分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用 【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块 矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关 计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。 本文详细且全面论述了分块 矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代 数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用 分块矩阵相似的问题。 分块矩阵求逆矩阵的问题, 【关键词】:分块矩阵;矩阵的秩;逆矩阵;行列式 目录 1引言..........................................2 2矩阵分块的定义和性质.........................2 2.1 矩阵分块的定义.........................2 2.2 分块矩阵的运算.........................2 2.3 分块矩阵的初等变换.....................3 2.4 n阶准对角矩阵的性质...................3 3分块矩阵在高等代数中的应用...................4 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用...4 3.2 利用分块矩阵计算行列式.................7 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 ..........11 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用.......16 4 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ........................................19 参考文献.......................................20 1 1 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。 2 2 分块矩阵的定义和性质 2.1分块矩阵的定义 矩阵分块，就是把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的，当运算时，把这些小矩阵当做一些数来处理，给矩阵的运算带来了方便。 设A是数域P上的矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含mmmmn，12r个行，又将A的列分割为s段，每段包含个列。于是A可用小块矩阵nnn12s AAA,,11121s,,AAA21222s,,A表示如下:A=其中是mn，矩阵,这种分割法称为矩阵ijij,, ,,AAArrrs12,, 的分块。 2.2分块矩阵的相关运算性质 2.21.加法运算:设为同型矩阵(行和列数分别相等)。 Aa,()Bb,()ijmn，ijmn， 若采用相同的分块法, AAABBB,,,,11121s11121s,,,,AAABBB21222s21222s,,,, A= B= ,,,, ,,,,AAABBBrrrs12rrrs12,,,, 则可以直接相加。 2.22乘法运算:设AB=C(A、B为同型矩阵且有相同分块方式)，则C有如下分块形式: CCC,,11121s,,nCCC21222s,,CAB,C=， 其中 ,ijijij,,i,1,,CCCrrrs12,, 3 AA...A，，11121t,,AA...A21222t,,2.23.分块矩阵的转置:一般地，设A=是一个分块矩阵，那,,............ ,,AA...As1s2st，， ,,,AA...A，，1121s1,,,,,AA...A1222s2,,,么 A,,,............ ,,,,,AA...A1t2tst，， 分块矩阵取转置的规则: A 第一步:把的每一块都看成元素(数)取转置 A 第二步:对的每一块取转置。 2.3.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，我们可以 根据矩阵的初等行变换推广得到如下定义: 定义:以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换 (1)用一个行列式不为零的方阵左乘(右乘)分块矩阵的某一块行。 (2)互换两块行的位置。 P (3)把一个块行的(矩阵)倍(即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右 P乘一个矩阵)加到另一块行上。 