周矶中学圆的证明与计算--勾股定理

周矶中学圆的证明与计算--勾股定理 圆的证明与计算――勾股定理 1.(天津8分)已知AB与?O相切于点C，OA=OB(OA、OB与?O分别交于点D、E. (I) 如图?，若?O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号); (?)如图?，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形(求OD的值( OA 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】解:(I) 如图?，连接OC，则OC=4。 ?AB与?O相切于点C，?OC?AB。 ?在?OAB中，由OA=OB，AB=10得。 ? 在?RtOAB 中，。 (?)如图?，连接OC，则OC=OD。 ?四边形ODCE为菱形，?OD=DC。 ??ODC为等边三角形。??AOC=600。 ??A=300。? ， 即。 OA2OA2 【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判 定和性质，300角直角三角形的性质。 【分析】(I) 要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与?O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。 (?)由四边形ODCE为菱形可得?ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。 2.(内蒙古包头12分)如图，已知?ABC=90?，AB=BC(直线l与以BC为直径的圆O相切于点C(点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D( (1)如果BE=15，CE=9，求EF的长; (2)证明:??CDF??BAF;?CD=CE; (3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC 的延长线上， 且使 ，请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 你的理由( 【答案】解:(1)?直线l与以BC为直径的圆O相切于点C， ??BCE=90?， 又?BC为直径，??BFC=?CFE=90?。??CFE=?BCE。 ??FEC=?CEB，??CEF??BEC。? ?BE=15，CE=9，即:CEEF。 ，解得:EF=。 (2)证明:???FCD+?FBC=90?，?ABF+?FBC=90?，??ABF=?FCD。 同理:?AFB=?CFD。??CDF??BAF。 ???CDF??BAFCFCD。 CDCECFCE。 又??CEF??BCF又?AB=BC，?CE=CD。 (3)当F在?O的下半圆上，且时，相应的点D3 位于线段BC的延长线上，且使 。理由如下: ?CE=CD，? 。 在Rt?BCE中，tan? 所对圆心角为60???CBE=30?，?CF。 ?F在?O的下半圆上，且。 3 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得?BCE=90?，?BFC=?CFE=90?，则可证得?CEF??BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。 (2)?由?FCD+?FBC=90?，?ABF+?FBC=90?，根据同角的余角相等，即可得?ABF=?FCD，同理可得?AFB=?CFD，则可证得?CDF??BAF。 ?由?CDF??BAF与?CEF??BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得CDCE，又由AB=BC，即可证得CD=CE。 (3)由CE=CD，可得 ，然后在Rt?BCE中，求得tan? CBE 的值，即可求得?CBE的度数，则可得F在?O的下半圆上，且BF 。 33.(内蒙古乌兰察布10分)如图，在 Rt?ABC中,?ACB,90D是AB 边上 的一点，以BD为直径的 ?0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC 的延长线交于点 F . ( 1 )求证: BD = BF ; ( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长( 【答案】解:(1)证明:连结OE， ODE=?OED。 ?OD=OE，?? ??O与边 AC 相切于点E， ?OE?AE。??OEA=90?。 ??ACB=90?，??OEA=?ACB。?OE?BC。 ??F=?OED。 ??ODE=?F。?BD=BF。 (2)过D作DG?AC于G，连结BE， ??DGC=?ECF，DG?BC。 ?BD为直径，??BED=90?。 ?BD=BF，?DE=EF。 在?DEG和?FEC中， ??DGC=?ECF，?DEG=?FEC，DE=EF，??DEG??FEC(AAS)。?DG=CF。 ?DG?BC，??ADG??ABC去)。 ?BF=BC+CF=12+4=16。 【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。 【分析】(1)连接OE，易证OE?BC，根据等边对等角即可证得?ODE=?F，则根据等角对等边即可求证。 (2)易证?AOE??ABC ，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，。 ，?，?或(舍 即可求解。 4.(2012贵州贵阳，23，10分)如图，在?O中，直径AB=2，CA切?O于A，BC交?O于D，若?C=45?，则 (1)BD的长是 ;(5分) (2)求阴影部分的面积. (5分) 解析: (1)由CA切?O于A，得?A=90?，再结合?C=45?，得?B=45?. A 连接AD，则由直径AB=2，得?ADB=90?.故BD=AB?cos45?=2?cos45?=2;第23 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 图 (2)运用代换得到阴影部分的面积等于?ACD的面积. 解:(1)填2; (2)由(1)得，AD=BD. ?弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=?ACD的面积. ?CD=AD=BD=2，?S?ACD=112CD?AD=2?2?2=1，即阴影部分的面积是1. 点评:本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度. 5((2012江苏盐城，26，10分)如图所示，AC?AB， AB=AC=2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE?CD交直线AB于点E，设?，(00,,900)( (1)当时，求的长. (2)当时，求线段BE的长. (3)若要使点E在线段BA的延长线上，则的取值范围是 (直接写出答案)( 第26题图 C 的【解析】本题考查了圆的有关计算和证明(证明三角形相似是解题的关键.(1)欲求BD 所在圆的圆心角和半径代入弧长公式长，只要知道BD()，故连半径OD，?，180 半径 (2)当时，已知直径AB，可以计算出AD、BD，又AC已知，故可以利用?BDE??ADC，0 列出比例式，求出BE. 的取值范围. (3)通过画图可以找出 的长 【答案】(1)连接OD，?，??BOD=36，又? AB= BD00 000(2)?AB是半圆O的直径，??ADB=90，又?，??B=60，又?AC为半圆O的切 线，??CAD=60，??CAD=?B，又?DE?CD，??ADC+?ADE=90，又??ADE+?BDE=90，??BDE=?ADC，??BDE??ADC，? (3)60,,90( ? ，即 ACAD23 【点评】这是一道与圆有关的计算、探索题，重点考查了圆的有关性质、切线的性质、弧长公式等知识，通过构建相似三角形来求解是解题的关键. 2012浙江丽水8分，20题)(本题8分)如图，AB为?O的直径，EF 6. ( 切?O于点D，过点B作BH?EF于点H，交?O于点C，连接BD. (1)求证:BD平分?ABH; =12，BC=8，求圆心O到BC的距离 (2)如果AB . 【解析:】(1)欲证BD平分?ABH，只需证?OBD=?DBH.连接OD，则?OBD=?ODB，为止只需证?ODB=?DBH即可(.2)过点O作OG?BC于点G，在Rt?OBG中，利用勾股定理即可求得OG的值. 【解】:(1)证明:连接OD. ?EF是?O的切线，?OD?EF. 又?BH?EF，?OD?BH， ??ODB=?DBH. 而OD=OB，??ODB=?OBD， ??OBD=?DBH， ?BD平分?ABH. (2)过点O作OG?BC于点G，则BG=CG=4， 在Rt?OBG中， 【点评】:已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题. 7.(2012福州，20，满分12分)如图，AB为?O的直径，C为?O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交?O于点E。 (1)求证:AC平分?DAB; (2)若?B=60?， CD=AE的长。 解析:(1)由CD是?O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC?CD， OC，因此易证AC平分?DAB;(2)由?B=60?，可联想到30?的直角三AD? 角形及用解直角三角形的方法求出AE，由?B=60?，可得?1=?3=30?，因为 CD= AC=，从而可求得AB的长，连接OE，易知?OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。 答案:(1)证明:如图1，连接OC， ?CD为?O的切线 ?OC?CD ??OCD=90? ?AD?CD ??ADC=90? ??OCD+?ADC=180? ?AD?OC ??1=?2 ?OA=OC ??2=?3 ??1=?3 即AC平分?DAB。 (2)解法一:如图 2 ?AB为?O的直径 ??ACB=90? 又??B=60? ??1=?3=30? ACD中， 在Rt? CD=? AC=2CD=在Rt?ABC中， AC= ? 连接 ??EAO=2?3=60?，OA=OE ??EAO是等边三角形 ?AE=OA=1AB=4. 2 解法二:如图3，连接 CE ?AB为?O的直径 ??ACB=90? 又??B=60? 3=30? ??1=? 在Rt?ACD中， CD= ? ?四边形ABCE是?O的内接四边形 ??B+?AEC=180? 又??AEC+?DEC=180? ?DEC=?B=60? 在Rt?CDE中， CD= ??AE=AD-DE=4. 点评:本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形;考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。 8.(2012贵州铜仁，23，12分)(如图，已知?O的直径AB与弦CD相交于点E， AB?CD，?O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F( (1)求证:CD? BF; (2)若?O的半径为5， cos?BCD= 【分析】(1)由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF?AB，然后利用平行线的判定得出CD?BF (2)由AB是圆O的直径，得到?ADB=90º ，由圆周角定理得出?BAD=?BCD，再根据三角函数cos?BAD= cos?BCD= 即可求出AD的长 【解析】(1)证明:?BF是圆O的切线，AB是圆O的直径 ?BF?AB ?CD?AB ?CD?BF (2)解:?AB是圆O的直径 ??ADB=90º ?圆O的半径5 ?AB=10 ??BAD=?BCD 23题图 4，求线段AD的长( 54AD= 5AB 4AD= 5AB 4?? cos?BAD= cos?BCD= ?AD=8 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或 证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点. 9.