第一章 多项式

第一章 多项式 §1 基本知识 §1. 1  基本概念 1、数域：由复数构成并含有数 的集合 称为数域，如果 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。 2、多项式：形式表达式 （1.1） 或 （1.2） 其中 是一个非负整数， 全是数域 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域 中的一元多项式，或简称为数域 中的一元多项式。 （1.1）是多项式的升幂 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写，（1.2）是降幂书写； 称为多项式的 次项， 称为 次项的系数； 是一个文字。 3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。 4、多项式的相等：设 是数域 上的两个一元多项式，如果当 时必有： ，当 时必有： 且 。 一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。 5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若 ，则 称为多项式的最高次项或首项， 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。 6、多项式的和、差、积：设 是数域 上的两个一元多项式，不妨设 ，且 时： ，则 称为多项式 和 的和、差、积，并记为 、 、 ，其中 。 7、一元多项式环：数域 上的一元多项式全体连同多项式的加法、减法、乘法，称为数域 上的一元多项式环，记为 。 8、商式与余式：在带余除法中， 除 所得到的唯一的满足 ，    或 的多项式 称为 除 所得到的商式，余式。 9、整除性、因式、倍式：设 和 都是 中的多项式，如果存在 ，使得 ，则称 整除 ，记为 ，否则称 不整除 ，记为 ，若 整除 ，则称 是 的因式， 是 的倍式。 10、公因式、最大公因式：两个或两个以上的多项式的公共的因式，称为这些多项式的公因式；若这些多项式的所有公因式都是某一个公因式 的因式，则称 是这些多项式的最大公因式。 是 的公因式，当且仅当 ； 是 的最大公因式，当且仅当 （1） ； （2）若 ，则 。 11、多项式的互素：如果多项式 的最大公因式是零次因式，则称 为互素的多项式。 12、相伴多项式，平凡因式： 称为多项式 的相伴多项式 ；零次因式和相伴因式称为多项式 的平凡因式。 13、可约与不可约多项式：能够分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的多项式，称为可约多项式；不能分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的次数大于零的多项式，称为不可约多项式。 14、多项式的标准分解式：设 是一个次数大于零的多项式， （1.3） （ 是两两不同的首1不可约多项式， 是正整数， ， 是 的首项系数）称为多项式 的标准分解式。 15、多项式的重因式（单因式、重因式）：不可约多项式 称为多项式 的 重因式，如果 ；若 ， 称为多项式 的重因式；若 ， 称为多项式 的单因式。 16、多项式的导数（微商）：设 ，则 称为多项式 的导数（微商）。 17、多项式函数：设 ，若将文字 视为数域 上取值的量，则多项式 定义了一个定义在 上且取值也在 上的函数，称为由多项式 确定的多项式函数。对于 ， 称为 时，多项式函数 的值。 18、多项式的根（单根与重根）： 称为多项式 在数域 上的根，如果 ； 当 是多项式 的单因式时， 称为多项式 的单根；当 是多项式 的重因式时， 称为多项式 的重根；当 是多项式 的 重因式时， 称为多项式 的 重根。 19、多项式的恒等：数域 上的两个多项式称为恒等，如果它们作为数域 上的两个多项式函数相等。 20、本原多项式：整系数多项式 称为本原多项式，如果 。 §1.2 基本定理 定理1.1（带余除法定理）设 ，且 ，则存在唯一的多项式 ，使得 其中 或 。 定理1.2（次数定理）设 ，且 ，则 （1） ，且 ； （2）若 ，则 。 定理1.3 设 ，则 是 与 的一个最大公因式的充分必要条件是： 是 与 的一个最大公因式。 定理1.4 （最大公因式的存在性与个数定理）数域 上任意两个多项式 的最大公因式一定存在，且若 是多项式 的一个最大公因式，则 是多项式 在数域 上的最大公因式全体构成的集合。 若 都是零多项式，则它们的最大公因式是零多项式；若 不都是零多项式，则它们的最大公因式一定不是零多项式，因而首项系数为1的最大公因式存在并且唯一，记为： 。 定理1.5（最大公因式的性质定理）若 是数域 上的多项式 的一个最大公因式，则存在 ，使得 定理1.6（互素的判定定理）数域 上的多项式 互素的充分必要条件是，存在 ，使得 定理1.7（因式分解定理）数域 上任何 次多项式 都可以分解为不可约多项式的乘积，且不计零次因式的差异，分解式是唯一的，即若 其中 都是不可约多项式，则 ，且 。 定理1.8（重因式的性质定理）如果不可约多项式 是 的 重因式，则 一定是 的 重因式。 （1）如果不可约多项式 是 的 重因式，则 一定是 的因式，但不是 的因式； （2）不可约多项式 是 的重因式 ； （3）多项式 没有重因式 。 