2.4. n阶准对角矩阵有如下性质: (1)对于两个同类型的n阶准对角矩阵(其中同为阶方阵)， AB,,,,11,,,,AB22,,,,A= B=，有: ,,,, ,,,,00ABSS,,,, AB,,11,,AB22,,AB= ,, ,,0ABSS,, (2); 4 ,1,,A1,,,1A,12,,(3)A可逆等价于可逆，且。 Ain(1,2,),A,i,, ,,,1,,A,,r2.5分块矩阵相似的条件 定义1:设为阶分块矩阵，若存在可逆分块矩阵P，使得 AB,n ,1 BPAP, ,1ABAA则称相似于，记作AB。对进行矩阵的积运算PAP称为对进行相似变 换，可逆分块矩阵P称为把A变成B的相似因子阵。 相似是分块矩阵间的一种特殊的等价关系，即两个相似分块矩阵是等价分块 矩阵;反之不然。这就是说相似关系具有一下性质: 1) 反身性 AA; 2)对称性 若AB,则BA; 3)传递性 。 若则ABBCAC,, 设 ,,11 BXAXBXAX,,,,1122 由定义还可得到相似矩阵的以下运算性质: ,11) BBXAAX，,，();1212 ,12) BBXAAX,();1212 TTT,,113) BYAYYX,,,();其中11 ,14) fBXfAX()(),,11 其中fxPx()为中的任意一个多项式。 ,, 特别有 kk,1BXAXk,()为正整数。 11 定理1 两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同，只是排列顺序不 同。 5 证明:设A，B是两个对角矩阵且A相似于B，则由相似矩阵的性质知，存在可逆矩阵X，使得 ,1， BXAX, 即 ,1 ,,,,,,,,BXX() 于是有 ,1,,,,,,,BXBX ,,,A, 又由A,B为对角矩阵知，上式成立的充要条件是对角线上元素相同，仅仅排列顺序不同。 nn，nn，定义2 设是定义在全体阶分块矩阵聚合F上的函数，若对F中的任意两fn 个相似矩阵A和B，总有，则称为相似不变量。 ffAfB()(), 定理2 矩阵的行列式是相似不变量。 证明:设AB，则存在可逆矩阵X，使得 ,1BXAX,， 于是 ,,11BXAXXAXA,,, 这说明行列式是相似不变量。 3分块矩阵在高等代数中的应用 3.1(分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理 1 设A是数域P上m×n矩阵，B是数域P上 n×s矩阵，于是 AB，，AB秩?min{秩,秩}，即乘积的秩不超过各因子的秩。 证明 : 为了证明此定理，只需证明秩(AB)?秩(A),同时秩(AB)?秩 (B)。现在来分别证明这两个不等式。 ,,,ABCAaaa,C,,,,令=，, ，，，，n，sm，sm，n12n12s 则 6 bb？b，，11121s,,bb？b21222s,,,() ,,,？,aaa,，，12s12n,,？？？？ ,,bb？bn1n2ns，， ,,ba，ba，？，ba1111212n1n ,,ba，ba，？，ba2121222n2n? ？？ ,,ba，ba，？，bas1s12s2nsn ?I可由II线性表示 ,,,？,a,a？a，，，，12s12n ,I?秩II,即秩C秩?秩A ?秩AB，，，，，，，，，， 令 ,n，，，，11,,,,,n22,,,,,,,， C,,,,？？ ,,,,n,mn，，，， 所以 ,aa？an，，，，，，11121n11,,,,,,,aa？an221222n2,,,,,,, ,,,,,,？？？？？？ ,,,,,,aa？an,mm1m2mnn，，，，，， 即 ,,,,,，，，aaa11112121nn ,,,,,，，，aaa21212222nn ,，，，,,,,aaasmmmnn1122 IIIIV ?,,,？,可由,,,？,线性表示 ，，，，12m12n ,,,IIICBIVAB ?秩秩,即秩秩秩 ，，，，，，，，，， ,ABmin{AB}秩，秩 即秩 ，，，，，， ，,ABABn定理 2 设、都是n×n矩阵，证明:若,那么秩秩. AB,0，，，， B证明:对分块如下: BBBB, ，，12n 由于 7 AB,0 即 ABABAB,0，，12n 即 ABin,,01,2,,，，i BB 说明的各列都是的解.从而 AX,0i ,,,基础解系的维数秩A 秩BBBn，，，，12n 即 ，,秩A秩B n，，，， 3.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用 ,1ABAB例 设、都是n阶矩阵,求证:秩ABAB，，秩+秩 ，，，，，， 证明: 因为 (第2行×(-E)+第1行) (第1列×(-B-E)+第2列) AABABAABA，，，AO，，，，，，(1)()(2)，,,，BE ,，，E(2)(1),,,,,,OBOBOB，，，，，， 所以由初等变换知 AAB，A，BE,EEBE,,AO，，，，，，，，= ,,,,,,,,OBOEOBOE，，，，，，，， 因为 E,EEBE,,，，，，，都可逆 ,,,,OEOE，，，， 所以 AAB，A，BAO，，，，秩=秩 ,,,,OBOB，，，， 而 AAB，A，B，，,秩秩,,AB，A，B ,,OB，， 8 AO，，AB秩=秩+秩 ,,OB，， 所以 ，，，，秩?