(2012四川成都，27，10分)如图，AB是?O的直径，弦CD?AB于H，过CD延长线上 一点E作?O的切线交AB的延长线于F(切点为G，连接AG交CD于K( (1)求证:KE=GE; (2)若KG=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由; (3) 在(2)的条件下，若sinE=23， AK=FG的长( 5 解析:利用切线的性质和等边对等角可以证明?EGK=?EKG，然后根据等角对等边，即可证 明第(1)小题;对于第(2)小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系;对于第(3)小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。 答案:(1)如下图，连接OG， ?EG是?O的切线 ?OG?GE ??OGK+?EGK,90? ?CD?AB ??OAG+?AKH,90? ?OG=OA ??OGK=?OAG ??EGK=?AKH=?EKG ?KE=GE; (2)AC?EF 理由如下: ?KG=KD?GE，GE=KE ? ??KGD??KGE ??KGD,?E ?KGD,?C ??E,?C ?AC?EF (3)?在(2)的条件下， ?AC?EF ??CAF,?F，?E,?C 3 5 343?sinC=,sinF=,tanE=tanC= 554?sinE= 连接BG，过G作GN?AB于N，交?O于Q 则弧BQ=弧BG BAG ??BGN,? 设AH=3k，则CH=4k BH+AH25kCH216k216k===于是BH=，OG= 26AH3k3 ?EG是切线，CD?AB ??OGF,90? ??FOG+?F=?E+?F ??FOG=?E ?NG=OGsin? -?BN=OB-ON=OG-OGcos?FOG= ? 5k BN?cos?BAG=cos? BGN= k 5 GB? 5k NG25? 5 Q N 点评:本题的第(3)小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题;但是，前两个 小题比较基础，同学们应争取做对。 10(((2012江苏泰州市，27，本题满分12分)如图，已知直线l与?O相离，OA?l于点A，OA=5，OA与?O相交于点P，AB与?O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C. (1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由; (2)若PC=2，求?O的半径和线段PB的长; (3)若在?O上存在点Q，使?QAC是以AC为底边的等腰三角形，求?O的半径r的取值范围. (第27题图) (备用图) 故连半径，利用切线性质，圆半径相等， 【解析】(1)由于AB是?O的切线， 对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等; (2)设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB (3)先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可 【答案】(1)AB=AC; 连接OB，则OB?AB，所以?CBA+?OBP=90,又OP=OB，所以?OBP=?OPB，又?OPB=?CPA，又OA?l于点A，所以?PCA+?CPA=90，故?PCA=?CBA，所以AB=AC (2)设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5- r;?AB=OA-OB=5-r,AC=PC-AP-(5-r)222222222200，从而建立等量关系，r=3，?AB=AC，?AB= AC，利用相似，求出PB=4 22 (3)作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于 MN，则可推出 ;由题意， 圆O要与直线MN有交点，所以 与直线l相离;所以【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富;考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分;求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答. 2012浙江省湖州市，22，10分)已知，如图，在梯形ABCD中，AD? 11.( BC,DA=DC,以点D为圆心，DA长为半径的?D与AB相切于点A，与BC交于点F，过点D作DE?BC,垂足为E。 (1)求证:四边形ABED为矩形; (2)若AB=4，求CF的长。 BC4 【解析】(1)根据切线的性质可得，?DAB=90，由平行关系AD?BC可得，?ABE=90，又DE?BC, ?BED=90，即三个角是直角，可判定四边形是矩形; DEC,由(1)的结论可得，DA=DC,AB=DE,应用勾 (2)分析图形，构建Rt? 股定理可求得CF的长CF=CD2-DE2。 【答案】(1)??D与AB相切于点A，?AB?AD，即?DAB=90， 又?，AD?BC, DE?BC,??ADE=?DEB=90，?四边形ABED为矩形; (2)?四边形ABED为矩形;?DE=AB=4，?DA=DC,?点C在?D上，?在?D中， DE?BC,?CF=2EC，又?，设AD=3k,则BC=4k,?BE=3k,EC=BC-BE=k,DC=AD=3k,由勾BC400000 222222股定理得，DE+EC=DC，即4+k=(3k),解得，k=?2,负值无意义舍去，?k=2,?CF=2k=22. 【点评】本题是圆、四边形、三角形的综合题目，这三部分性质得综合应用，应用时要注意结合图形，合理选择方法解题的关键. 12.(2012年四川省德阳市，第23题、() 如图，已知点C是以AB为直径的?O上一点，CH?AB于点H，过点B作?O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G. ?求证: ?求证: ?若A; ; ，求?O 的半径r的长. 【解析】 (1)根据可证??ADF即可证得结论( (2) 连接OC和OF, 证明??BOF可证结论( (3)首先证明?FAG=?FGA,从而得出AF=GF.进而得到AB=BG.在由?? BOF 得到结论( 由 OCCG 【答案】(1)?DB是圆O的切线，AB是直径( ?DB?AB. 又CH?AB ?? AFDF 即 (2) 连接OC,OF. ?F是BD的中点，O是AB的中点 ? ??FOB=?DAB, ?COF=?ACO=?DAB ??COF=?BOF, OF=OF, OB=OC ???BOF ?FC=FB. (3)设OC=R ?FB=FC,FE=FC ?FC=FE ??FCE=?FEC=?AEH. 