几何概型

11-6几何概型 基 础 巩 固 一、选择题 1．在区间[0,20]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是(  ) A.     B.     C.     D. [答案]　C [解析]　长度型几何概型，概率为 . 2．(文)如图所示，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止时指针落在阴影部分的概率是(  ) A.       B. C.       D. [答案]　C [解析]　阴影部分共有4个扇形，占总扇形的一半，所以转盘停止时，指针落在阴影部分的概率为 . (理)(2012·临川模拟)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为(  ) A.       B. C.       D．无法计算 [答案]　B [解析]　正方形的面积为2×2＝4，则阴影部分的面积为4× ＝ ，故选B. 3．手表实际上是个转盘，一天24小时，分针指哪个数字的概率最大(  ) A．12      B．6 C．1      D．12个数字概率相同 [答案]　D [解析]　分针每天转24圈，指向每个数字的可能性是相同的，故指向12个数字的概率相同． 4．(文)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中 点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(  ) A.       B. C.       D. [答案]　C [解析]　本题主要考查几何概型． 因为E为边CD的中点，则△AEB的面积为矩形面积的一半，故概率为P＝ ＝ ，故选C. (理)有下列四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为(  ) [答案]　A [解析]　A游戏盘的中奖概率为 ，B游戏盘的中奖概率为 ，C游戏盘的中奖概率为 ＝ ，D游戏盘的中奖概率为 ＝ ，所以A游戏盘的中奖概率最大． 5．(文)设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径 倍的概率是(  ) A.   B.   C.   D. [答案]　B [解析]　作等腰直角三角形AOC和AMC，B为圆上任一点，则当点B在 运动时，弦长|AB|> R， ∴P＝ . (理)(2012·宜春模拟)平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(  ) A.   B.   C.   D. [答案]　B [解析]　如右图所示，任取一组平行线进行研究，由于圆心落在平行线间任一点是等可能的且有无数种情况，故本题为几何概型．因为圆的半径为1，所以圆心所在的线段长度仅能为1cm，所以P＝ . 6．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为(  ) A.   B.   C.   D. [答案]　C [解析]　本题考查几何概型． 由于在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，所以x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10，即AC1＝2cm，AC2＝10cm. 因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图 ∴P＝ ＝ . (理)(2012·辽宁理，10)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(  ) A.   B.   C.   D. [答案]　C [解析]　本题考查几何概型问题． 由题意如图 知点C在C1C2线段上时分成两条线段围成的矩形面积大于32cm2, ∴P＝ ＝ . 二、填空题 7．(创新题)设函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为________． [答案]　 [解析]　由f(x0)≤0，得－1≤x0≤2， 则f(x0)≤0的概率为P＝ ＝ . 8．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序数对(x，y)记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)＝________. [答案]　 [解析]　事件“从区间[－1,1]上任取两数，x，y组成有序数对(x，y)”的所有结果都落在－1≤x≤1，且－1≤y≤1为正方形区域中，而事件A的所有结果都落有以(0,0)为圆心的单位圆面上，故μA＝π，μΩ＝2×2＝4， ∴P(A)＝ . 三、解答题 9．(文)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果在该矩形内随机找一点P，求使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率． [解析]　取AD的三等分点E′、F′，取BC的三等分点E、F，连接EE′、FF′，如图所示．因为AD＝3，所以可知BE＝EF＝FC＝AE′＝E′F′＝F′D＝1.又AB＝2，所以当点P落到虚线段EE′上时，△ABP的面积等于1，当点P落在虚线段FF′上时，△CDP的面积等于1，从而可知当点P落在矩形EE′F′F内(包括边界)时△ABP和△CDP的面积均不小于1，故可知所求的概率为P＝ ＝ . (理)(2012年宁波调研)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率． [解析]　弦长不超过1，即|OQ|≥ ，而Q点在直径AB上是随机的，记事件C＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P(C)＝ ＝ . ∴弦长不超过1的概率为1－P(C)＝1－ . 即所求弦长不超过1的概率为1－ . 能 力 提 升 一、选择题 1．(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(  ) A．1－   B. －   C.   D. [答案]　A [解析]　本题考查几何概型的计算方法． 设图中阴影面积为S1，S2，令OA＝R，∴S2－S1＝ －π·( )2＝0，即S2＝S1， 由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC) ＝2[ － ·( )2]＝ ， ∴P＝ ＝ ＝1－ . 2．(文)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为(  ) A.   B.   C.   D. [答案]　D [解析]　区域Ω为△AOB，区域A为△OCD， ∴所求概率P＝ ＝ ＝ . (理) 如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(  ) A.       B. C.       D. [答案]　A [解析]　由题图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝ sinxdx＝－cosx| ＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率是 ＝ ＝ . 二、填空题 3．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． [分析]　本题考查了几何概型的应用，同时也考查了互斥、对立事件． [答案]　 [解析]　∵去看电影的概率P1＝ ＝ ， 去打篮球的概率P2＝ ＝ ， ∴不在家看书的概率为P＝ ＋ ＝ . 4．已知m∈[1,7]则函数f(x)＝ －(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数的概率为______． [答案]　 [解析]　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7， 依题意，知f′(x)在R上恒大于或等于0， 所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0，得2≤m≤4. 又m∈[1,7]，所以所求的概率为 ＝ . 三、解答题 5．在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4cm的正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果将铸件去掉0.5cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合格的概率是多少？ [解析]　记产品合格为事件A，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4cm的正方体．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体表面要大于0.6cm，所以球心必须在正方体内的一个棱长为2.8cm在正方体内部才符合题意，所以构成事件A的区域是棱长为2.8cm的正方体，这样产品合格的概率P(A)＝ ＝0.343. 6．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标． (1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率； (2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率． [解析]　(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个， ∴所求概率为P＝ . (2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π， ∴所求概率为P＝ ＝ . 7．(文)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率． [解析]　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”， 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b. (1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值． 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝ ＝ . (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}， 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 故所求的概率为P(A)＝ ＝ . (理) 已知函数f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)． (1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率； (2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率． [解析]　(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2,3}中任一个元素 ∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值． 即基本事件总数为16. 设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A 当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b>a且a不等于零 当b>a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3) 即A包含的基本事件数为3， ∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝ . (2)由b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域 {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}， 这是一个矩形区域，其面积Sa＝2×3＝6. 设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a>b}． 其面积Sb＝6－ ×2×2＝4， 由几何概型的概率计算公式可得： 方程f(x)＝0没有实根的概率P(B)＝ ＝ ＝ .