秩+秩 AB，，AB，A，B AA例2 设为矩阵,A是从中取行得到的矩阵,则 smn，s 秩秩AAsm,，,，，，，s AB证明:不妨设A是的前S行,而后行构成的矩阵为,则 ms,s AA0，，，，，，ss A,,，,,,,,,BB0，，，，，， 又显然有 秩秩ABAB，,+秩，，，，，， 于是 A0，，，，s 秩秩AAms,,，,+秩秩，，，，s,,,,0B，，，， TTEAA,例3设A为s ×n矩阵，则有秩()-秩()=n-s EAA,S证明: TEAE0,,EAAA,,,,,SSS因为= ,,,,,,TTAE,AE0E,,,,,, E0,,S又因为可逆 ,,T,AE,, TTEA,,,,EAAA,EAAA,,,SSS所以秩=秩，而秩=秩 ,,,,,,TAE00EE,,,,,, TEAA,s()+n TTEA,,EAAA,,,SSEAA,s所以秩=秩=秩()+n (1) ,,,,TAE0E,,,, E0EAEA,,,,,,SSS又因为= ,,,,,,TTT0,AEAEEAA,,,,,,, EAEA,,,,SST 同理可得 秩=秩=秩() +s (2) ,,,,TTEAA,0AEEAA,,,,, TTEAA, (1)、(2)式相减即得秩()-秩()=n-s EAA,S 9 3.2 利用分块矩阵计算行列式 3.1 引理 设矩阵 AA0,,,,11,,,,AA22,,,, H=或H= ,,,, ,,,,0AASS,,,, ,As是实矩阵，且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As| 其中A1,A2,„ 3.2 利用分块矩阵计算行列式 ADH 设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式= CB 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题1 设A、B分别为m与n阶方阵.证明: AD,1ABCAD,, (1)当A可逆时,有= CB AD,1ADBCB, (2)当B可逆时,有= CB EADAD0,,,,,, 证 (1)根据分块矩阵的乘法,有 ,,,,,,,,,11,,CAECBBCAD0,,,,,, 由引理知,两边取行列式即得(1). ,,11AD,,,,EDBADBC,,0,,(2)根据分块矩阵的乘法,有 ,,,,,,,CB0ECB,,,,,, 两边取行列式即得(2). ,要注意条件:矩阵A或B可逆. 注意:利用命题1解题时 推论1 设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×n矩阵.证明 EDm (1) (3) ,,BCDCB 10 AD (2) |A-DC|. (4) ,CEn 证明: 只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2 C,D分别是n×m和m×n矩阵. EDm证明: (5) ,,,,ECDECDnmCEn 证明:证明 在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5). 例1 计算下面2n阶行列式 ad adH||= (a?0) 2ncb cb abcd,,,,,,,, ,,,,,,,,解 令A=,B=，C=,D= ,,,,,,,,,,,,,,,,cabd,,,,,,,,且都为n阶方阵.由于a?0,故A为可逆方阵. ,1,,bcad, ,,,1bcad,,1,,又易知 BCAD,,,, ,,,1,,bcad,,, 从而由命题1中(1)得 AD,,11nnnH||= ,,,,,,,()()ABCADabcadabcd2nCB 例2 计算行列式 a1110 10a1 ,(ai?0,i=1,2,„,n); 100a2 1an 11 AD解 设Q=，其中A=(), a0CB a,,1T,,B=, C= , 1,1,,1，，,,,,an,, D= 因为ai?0,i=1,2,„,n,所以B是可逆矩阵. 1,1,,1，， n1,1又易知 ADBCa,,,,ia,1ii 从而由命题1中的(2)得 nAD1,1ADBC,B= .= aaaa,,12niCBa,1ii x,10...00 0x,1...00 00x...00 例3:设行列式 , 试展开. PP,.................. 000...x,1 aaa...ax，ann,1n,221P 解:把矩阵进行分块如下: x,10...00，，x,100,,,,01...00x,,,,,000x,,,,00...00xAA，，12,,P=;其中 A,,1,,,,..................AA,,34，，,,0001x,,,,,000...1x,,,0000x,,,,nnn,,aaaaxa...，,,1221，， n,1当,A,x,0,可逆。 