又?FOG+?AEH=90?，?G+?FCE=90? ??DAG=?G. ? FA=FG. ? BF?AG ?AB=BG. 则 有因为??COG 所以 即 OCCGR【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，相似三角形的性质和判定，综合性强(解决这样的问题，恰当添加辅助线是关键( 2012广州市，16， 3分)(本小题满分12分) 13. ( 如图8， ?P 的圆心为P{,3,2}，半径为3，直线MN过点M{5,0}且平行于y轴，点N在点M的上方。 {1} 在图中作出?P关于y轴对称的?P`，根据作图直接写出?P`与直线MN的位置关系: {2}若点N在{1}中的?P上。求PN的长。 【解析】(1)确定了?P`的圆心的位置即可画出?P`。看出MN与?P`的位置。(2)利用勾股定理可求出PN的长。 【答案】解:(1)点P{,3,2}关于y轴对称点为P`{3,2},以点P`为圆心，3为半径的圆即为所求，?P`与直线MN相交。 (2) 在Rt?PNE中， 。 【点评】本题考查了图形的轴对称画图，圆中垂径定理以及勾股定理在坐标系中的应用。 14((湖南株洲市8,22题)(本题满分8分)如图，已知AD为的直径，B为AD延长线 上一点，BC与切于C点， 求证:(1)、BD=CD; (2)、?AOC ??CDB. 【解析】由BD与CD在同一个三角形中，所以要证明它们相等，就应该利用等角对等边， 也就是证明?BCD=?B，证明三角形相似，就是来找出两组角相等. 【解】(1)为的直径 ?ACD=90? 又?A=30?，OA=OC=OD ，?ODC=?OCD=60?-----------------------------1分 ?ACO=30? 又与切于C ------------------------------------------2分 ?OCB=90? ?BCD=30? ?B=30? ?BCD=?B --------------------------------------------4分 (2)?A=?ACO=?BCD=?B=30?----------------------------6分 -----------------------------------------------7分 --------------------------------------------------------8分 【点评】在实数运算中，掌握一些运算的基本技能，如零指幂、负指数幂，特殊角的三角函数值，并掌握实数的运算顺序. 15.(2011山东省潍坊市，题号18，分值9)18.如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆上，顶点A在圆外，AB、AC 分别交圆于E、D两点，连接EC、BD (1)求证:?ABD??ACE; (2)若?ABC与?BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状. 考点:三角形相似的 解答:(1)证明:因为弧ED所对的圆周角相等， 所以?EBD=?ECD ………………. 2分 又因为?A=?A 所以?ABD??ACE……………….4分 (2)方法1:因为S?ABC=S?BDC，S?ACE= S?ABC,S?BEC,S?ABD= S ?ABC,S? BCD 所以: S?ACE= S?ABD， 又根据(1)知，?ABD??ACE 所以对应边的比为1 所以AB=AC，即?ABC为等腰三角形。 方法2:因为?BEC与?BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等， 即E、D两点到BC的距离相等，所以ED ? BC 所以?BCE=?CED 又因为?CED=?CBD 所以?BCE=?CBD 因为?ABD??ACE，所以?ABD =?ACE， 所以?ABC =?ACB 即?ABC为等腰三角形 点评:本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定， 综合性较强。 16. (2012呼和浩特，24，8分)(8分)如图，已知AB为?O的直径，PA与?O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC。 (1)求证:?PAC=?B，且PA?BC=AB?CD (2)若PA=10，sinP= 3，求PE的长。 5 P 【解析】切线的性质，三角形相似，对应边成比例，锐角三角函数 【答案】 (1)证明: ?PA是?O的切线 ，AB是直径 ??PAO=90?，?C=90? ??PAC+?bac=90?且?B+?BAC=90? ??PAC=?B 又?OP?AC ??ADP=?C=90? ??PAD??ABC ?AP:AB=AD:BC ?在?O中，AC?OD ?AD=CD ?AP:AB=CD:BC ?PA?BC=AB?CD (2)解: ?sinP= 3，且?AP5?AD=6 ?AC=2AD=12 ?在Rt?ADP中，PD 又?AP:AB=PD:?AO= 225?OP= 22515?PE=OP–OE=–=5 22?AB= 【点评】本题(1)考查了利用切线的性质求得直角，利用直径所对圆周角是90?，得到直角，并得出一对相似三角形，利用相似三角形对应边成比例得出要证明的结论。(2) 中利用现有的直角三角形三角函数求出线段的长。 17、((2012?湖南省张家界市?24题?10分))如图，?O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作?O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)( (1)求?AEC与?ACD的度数; (2)当点E移动到CB弧的中点时，求证:四边形OBEC是菱形( (3)P点移动到什么位置时，?AEC与?ABC全等，请说明理由. 【分析】(1)显然?ACO是等边三角形，结合切线性质可求;(2)只要证明AC=CP=OA=OP即可. 【解答】解:(1)?AC=OA=OC=2，??ACO为等边三角形. ??AOC=?ACO=?OAC=60?， ??APC=1AOC=30?. 2 又?DC切?O于点C，?OC?DC. ??DCO=90?. ??ACD=?DCO-?ACO=90?-60?=30?. (2)?AB为直径，?AOC=60?， ??COB=120?. 当点P移动到CB的中点时，?COP=?POB=60?