定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式

定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 第九章 定积分 ?1 定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 b例1 证明：若，且，则存在，使 ,,,,,,，，f,,a,b,,,,a,b,fxdx,0a ，，,, fx,0,x,,,, 证 采用反证法，倘若在任何上都使，则导致任一积分和,,,,，，,,,,a,bfx,0n ，，f,,x,0，于是当时极限亦为非正，即 T,0,ii,1inb，，，，limf,,x,,fxdx,0， ,iia,0T,1i 这与已知条件相矛盾。 ? 例2 通过对积分和求极限来验证： ,,,aax,,,0,a,1， （1.6） adx,lna 解 首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分存在，然后根据前面问题2的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的 值。 为简单起见，取T为等分分割： ，，，，,,,,,n1,,,,T,,,,，,？,,，,,， ,,nn,, ,,, ,x,T,,i,1,2,？,n;in ，，,,,i并取i,1,2,？,n，，则有 ,,,，in ，，,,,,i,,n,，,,xnn,adx,lima ,,n,,i,1 i,,,n,,,,,,n ,, ,,limaa,,,n,,ni,1,, ,,,,,,n，，,,,,aa1, ,,alim,,,,,nnn,a1 ,,,,,,,,,,nn ，，,a1,alima, ,,,n,,n1,a t,, ，，,a,a,1,limtt,,1,a 1,, ，，,a,alimtt,,,alna ,,,aa , lna 例3 设f，与仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明，,,,,f,,a,bg,,a,bg 且有 bb ，，，，,gxdx,,fxdxaa 证 不失一般性，设g与f只在一点处取值不同，而且为，，，， gb,fb nb记,,,0，因,,，故，，当时，对一切有 ，，f,,a,b，,,0,fxdx,JT,,,,,1ai11 n,，，g,,x,J,； ,ii2,1i 于是又有 nnn ，，，，，，g,,x,J,g,,x,f,,x ,,,iiiiiii,1i,,11i n ，，，f,,x,J ,iii,1 N,，，，，,g,f,T，,, ,ii2,1I由于当1,i,n,1时，，而当时无论,,b或,,b， ，，，，g,,f,,0i,nnnii 都有 ， ，，，，，，，，g,,f,,gb,fbnn 因此只要 ,,,,,,,,， T,min,,,1，，，，2gb,fb,,,,就能保证 n,,，，g,,x,J,，,, ,ii22i,1 ，且 ,,g,,a,b 这即为bb ? ，，，，,gxdx,J,,fxdxaa 本例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性， 也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到 例4 通过化为定积分后求极限： 1n （1.7） ，，，，limnn，1？2n,1,Jn,,n 解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数，，在某一区间上的积,,fxa,b b分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值。 ，，J,,fxdxa 由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为 累加形式，为此记 1n ，，，，J,nn，1？2n,1nn 1n,1,,,,n, ,1,1，？1，,,,,nn,,,, n,1i1,,IlnJln1,,， ,,,nnnn,,i,0不难看出，I，，，，是函数fx,ln1，x在区间[0，1]上对应于n等分分割，并取 n ii,i1，，i,1,2,？,n,,,,， i,,nnn，， 的一个积分和 同于，，，，fx,ln1，x在[0，1]上连续，且存在原函数 ，，，，，，,,Fx,1，xln1，x,1， 故由定理9.1知道，，,,fx,0,1，且有 1 ，，I,limI,,ln1，xdx0nn,, 1 ，，，，,,,1，xln1，x,1,2ln2,1 0 limInn,,于是就可求得 J,limJ,en,,n 4ln4Ie ,,,eee注 上面Ilnx也可看作在[1，2]上的一个积分和，或者是在[2，3]上的一个，，lnx,1n 积分和，……亦即 12 ，，I,,ln1，xdx,,lnxdx,？01例5 试求由曲线以及直线x=2和x轴所围曲边梯形（图9-1）的面积S。 y,x1，x 解 由于 ，，,,x1,x,x,0,1,, x1,x,,，，xx,1,x,(1,2],, 因此依据定积分的几何意义，可求得 12，，，，S,,x1,xdx，,xx,1dx 01 122332,,,,xxxx ,,,, ,,，,,,,,233201,,,, 15 ? ,，,166 例6 设，，fx在[0，1]上可积，且为凸函数，试证： 1,,1，，fxdxf,, （1.8） ,,02,, 证凸函数的特征是：，，,,0,,,1，恒有 ''''''，，，，，，，，，，,fx，1,,fx,f,x，1,,x； 1时，满足 ,,2 '''特别当,,1x，x''',, （1.9） ,,，，，，fxfxf，,,,22,, 要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用 1,,（1.9）把积分和中各项与f相联系，为方便起见，我们将[0，1]等分为2n个小区间，,,2,, 并取为第I个小区间的中点（i=1,2,…,2n）,则有 ,i 2n11，，，，fxdxlimf,,, ,0i,,n2n,i1由于 11i,1,2,？