x,0时A11 1,I0，，，，,IAA,1nn112,此时选取矩阵: Q,,Q,,12,,,1AA1,0131，，，， A0，，1则有:QPQ ,12,,,10AAAA,4312，， 1,QPQ,AA,AAA上面等式两边取行列式，便有 ; 1214312 12 但是 Q,1,Q,112 n,1,2,3,(,1)，，xxx...x ,,n,1,2,(,2)0xx...x,,,1n,1,(,3),,A, 00x...x1,,...............,,,1,,000...x，， ,1,(n,1),(n,2),1 A,AAA,(x，a)，(ax，ax，...，ax)43121nn,12 n,1,(n,1),(n,2),1这样有 p,x(x，a，ax，ax，...，ax)1nn,12 nn,1n,2 = x，ax，ax，...，ax，a12n,1n nn，1,1 当时，也可以表示为上述形式，所以行列式P,(,1)a(,1),aPx,0nn nn,1n,2的展开式为:. P,x，ax，ax，...，ax，a12n,1n 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或者初等变换的方法来解决，而此类方 法对级数较高的矩阵运算量较大，这时我们可以运用分块矩阵，求出非奇异分块矩阵A的逆，得相应子块的逆，即用相应的分块形式得出分块矩阵的逆。 AB，，rP,B命题1 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方 Ck,,CD，， ,1BP阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 (C,DBA) ,,,,,11111，，,,,()()CDBADBCDBA,1P, ,,,,,,,,,,11111111BBACDBADBBACDBA,,,()()，， ,1，，0C,1ADBP,,,1 特例 当0，0，与C都可逆时，有. ，，,,,1B0，， ,1,1,1，，CDBC,,1,ADBP,,2 当0，0，与C都可逆时，有 ，，,,,1B0，， ,1，，0C,1,ADBP,,3 当0，0，与C都可逆时，有 ，，,,,1,1,1,BBAC，， 13 XY，，,1rPP,YZ证明: 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵. k,,ZW，， XYAB，，，，,1PP,,E则应有 ,,,,CDZW，，，， 即 E0XAYCXBYD，，，，，，k， ,,,,,0EZAWCZBWD，，r，，，， 于是得到下面的等式XA+YC=E(1) XB+YD=0(2) ZA+WC=0(3) ZB+WD=E(4) ,1BB 因为可逆，用右乘(2)式可得 ,1 XYDB,, 代入(1)式得 ,1,1Y, (C,DBA) 则 ,1,1,1XDB,. ,(C,DBA) ,1B 用右乘(4)式可得 ,1,1ZB,, WDB 代入(3)式得 ,1,1,1,BA W(C,DBA) 则可得 ,1,1,1,1,1ZBDB,BA-. (C,DBA) 所以 ,,,,,11111XY，，()()CDBADBCDBA，，,,,,1P,. ,,,,,,,,,,,,11111111ZWBBACDBADBBACDBA()(),,,，，，， AB，，r,ADQ命题2 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵，为k阶方阵，,,CD，， ,1AQ当与()都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵,并且 D,CAB ,1,1,1,1,1,1,1,1,1，，ABAAB(DCAB)CAAB(DCAB)，,,,，，,1,Q= ,,,,,1,1,1,1,1CD(DCAB)CA(DCAB),,,，，，， 14 ,1，，A0,1B,,AD,特例 (1) 当，，与都可逆时，有 Q0C0,,,10D，， ,1,1,1，，AABD,,1,,BAD, (2) 当，，与都可逆时，有Q 0C0,,,10D，， ,1，，A0,1,B,AD, (3) 当，，与都可逆时，有Q. 0C0,,,1,1,1,DCAD，， 例1:设 a100,, ,,000a,1n,, 求。 