， ??COP为等边三角形. ?AC=CP=OA=OP. ?四边形AOPC为菱形. (3)当点P与B重合时，?ABC与?APC完全重合. ??ABC??APC. CPA. _ B 当点P继续运动到CP经过圆心时，也有?ABC?? 因为此时，AB=CP，AC为公共边，?ACB=?CAP=90?，根据直角三角形斜边直角原理即得. 【点评】本题是是一道与圆有关的动态 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ，综合考查了圆的切线性质、等边三角形的判定性质、菱形的判定、全等三角形等知识. 18.(2012北海,25，10分)25(如图，AB是?O的直径，AE交?O于点E，且与?O的切 线CD互相垂直，垂足为D。 (1)求证:?EAC,?CAB; (2)若CD,4，AD,8: ?求?O的半径; ?求tan?BAE的值。 【解析】(1)在圆中遇到切线，经常做的辅助线是连接过切点的半径，连OC，OC?CD，CD?AE，易得OC?AD，两直线平行， 2分 ??1,?2 即?EAC,?CAB 3分 (2)解:?连接BC。 ?AB是?O的直径，CD?AE于点D ??ACB,?ADC,90? ??1,?2 ??ACD??ABC ? 分 ?AC2,AD2，CD2,42，82,80 ?AB,AC2 ,10 8 ??O的半径为10?2,5。 6分 ?连接CF与BF。 ?O的 8分 ?四边形ABCF是 42 ?DF,,2 AD8 8,2,6 ?AF,AD,DF, ?AB是?O的直径 ??BFA,90? ?BF ?tan?BAD,CD2BF 。 63 10分 【点评】本题是关于圆的大题，综合性比较强，涉及到的知识点有:圆中两条 关键性的辅助线，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等。难度偏大， 在教学过程中，多训练，注重指导学生解题的方法，弄问题的来龙去脉。 19((2012山东日照，24，10分)在Rt?ABC中，?C=90?，AC=3，BC=4， AB=5. (?)探究新知 如图? ?O是?ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.. (1)求证:内切圆的半径r1=1; (2)求tan?OAG的值; (?)结论应用 (1)如图?若半径为r2的两个等圆?O1、?O2外切，且?O1与AC、AB相切，?O2与BC、AB相切，求r2的值; (2)如图?若半径为rn的n个等圆?O1、?O2、„、?On依次外切，且?O1与AC、AB相切，?On与BC、AB相切，?O1、?O2、„、?On均与AB相切，求rn的值. 解析:(?)(1)运用切线长定理可得;(2)连接OA,OG，构造直角三角形求解;(?) (1)联想(?)(2)的解题方法，用r2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示AB的长列方程求解;(2)寻找规律，用rn表示AB的长列方程求解 解: (?)(1)证明:在图?中，连结OE,OF,OA. ?四边形CEOF是正方形， CE=CF=r1. 又?AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1，AG+BG=5， ?(3-r1)+(4-r1)=5.即r1 =1. (2)连结OG，在Rt?AOG中， ?r1=1， AG= 3-r1=2，tan?OAG=OG1=; AG2 (?)(1)连结O1A、O2B，作O1D?AB交于点D、O2E?AB交于点E，AO1、BO2分别平分?CAB、 ?ABC. 由tan?OAG=11，知tan?O1AD=， 22 O2E1= ， BE3同理可得:tan?O2BE= ?AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2. ?AD+DE+BE=5，r2=5; 7 (2)如图?，连结O1A、OnB，作O1D?AB交于点D、O2E?AB交于点E、„、OnM?AB交于点M. 则AO1、BO2分别平分?CAB、?ABC. tan?O1AD=11，tan?OnBM=, 32 AD=2rn，DE=2rn，„,MB=3rn， 又?AD+DE+„+MB=5， 2rn+2rn+„+3rn=5, (2n+3) rn=5, 点评:本题考查了切线长定理、切线的性质以及解直角三角形的相关知识，运用了从特殊到一般的归纳思想，解题的关键是用rn表示AB的长. 2012广东肇庆，24，10)如图7，在?ABC中，AB=AC，以AB为直径 20.( 的?O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证: (1)D是BC的中点; ?BEC ??ADC; (2) (3)( 图7 【解析】由直径所对的圆周角直角及等腰三角形“三线合一”可得D是BC的中点;再利用同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形的相似可证出第二个结论(第三小问可由乘积式化为比例式进行转化( 【答案】证明:(1)?AB是直径 ??ADB= 90?即AD?BC (1分) 又?AB=AC ?D是BC的中点 (3分) (2)在?BEC与 ?ADC中， ??C=?C ?CAD=?CBE (5分) ??BEC ??ADC (6分) 图(3)??BEC ??ADC ? CDCE 又?D是BC的中点 ?2BD=2CD=BC ?则 ? (7分) BDCE 在?BPD与 ?ABD中， 有 ?BDP=?BDA 又?AB=AC AD?BC ??CAD=?BAD 又??CAD=?CBE ??DBP=?DAB ??BPD ??ABD (8分) ?则 ? (9分) PDBD ?由?，?得: ?(10分) 【点评】本题综合地考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角直角、等腰三角形的性质，三角形的相似等知识，有一定难度. 21. (2012四川宜宾，23，10分)如图，?O1、?O2相交于点P、Q两点，其中?O1的半径r1=2，?O2,的半径r2=2，过点Q作CD?PQ,分别交?O1和?O2于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线A交?O1和?O2于A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E, 求证: (1) (2) 若PQ=2，试求?E度数。 