在三角形ABC中,已知：
在三角形ABC中，已知:
a、b、c 分别为三个内角，角A，角B，角C所对的边 r为三角形ABC的内切圆半径
R为三角形外切圆的半径
1p=; (a，b，c)2
则 S= ,ABC
1(1)absinC 2
abc(2) 4R
1(3)r(a，b，c) 2
(4) p(p,a)(p,b)(p,c)
122((AB,AC),(AB,AC)5)(AB、AC为向量) 2
2(6)2RsinAsinBsinC
2asinBsinC(7) 2sinA
求以上个面积公式的推导过程
1解:三角形面积公式中最基本的是底×高?2即S,ah， ΔABCa2
1(1)把a看作底边长，则h,b?sinC，?S,absinC; ΔaABC2
abcabcc,,,2R(2)由正弦定理，，?sinC,，代入(1)中，公式得S,; ΔABC2R4RsinAsinBsinC
(3)设O是ΔABC的内心，则S,S，S，S ΔΔΔΔABCOABOBCOAC1111cr，ar，ar,r,(a，b，c); 2222
a，b，c(4)海伦定理是:S, (p,) p(p,a)(p,b)(p,c)ΔABC2
1方法(1)S,ah (h为a边上的高) ΔABC2
111,absinC,acsinB,bcsinA 222
a，b，c,rp (p,，r为ΔABC内切圆的半径) 2
2,2RsinAsinBsinC (R为ΔABC外接圆的半径)
abc, (R为ΔABC外接圆的半径) 4R
a，b，c, (p,) p(p,a)(p,b)(p,c)2
1方法(2)S,absinC 2
12,ab 1,cosC2
1ab(1，cosC)(1,cosC), 2
222222,,,,，,，,1abcabc,,,,, ab1，1,,,,,22ab2ab,,,,11222222ab(2ab，a，b,c)(2ab,a,b，c), 2224ab
12222, [(a，b),c][c,(a,b)]4
1(a，b，c)(a，b,c)(c，a,b)(c,a，b), 4
a，b，ca，b,cc，a,bc,a，b,,,, 2222
a，b，c, (p,)。 p(p,a)(p,b)(p,c)2112222(|AB||AC| ),(AB,AC)|AB||AC|(1,cosA)(5), 2211222|AB||AC|sinA|AB||AC|sinA,,,S， ΔABC22
122(|AB||AC|),(AB,AC)即S,; ΔABC2
2(6)由正弦定理，a,2RsinA，b,2RsinB，及(1)有S,2R?sinAsinBsinC; ΔABC
asinB(7)由正弦定理，b,及(1)， sinA
211sinBsinBsinCaasinCsinCS,。 ab,a，,ΔABC22sinA2sinA
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