AA,Aab,,,(0,0),,000b ,,001b,, A解:把分块成 a100,, ,,000a,,A0,,1,,A,, ,,0B,,1,,000b,,,,001b,, 22AAB,因AABab,,,0，所以可逆，且均可逆， 1111 111,,,,,02,,,,ab,10,,,,11aab,,11 ,,,,AB,,,,11,,,,2201111ab,ab,,,,,,,,,0,,,,2abb,,,, 所以 11,,,002,,aa,,1,,0001,,,,,A0a1,1A,, ,,,,11,10B1,,,,000,,b ,,11,,00,2bb,, 15 因为 a001010100,,,,,,,,,,2 AaEUU,，,，,,,01,,,,,,,,,,000000000a,,,,,,,,,, 所以 nnnnnn11222,,AaEUaECaEUCaEUU,，,，，，，()()()()1nn nn,1 ,,anann,1,，,aEnaU,,n0a,,同法算得 n,,b0n B,,,1,1nnnbb,, 所以 nn,1,,ana00 ,,nn,,A0000an1,, A,,,,nn,,0B000b,,1,,nn,1,,00nbb,, 37,410，， ,,,2,590,1,,,1,,,M例2 设M00,100，求. ,,00040,, ,,0000,6，， ,10000，，，，37,410，，，，,,,,ABD,,,,040解 令，，，. C00,,,,,,,,,2,590,1，，，，,,,,0000,6，，，， 则很容易求得 ,100，，57，，,,,1,1AD,,01/40， ,,,,,2,3，，,,00,1/6，，且 ,100，，43,5/4,7/657,410，，，，，，,,,1,1,,,ABD01/40- ,,,,,,,,,2,390,1,191/21/2，，，，，，,,00,1/6，，由命题2可得， 16 5743,5/4,7/6，， ,,,2,3,191/21/2,1,1,1,,，，AABD,,1,,,, M00,100,,,1OD,,，，0001/40,, ,,0000,1/6，， 本小节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵，先将该矩阵分成四小块 ，在根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.ABCD、、、 这里我们重点的区别中那些可逆那些不可逆,再具体运用. ABCD、、、 3.4 分块矩阵在线性方程组方面的应用 axaxaxb，，，,x,,,11112211nn1,,,xaxaxaxb，，，,,221122222nn,,对于线性方程组 记，，Aa,X,，，,ij,,,,,,xaxaxaxb，，，,n,,mmmnnm1112, b,,1aaab,,,,111211nb,,2,,，，A为系数矩阵，为未知向量，为常Xbb,B,,,,,,,aaab,,mmmnm12,,bm,, B数项向量，为增广矩阵，按分块矩阵记法可记为或此方程也BAb,BAb,,，，，， Ab,,,,11,,,,Ab22,,,,可记为，把系数矩阵A按行分成块，则可记做 , XmAXb,AXb,,,,, ,,,,Abmm,,,, A把系数矩阵按列分成块，则与相乘的X对应按行分成块，记作 ,,,,,,nn，，12nx,,1,,x2,, ，即，其都为线性方程组的各种变形形式，在求xxxb,,,，，，,,b1122nn,, ,,xn,, 解过程中变形以更方便快捷 例:利用分块矩阵证明克拉默法则:对于个变量个方程线性方程组 nnaxaxaxb，，，,,11112211nn,axaxaxb，，，,,21122222nn如果他的系数行列式，则它有唯一解，即D,0, , ,axaxaxb，，，,nnnnnn1112, 17 11 xDbAbAbAjn,,，，，,1,2,,，，，，jjjjnnj1122DD 证明:把方程组改写成矩阵方程，这里为阶矩阵，因nAXb,Aa,，，ij，nn ,1,1,1,1，故存在，令，有表明是方程组的AAD,,0XAb,AXAAb,XAb, ,,11,1解向量，由 ，有 ，即，根据逆矩阵的唯一性，知Axb,AAXAb,XAb, 11,,1,1,,1是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式，有即,,,XAb,xAbAbAADA 11即 xbAbAbADjn,，，，,,1,2,,，，，，jjjnnjj1122DD xAAAbbAbAbA，，，,,,,,,,,11121111112211nnn,,,,,,,,xAAAbbAbAbA，，，1121222221122222nnn,,,,,,,, ,,,,,,,,,,DD ,,,,,,,,xAAAbbAbAbA，，，nnnnnnnnnnn121122,,,,,,,, 18 结束语:矩阵得分块不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。本文主要论述了分块矩阵的概念和性质和分块矩阵在中的应用。对于同一个矩阵有着不同的分法，这就要求我们平时要善于观察，争取把矩阵的分块用到恰到好处。在我们利用矩阵的分块来解决问题的时候，我们要注意一些问题，比如我们在做分块矩阵相乘的时候，要注意到前面的矩阵的列的分法必须和后面矩阵行的分法一致，两个分块矩阵相加时，它们所对应的子块行数和列数必须一样。 通过上面介绍的分块矩阵在高等代数中的几个应用，可以看出，利用分块矩阵可以使一些复杂的问题简单化，大大的减少运算量，比如说我们在利用分块矩阵求行列式，如果不利用矩阵的分块将很难解决。 总而言之，矩阵的分块贯穿整个高等代数的内容，在日常生活中，我们要善于发现它们的内在联系。 19