【解析】(1)求出PC、PD，证?PAB??PCD，推出(2)求出cos?CPQ==，代入求出即可; ，求出?CPQ=60?，同理求出?PDQ=45?，推出?CAQ=?CPQ=60?，?PBQ=?PDQ=45?，求出?PBD=90?，求出?ABE=45?根据三角形的内角和定理求出即可( 【答案】(1)证明:??O1的半径r1=2，?O2的半径r2= ?PC=4，PD=2 ?CD?PQ， ??PQC=?PQD=90?， ?PC、PD分别是?O1、?O2的直径， 在?O1中，?PAB=?PCD， 在?O2中，?PBA=?PDC， ??PAB??PCD， ， ， ?即 ===( =， (2)解:在Rt?PCQ中，?PC=2r1=4，PQ=2， ?cos?CPQ= ??CPQ=60?， ?在Rt?PDQ中，PD=2r2=2 ?sin?PDQ= ??PDQ=45?， ??CAQ=?CPQ=60?，?PBQ=?PDQ=45?， 又?PD是?O2的直径， ??PBD=90?， ??ABE=90?,?PBQ=45? 在?EAB中，??E=180?,?CAQ,?ABE=75?， 答:?E的度数是75?( 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，是一道比较好的题目( 22((2012湖北咸宁，21，9分)如图，AB是?O的直径，点E是AB上的一点，CD是过 E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF?CD，连接BC( A ， ，PQ=2， ， F (第21题) (1)已知，，求弦CD的长; 如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置, (2)连接BD， 试说明理由( 【解析】(1)由BF与?O相切，可得BF?AB;又由BF?CD，易得CD?AB，由垂径定理证得 CE,DE，后连接CO，设OE,x，则BE,9,x，由勾股定理求得OE的长，继而求得CD的长; (2)由四边形BDCF为平行四边形，可得CD,BF，又由?AEC??ABF，证得点E是AB的中点( 【答案】?BF与?O相切， ?( ????????????????????????????? 1分 而BF?CD，?( 又?AB是直径，?( ?????????????????????? 2分 连接CO，设，则 ( 由勾股定理可知:， 即，( ???????????????????? 4分 因此 ( ??????????????? 5分 (2)点E位于AB的中点(理由:?四边形BDCF为平行四边形， ?( 而， ?( ????????????????? 7分 22 ?BF?CD， ??AEC??ABF( ????????????????????? 8分 ?AEEC1???????????????? 9分 ( ?点E是AB的中点( ABBF2 【点评】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识(此题难度适中，注意运用数形结合思想与方程思想( 23((本题满分8分) (2012陕西23，8分)如图，PA、PB分别与相切于点A、B，点M在PB 上，且OM//AP，，垂足为N( (1)求证:OM=AN; (2)若的半径R=3，PA=9，求OM的长( 【解析】(1)由切线的性质和条件可证得四边形ANMO是矩形，得证. (2)连接OB又(1)可证，设OM=x，则由切线长定理 得BM=9-x，在中列方程解得. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OA，则( ?， ?MN//OA( ?OM//AP， ?四边形ANMO是矩形( ?OM=AN( (2)连接OB，则( ?OA=MN，OA=OB，OM//AP， ?OB=MN，( ?( ?OM=MP( 设OM=x，则NP=9-x( 在中，有-( ?x=5(即OM=5( 【点评】本题综合考查了切线的性质、全都三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及勾 股定理等知识，但解决问题的关键还是连接过切点的半径.难度稍大. 24((2012贵州黔西南州，22，10分)如图8，?ABC内接于?O，AB=8，AC=4，D是AB ?的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，?PAD边上一点，P是优弧BAC 是以AD为底边的等腰三角形,并加以证明( 2 【解析】本题考查圆的基本性质，以及全等三角形的应用(本题的关键是运用 ?PBD??PCA解决问题( 【答案】解:当BD=4时，?PAD是以AD为底边的等腰三角形(„„„„„„(2分) ?的中点( 证明:?P是优弧BAC ??PB=?PC，即PB=PC(„„„„(4分) 又?BD=AC=4，?PBD=?PCA，„„„„(5分) ??PBD??PCA，„„„„(6分) ) ?PA=PD(„„„„(8分 ??PAD是以AD为底边的等腰三角形„„„„(10分) 【点评】解决这样的问题，可以用逆推的方法，先找出结论成立时所需要的条件，然后再运用这些条件进行证明( 25( (本题满分9分)(2012山东东营，20，9分)如图，AB是?O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切?O于点E，交AM于点D，交BN于点C， (1)求证:OD?BE; (2)如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长( 【解析】(1)连接OE，由于AM、DE是?O的切线，?OAD=?OED=90?，那么DA=DE，而OD=OD，于是可证?AOD??EOD，从而有?AOD=?EOD= (第20题图) C N A D E M 11 ?AOE，根据圆周角定理有?ABE=?AOE，22 那么?AOD=?ABE，从而有OD?BE;(2)连接OF，同(1)易得?OCB=?OCE，再由(1)得?ADO=?EDO，易证?EDO+?OCE=90?，从而可知?OCD是直角三角形，由勾股定理即可求得CD的长( 【答案】(1)证明:连接OE， ?AM、DE是?O的切线，OA、OE是?O的半径，??ADO=?EDO，?DAO=?DEO=90?，??AOD=?EOD=?OD?BE . 