定理1.9（余数定理）设 ，则 除 的余式是一个常数 ，这个常数就是 在 时的函数值，即 。 定理1.10（根的判定定理） 是 的一个根 。 定理1.11（根的存在性与个数定理）数域 上任意一个 次多项式在数域 上至多有 个根。 定理1.12 设 ，如果存在数域 上 个两两不等的数 ，满足 则 。 定理1.13 设 ，则 。 定理1.14（代数基本定理） 次复系数多项式在复数域上至少有一个根。 定理1.15（复系数多项式的因式分解定理） 次复系数多项式在复数域上可以分解为 个一次因式的乘积，即复数域上的不可约多项式只有一次因式。 定理1.16（实系数多项式根的性质定理）如果实系数多项式 有一个非实的复根 ，则 的共轭复数 也是 的一个根，且 与 的重数相等。 定理1.17（实系数多项式的因式分解定理） 次实系数多项式在实数域上可以分解为一次或二次不可约因式的乘积，即实数域上的不可约多项式除一次多项式外，只有含一对共轭复根的二次实系数多项式。 定理1.18 设 为一个本原多项式，如果 ，则 。 定理1.19 整系数多项式在有理数域上不可约的一个充分条件（艾森斯坦判别法）：设 ， 如果存在一个素数 ，满足 （1） ； （2） ； （3） ； 则 在有理数域上不可约。 §1.3  基本性质 性质1.1 （数域的基本性质）任何数域都包含有理数域。 性质1.2 （多项式的运算性质） （1）交换律 ； （2）结合律  ； （3）分配律  ； （4）消去律  。 性质1.3 （多项式的整除性质） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）零次多项式整除任何多项式； （6） ； （7） ，特别，两个首1多项式相互整除的充分必要条件是：这两个多项式相等。 性质1.4 多项式的整除性不会因为数域的扩大而发生变化。 性质1.5（互素多项式的性质） （1） ； （2） ； （3） 。 性质1.6（不可约多项式的性质） （1）不可约多项式的相伴多项式也是不可约多项式； （2）设 是不可约多项式，则对 ，有 ； （3）设 是不可约多项式，则若 。 性质1.7（本原多项式的性质）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 性质1.8（整系数多项式在有理数域上可约的一个性质） 次整系数多项式在有理数域上可约的充分必要条件是，这个多项式可以表示成两个次数 的整系数多项式的乘积。 性质1.9（有理根的性质）若 是整系数多项式 的一个有理根，则 （1） ； （2） 与 均为整数。 §1.4  基本运算 1、 求多项式的和、差、积： 2、 求商式与余式： 例1.1 设 ，求 除 所得的商式和余式. 3、 求最大公因式（最小公倍式）： 例1.2 设 ，求 。 4、 求 ，使得： ； 例1.3 设 ，求 ，使得： 。 5、 综合除法： 例1.4 设 ，求 除 所得的商式和余式 6、 求整系数多项式的有理根： 例1.5 设 ，求 的有理根 7、 Lagrange插值 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 例1.6 求一个次数尽可能低的多项式 ， 使得： 。 §2 典型 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型及其常用解题方法 §2.1 整除性的判定及其证明 1、利用定义 例1.7 若 ，则 。 2、利用带余除法 例1.8 满足什么条件时， 。 3、利用整除性的性质 例1.9证明： 成立的充分必要条件是： 。 4、利用多项式的典型分解式 设 则 。 例1.10证明： 成立的充分必要条件是： ，其中 是正整数。 5、利用多项式互素的性质 例1.11 设 ，若有 ，使 （1） （2） 则 都能被 整除。这里 不全为零。 6、利用不可约多项式的性质 例1.12（北师大P 38，2）证明： 。 7、利用根的性质 设 ，则 。 例1.13 若 ，则 。 §2.2 最大公因式的判定及其证明 1、利用定义 例1.14 若 ，且 是 与 的一个组合，那么 是 与 的一个最大公因式。 2、利用例11的结论 例1.15设 是首项系数为1的多项式，证明： 。 例1.16求 。 §2.3 互素的判定及其证明 1、利用定义 例1.17 证明： ，其中 。 2、利用互素的判定定理 例1.18（北大P 45，11）证明：如果 不全为零，且 ， 那么 。 例1.19（北大P 45，12）证明：如果 ，那么 。 3、利用反证法 例1.20 （北大P 45，14）证明：如果 ，那么 。 §2.4 可约与不可约多项式的判定及其证明 1、利用定义 例1.21 证明：次数大于零的多项式 是常数）可约。 2、利用爱森斯坦判别法 例1.22（北师大P 79，2）证明：如果 是两两不同的素数而 是一个大于1 的整数，那么 是一个无理数。 3、利用反证法 例1.23 （北大P 48，6）设 是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式 ，由 可以推出 或者 ，那么 是不可约多项式。 4、利用求有理根 1）若 是 次多项式 的一个根，则 在 上可约； 2）若三次多项式 在 上没有根，则 在 上不可约。 例1.24讨论： 在有理数域上的可约性。 §2.5 重因式（重根）及其重数的计算与判定 1、利用定义 例1.25 证明：如果不可约多项式 是多项式 的 重因式，则 是 的 重因式。 