ) ( ε) l q l m m m ( ) )(( ) )(( ) ) () (x= 0。由引理 212,有 < D x是偶数 ,设 l?= 。由于 < D x? W ,因而有 < D K 1 - 2 K K 2 ( ( ) ) ( ( ) ) = 0 , q?N 。而且 < D xxx= 0, i, j? J, 并 且 < D xxx= 0, k, l? I, i? J。如 果 t > 4, 0 K i′j j′0 K i k l 1 0 ( ( ) ) (( ) ) () (( ) ) 则 < D xxx= 0, k, l? I。如果 t = 4,则 < Dxxx? W , k, l? I,因而有 < Dxxx= K m k l 1 K m k l 1 - 2 1 K m k l 0。由命题 111, 有 < = 0。 参考文献 [ 1 ] KAC V G. L ie sup e ra lgeb ra s[ J ]. A dv M a th, 1977 , 26: 8 - 96. KAC V G. C la ssifica tion of infin ite2d im en siona l simp le linea rly comp ac t L ie sup e ralgeb ra s[ J ]. A dv M a th, 1998 , 139: 1 - 55. [ 2 ] [ 3 ] PETRO GRAD SK I V M. Iden titie s in the enve lop ing a lgeb ra s fo r modu la r L ie sup e ralgeb ra s[ J ]. J A lgeb ra, 1992 , 145: 1 - 21. KOCH ETKOV Y U , L E ITES D. 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U sing the gene ra ting se t of the even p a rt of Con tac t L ie sup e ra lge2 ) (b ra K m , n; t, by m ean s of ca lcu la ting ac tion of de riva tion on its gene ra ting se t, de riva tion s w ith Z - degree s le ss () than - 3 of the even p a rt in to the odd p a rt fo r the Con tac t L ie sup e ra lgeb ra K m , n; tis de te rm ined and then a ll (the de riva tion s w ith nega tive Z - degree s of the even p a rt in to the odd p a rt fo r the Con tac t L ie sup e ra lgeb ra K m , n; ) ta re de te rm ined. Key word s: grada tion; Con tac t L ie sup e ra lgeb ra; de riva tion
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