11?AOE， ??ABE=?AOE，??AOD=?ABE，22 E 1 (2)由(1)得:?AOD=?EOD=?AOE，同理，有: 2 1 ?BOC=?EOC=?BOE， ??AOD+?EOD+?BOC+?EOC=180?， 2 B CN 22??EOD+?EOC=90?，??DOC是直角三角形， ? 0(cm) 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的判 定，勾股定理(解题的关键是连接OE，构造直角三角形( 26. (2012浙江杭州12分)如图，AE切?O于点E，AT交?O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB?AT于点B，已知?EAT=30?， (1)求?COB的度数; (2)求?O的半径R; (3)点F在?O上(FME是劣弧)，且EF=5，把?OBC经过平移、旋转和相似变换后， 使它的两个顶点分别与点E，F重合(在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个,你能在其中找出另一个顶点在?O上的三角形吗,请在图中画出这个三 OBC的周长之比( 角形，并求出这个三角形与? 【答案】解:(1)?AE切?O于点E，?AE?CE。 又?OB?AT，??AEC=?CBO=90?， 又??BCO=?ACE，??AEC??OBC。 又??A=30?，??COB=?A=30?。 (2)? A=30?， ?在Rt?AEC中，tanA=tan30?=EC，即EC=AEtan30?=3。 AE ?OB?MN，?B为MN的中点。 又? MB=1 2 MOB中，OM=R， 连接OM，在? ?OB 在?COB中，?BOC=30?， OC。 ??cos?BOC=cos30? = 又?OC+EC=OM=R， ?。 2整理得:R+18R,115=0，即(R+23)(R,5)=0，解得:R=,23 (舍去) 或R=5。 ?R=5。 (3)在EF同一侧，?COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6 个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示: 延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示， ?FDE即为所求。 ?EF=5，直径ED=10，可得出?FDE=30?， ? 则C?EFD 由(2)可得C?COB ?C?EFD:C?COB=( :( =5:1。 【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE?CE，又OB?AT，可得出两直 角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出 ?AEC??OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与?A相等，由?A的度数即可求出所求角的度数。 (2)在Rt?AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB?MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt?OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt?OBC中，由表示出OB及cos30?的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE,OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。 (3)把?OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合(在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。 顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，?FDE即为所求。 根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到?FDE为直角三角形，由?FDE为30?，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出?EFD的周长，再由(2)求出的?OBC的三边表示出?BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。 4 27. (2012湖北武汉8分)在锐角?ABC中，BC,5，sinA,( 5 (1)如图1，求?ABC外接圆的直径; (2)如图2，点I为?ABC的 ?BC,5，?。 44 5 25 ??ABC外接圆的直径为。 4 (2)连接BI并延长交AC于点H，作IE?AB于点E。 ?BA=BC，?BH?AC。?IH=IE。 在Rt?ABH中，BH=AB?sin?BDH=4 ，AH3。 ?，? ，即222 。 ?IH=IE，?IH=。 3 2 在Rt?AIH 中，AI 【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。 【分析】(1)作?ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得?CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得?D=?A，从而由已知sinA= 角函数定义即可求得?ABC外接圆的直径。 AB于点E，由三角形内心的性质 (2)连接BI并延长交AC于点H，作IE? 和角平分线的判定 和性质，知IH=IE。在Rt?ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由求得IH=。在Rt?AIH中，应用勾股定理求得AI的长。 28. (2012湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图(已知图中ABCD为等腰梯形(AB?DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m(设油罐横截面圆心为O，半径为5m，?D=56?