例1.26判断：5是不是多项式 的根，如果是的话，是几重根？ 2、利用重因式的性质定理 例1.27（北大P 46，21）证明： 不能有重根。 §3 例题选讲 §3.1 整除性的例题 例1.28（北大P 46，25）证明：如果 ，那么 。 例1.29（北师大P 58，5）证明：数域 上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分必要条件是 ，这里 是数域 中的数。 例1.30 设 是任意非负整数，证明： 。 例1.31要使 ，其中 要满足什么条件？ 例1.32设 是 中的非零多项式且 ，这里 ， ，证明： 不存在 且 ，使得： 。 §3.2 最大公因式的例题 例1.33（北大P 47，2）证明：只要 的次数都大于零，就可以适当选择适合等式 的 ，使 ， 。 例1.34用 记 中一切形如 的非零多项式所成的集合，这里 是给定的 中的多项式， 是 中任意两个多项式。证明： 非空，且 中次数最低的多项式都是 的最大公因式。 例1.35（北师大P 47，4）证明： ，此处 都是 中的多项式。 §3.3 互素的例题 例1.36（北师大P 48，11）证明：如果 ，那么对于任意正整数 ， 。 例1.37（北大P 45，13）设： 都是 中的多项式，而且 ，求证： 。 §3.4 可约与不可约的例题 例1.38（北师大P 64，8）令 是一个复数，并且是 中一个非零多项式的根。令 ， 证明：（1）在 中存在唯一的首项系数是1的多项式 ，使得 中每一多项式 都可以写成 的形式，这里 ； （2） 在 中不可约。若 ，求上述的 。 例1.39设 是整系数多项式，证明：若 是奇数，则 在有理数域上不可约。 例1.40 设： 是整系数多项式， ，证明：若有素数 使得 ，则 有一个次数不小于 的不可约因式。 §3.5 重因式与重根的例题 例1.41（北大P 48，9）证明： 不能有不为零的重数大于2的根。 例1.42（北大P 48，10）证明：如果 ，那么 的根只能是零或单位根。 例1.43设 是 的 重根，证明： 也是 的 重根。 例1.44设 ，问 满足什么条件时， 有重根，并求出它的重根及其重数。 §3.6 其它例题 例1.45（北师大P 31，1，2）设 都是实数域上的多项式，证明： 若 ，则 ；此结论对于复数域上的多项式 是否还成立？ 例1.46数域 上的多项式 如果对于任何 都有 ，则 是一个常数。 例1.47应用余数定理计算行列式： 。 §4 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 题 §4.1 北大 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 题目 P44-P47 习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、 28、 P47-P49 补充题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 §4.2 北师大教材题目 1、 证明： 。 2、 令 都是数域 上的多项式，其中 且 ，证明： 。 3、 考虑有理数域上的多项式 ， 这里 和 都是非负整数，证明： 。 4、 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式： （1） ； （2） 。 5、 设 ，求 。 6、 设 次多项式 的根是 ，求 （1）以 为根的多项式，这里 是一个数； （2）以 （假定 都不等于零）为根的多项式。 7、 设 是一个多项式，用 表示把 的系数分别换成它们的共轭复数后所得多项式，证明： （1） 若 ，那么 ； （2） 若是 是 和 的一个最大公因式，并且 的最高次项系数是1，那么 是一个实系数多项式。 8、 给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式。 9、 在复数和实数域上，分解 为不可约多项式的乘积。 10、证明数域 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。 §4.3 补充题目 1、设 ，那么对于任意多项式 ，有 ， 其中 或 。 2、设 ，若对于任意的 ，都有 ，则 。 3、设 ，证明：存在多项式 使 的充分必要条件是：存在多项式 使 。 4、证明：多项式 能被 整除的充分必要条件是下列等式同时成立： … 5、证明：多项式 不可能有不等于零而重数大于 的根，其中 各不相同，且 。 6、在 中，若 与 有公因式 ，则 。 7、若整系数多项式 有根 ，这里 是互素的整数，则 ，且对任意整数 ， 。 8、设 是整系数多项式，若有素数 使得 ， ， 证明： 在 中不可约。 9、设整系数多项式 的次数是 或 。证明：如果有 个不同的整数 ，使 取值1或 ，则 在 中不可约。 10、设 ，其中 是各不相同的整数，证明： 在 中不可约。 11、设 是有理系数多项式 的根。证明：对任意一个有理系数多项式 ，只要 ， 必是有理数。 12、设 是有理系数多项式 的根。证明：对任意一个有理系数多项式 ，只要 ，分数 的分母必可有理化。 13、证明： 没有实根。 14、设 ， 是大于零的实数，求方程 ，使得它的根恰是 的根减去 。 15、设 是 个非负整数，试求多项式 被 整除的条件。 16、确定 的条件。 17、应用余数定理计算行列式： 。