,n,， ，，,，,,i2n,i，122 因此由（1.9）得到 2n ，，，，，，,,,,，，，，f,,f,，f,，？，f,，f, ,，i12nnn1,i1 ，，,,,,，，,,,,12nnn，1 f？f,2，，,,,,,,22,,,,，， 1,,,2nf ,,2,, 于是就证得 2n11,,，，limf,f, ,,,i,,n22n,,,i1 即不等式（1.8）成立。 ? 注 把本例中的区间[0，1]改为一般的[a,b]时，在同样的条件下，类似地可证得 a，b,,b，，，，,fxdx,fb,a ,,a2,, 请读者自行写出推导过程。 ?2可积条件 ，，fx例1 设，，试用两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 证明 ,,,,，，f,,a,bg,,a,bgx,e 证[证法一]因，故，使 ,,f,,a,b，M,01 ，,,； x,a,b，，fx,M1 于是有 M1，,, x,a,b，，gx,e,M 因此由微分值定理推知 '''，，，，gfxfx ,,supe,ei'''xxx,,i ''' ，，，， ,supfx,fx'''xx,,i ''' ，，，， ,Msupfx,fx'''xx,,i f''' （其中，，，，） （2.2） ,M,,在fx与fx之间i 根据可积第二充要条件（必要性），,,,0，某分割T，可使 ， ,f,,,； x,iiM，，T 对于同一分割T，据（2.2）式便有 gf ,,x,M,,x,,iiii，，T , ,M,,,M f，，x再由可积第二充要条件(充分性),证得，，,,gx,e,,a,b ? u[证法二] 利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知，，hu,e为连续函数， ，，u,fx在[a,b]上为可积函数，则 f，，x，，，，，，,,gx,hfx,e,,a,b ? 例2 证明：若,,,,,,,,f,,a,b,,,,a,bf,,,,,，，则 ,,,0，因，故分割T，使 ,,f,,a,b， ,,x,,证 ,ii，，T ''把,,,TT两点加入T而成，则由是T的加密，知道 ,,,,,x,,'',,iiIX，，，，TT '''与此同时，T,,,,,,T在[]上的那部分分点构成对[]的一个分割，并有 ,,x,,,x,,'''''',,iiii，，TT，，这就证得,, ? f,,,,, 例3 设，，，，是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割T，使在Thxhx 所属的每个小区间，，上都是常，，，，的值可以是任意的，它对，，的积分无影响），x,xhxhxi,1ii i,1,2,？,n，证明： （1）若,,0,,，，，，，，，，，，,,f,,,,,，则任给，存在阶梯函数hx,fxhx,fx,x,a,b,12 使得 bb，，，， ,fxdx,,hxdx,,aa1 bb，，，，，， （2.3） ,hxdx,,fxdx,,a2a (2)若对任给的,,0,存在阶梯函数 ，，，，，，，，,,hx,fx,hx,fx,x,a,b, 12使得 bb，，，，,hxdx,,hxdx,,, a2a1则,,f,,a,b 证 (1)由,,f,,a,b,,使得 ，T f，，，，,,x,ST,sT,, ,iiT b由于，，，，，，sT,,fxdx,ST,因此 a bb, (2.4) ，，，，，，，，,fxdx,sT,,ST,,fxdx,,aa 所以只要取阶梯函数和为 hh12 , , ，，，，，，hx,mhx,Mx,x,x1i2ii,1i i,1,2,？,n, 就有 bb, ，，，，，，，，,hxdx,sT,hxdx,ST12aa 把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。 （2）满足题设条件的阶梯函数和存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割和hhT121，使 T2 bb，，，，，，，， ST,sT,,hxdx,,hxdx,,21a2a1 令T=T+T，把T看作既是T的加密，又是T的加密，于是有 1212 f，，，， ,,x,ST,sT,ii，，T ，，，，,ST,sT,,， 21 这就证得,,f,,a,b 说明 由以上（1）的结论，立即得到 bb，，，，,hxdx,,hxdx,2,， 21aa 再与（2）相联系，便有如下命题——,,f,,a,bhh的充要条件是：存在两个阶梯函数和，12满足 ，，，，，，,,hx,fx,hxx,a,b，， 12 bb，，，，,hxdx,,hxdx,, a2a1 由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例4 证明：若,,0,,，，，，,,f,,a,bgx,fxx,a,b，则对任给的，存在一个连续函数，， bb使得 ，，，，,fxdx,,gxdx,,aa 证 根据例3（1），取一阶梯函数h,满足 ， ，，，，,,hx,fx,x,a,b ,bb ，，，，,fxdx,,hxdx,aa2 由f在[a,b]上可积，从而有界，设 ，,, x,a,b，，fx,M 若i,1,2,？