，求:U型槽的横截面(阴影部分)的面积((参考数据:sin53??0.8，tan56??1.5，π?3，结果保留整数) 4，根据锐角三532 【答案】解:如图，连接AO、BO(过点A作AE?DC于点E，过点O作ON?DC于点N，ON交?O于点M，交AB于点F(则OF?AB( ?OA=OB=5m，AB=8m， 1AB=4(m)，?AOB=2?AOF， 2 AF4在Rt?AOF中，， AO5?AF=BF= ??AOF=53?，??AOB=106?。 ?(m)，由题意得:MN=1m，?FN=OM, OF+MN=3(m)。 ?四边形ABCD是等腰梯形，AE?DC，FN?AB，?AE=FN=3m， DC=AB+2DE。 在Rt?ADE中，tan560= ?AE3=，?DE=2m，DC=12m。 DE2 阴梯形(S扇形))) (m2)。 23602 答:U型槽的横截面积约为20m。 【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。 【分析】连接AO、BO(过点A作AE?DC于点E，过点O作ON?DC于点N，ON交?O于点M，交AB于点F，则OF?AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt?AOF中利用锐角三角函数的定义求出?AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴梯形即可得出结果。 (S扇形) 29. (2012湖北宜昌8分)如图，?ABC和?ABD都是?O的内接三角形，圆心O在边2 的中点( AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为AD (1)求证:OF?BD; (2)若，且?O的半径R=6cm( ED2 ?求证:点F为线段OC的中点; ?求图中阴影部分(弓形)的面积( 的中点，?OC?AD。 【答案】(1)证明:?OC为半径，点C为AD ?AB为直径，??BDA=90?，BD?AD。?OF?BD。 (2)?证明:?点O为AB的中点，点F为AD的中点，?OF= ?FC?BD，??FCE=?DBE。 ??FEC=?DEB，??ECF??EBD， ?1BD。 ，?FC=BD。 BDED22 ?FC=FO，即点F为线段OC的中点。 ?解:?FC=FO，OC?AD，?AC=AO， 又?AO=CO，??AOC为等边三角形。 ?根据锐角三角函数定义，得?AOC )?S阴。 3602 答:图中阴影部分(弓形)的面积为。 【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。 【分析】(1)由垂径定理可知OC?AD，由圆周角定理可知BD?AD，从而证 明OF?BD。 (2)?由OF?BD可证?ECF??EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为?ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点; ?根据S阴=S扇形AOC,S?AOC，求面积。 30. (2012湖北荆州9分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图(已知图中ABCD为等腰梯形(AB?DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m(设油罐横截面圆心为O，半径为5m，?D=56?，求:U型槽的横截面(阴影部分)的面积((参考数据:sin53??0.8，tan56??1.5，π?3，结果保留整数) 2 【答案】解:如图，连接AO、BO(过点A作AE?DC于点E，过点O作ON ON交?O于点M，交AB于点F(则OF?AB( ?DC于点N， ?OA=OB=5m，AB=8m， 1AB=4(m)，?AOB=2?AOF， 2 =sin530， AO5?AF=BF= AF4在Rt?AOF中， ??AOF=53?，??AOB=106?。 ?(m)，由题意得:MN=1m，?FN=OM, OF+MN=3(m)。 ?四边形ABCD是等腰梯形，AE?DC，FN?AB，?AE=FN=3m， DC=AB+2DE。 在Rt?ADE中，tan560= ?AE3=，?DE=2m，DC=12m。 DE2 阴梯形(S扇形))) (m2)。 23602 答:U型槽的横截面积约为20m。 【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。 【分析】连接AO、BO(过点A作AE?DC于点E，过点O作ON?DC于点 N，ON交?O于点M，交AB于点F，则OF?AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt?AOF中利用锐角三角函数的定义求出?AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴梯形即可得出结果。 (S扇形) 31. (2012湖北鄂州10分)如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD?BC，O是腰CD的中 点，以CD长 为直径作圆，交BC于E，过E作EH?AB于H。 (1)求证:OE? AB; 2 (2)若EH,1CD，求证:AB是?O的切线; 2 CE BH的值。 (3)若BE=4BH，求 【答案】解:(1)证明:在等腰梯形ABCD中，AB=DC，??B=?C。 OEC=?C，??B=?OEC。?OE?AB。 ?OE=OC，?? (2)证明:过点O作OF?AB于点F，过点O作OG?BC交AB 于点G。 ?AB=DC，??B=?C。 ?OC=OE，??OEC=?C。??OEC=?B。?OE?GB。 又?EH?AB，?FO?HE。?四边形OEHF是平行四边形。?OF=EH。 又?EH=11CD，?OF=CD，即OF是?O的半径。 22 ?AB是?O的切线。 (3)连接DE。 ?CD是直径，??DEC=90?。??DEC=?EHB。 又??B=?C，??EHB??DECBHBE。 ?BE=4BH，设BH=k，则BE=4k， EH ， ? 。?【考点】等腰梯形(三角形)的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】(1)判断出?B=?OEC，根据同位角相等得出OE?AB。 (2)过点O作OF?AB于点F，过点O作OG?BC交AB于点G，证明OF是?O的半径即可。 (3)求出?EHB??DEC ，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。