,n,，，，，在上为常数，取 hxx,xmi,1ii ,, ,,2nM ,,，，则可构造一个连续函数x，,x,，，，，，，gx（如图9-4所示）：在上gx,hx,m；在i,1ii,,22，，,,，，，，x,,xx,x，，，，，和上，gx满足gx,,M的线性函数，于是有 iiiii,,,,22，，，， ，，，，，，,,gx,hx,fx,x,a,b ,bb； ,，，，，,hxdx,,gxdx,nM,aa2 bbbb，，，，，，，，,fxdx,,gxdx,,fxdx,,hxdxaaaa bb，，，，，,hxdx,,gxdx,, ? aa 请读者自行证明：当,,，，，，f,,a,bgx,fx时，存在连续函数，满足 bb，，，，,gxdx,,fxdx,, aa 例5 本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定存在无限多 ，则在T中存在某个小区间，使在其上有，，，，ST,sT,b,a,i个连续点，而且它们在[a,b]上处处稠密，这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若分割T能使f； ，，,,,1i （2）存在区间，使得 ,,，，I,a,b,a,b111 f，，，，，，,I,supfx,inffx,1； 1x,I1x,I1 （3）存在区间,,，，，使得 I,a,b,a,b22211 1f，，，，，，,I,fx,fx,； supinf2x,I2x,I22 （4）继续以上方法，求出一区间序列,,,,,,，使得 I,a,bnnn ,,，，， a,b,a,bnnn,1n,1 1fsupinf,，，，，，，,,,； Ifxfxnx,Inx,Inn 可证,,是一个区间套，其公共点是f的一个连续点； Ix,I,n,1,2,？n0n （5）按上面方法求得的f的连续点在[a,b]上处处稠密。 *证 （1）倘若在小区间上都有 fi,1,2,？,n,，，, ,,,1i 则将出现矛盾： f，，，，，， ST,sT,,,,x,ii，，T ,,x,b,a,i，，T f（2）由（1），,,,,，，，,,x,x,a,bI，在其上有,,,1，现按如下规定来得到： ii,1i1i 若1,i,n,,,,，，a,b,x,x,a,b，则取； 11i,1i 若i,1,,,,,,，，a,b,a,xaa,a,xa,b,a,b，则取，其中为满足的任意数，则有 111111111 若,,,,ba,b,x,bx,b,b，则取，其中为满足的任意数，同样有i,n11n,111n,11 ,,，，a,b,a,b 11 由此得到的,,I,a,b,,，必定有 111i ff，，，，,I,,,,1 1i 代替（1）中的[a,b]，根据例2，知道，同理可证：上,,,,If,,a,b，a,b11111的分割T使得 （3）用 1； ，，，，，，ST,sT,b,a11112 '且有中的某个小区间，使 T,1i 1'f ，，,,,i2 类似于（2），,,，，，满足 ，I,a,b,a,b22211 1'ff ，，，，,I,,,,2i2 （4）因以上分割可以做得无限细密，故当时，由，可知 Tb,a,TlimT,0nn，1n，1nnn,, ； ，，limb,a,0nnn,, 又因,,，所以为一区间套。 I,IIn，1nn 1根据区间套定理，n,Nn,1,2？，；且对，当时，有，以及 ，x,I,N,N,,0n，n ,,，， a,b,x;,nn0 由n,1,2,？n,1,2,？,,,,，，，，I的构造特征：a,b,a,b，，保证x,a,b，，现取 nnnn,1n,10nn ,,,,minx,a,b,x,0， 0NN0 '''当x，，，，、x,Ux;,,Ux;,时，必有 00 1'''f， ，，，，，，fx,fx,,I,,,NN 所以f在x上连续。 0 （5）,,,,,,,,,,,,,a,b,,,f,,,,,，以代替[a,b]，由于，因此由以上（1）~（4）可证得f在，，,,,内至少有一个连续点，所以f的连续点在[a,b]中处处稠密。 说明 1.本例所证得的命题是十分重要的，它进一步指明了可积与连续之间的内在联 系。 2．如果一个函数f，它在[a,b]上的连续点不是处处稠密的，那么就可断言,,f,,a,b，例如函数 ,12,，xsin,x为0,中有理数,,,,x,,,，，， fx,,2,，,0,x00,,和中无理数,,,,,，, 2，，如图9-5所示，它在0,中的连续点为 ,,,，， 1x,0k,1,2,？，， k, 2，，这些连续点虽有无限多个，但它们并不处处稠密，所以f在0,上是不可积的。 ,,,，， ?3定积分的性质 e例1 试求 I,,lnxdx1e 解 利用积分区间可加性，有 ee I,,,lnxdx，,lnxdx11e 再由,lnxdx,xlnx,x，C，可得 1e，，，，I,x,xlnx，xlnx,x 11e ，，11,, ,,，，，， ,1,1,ln，elne,1,0,1,,,,ee,,，， 22 ? ,1,，1,2,ee 例2 利用积分中值定理证明： ,xe11100,dx, （3.6） ,0x200，100100 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 如果由积分值公式(3.4)来估计定积分的值,只能得出 b，，，，，，mb,a,,fxdx,Mb,a, (3.7) a 其中M与m分别是，，fx在[a,b]上的最大值与最小值，显然这是一个很粗略的估计，如 果改由中值公式（3.5）来估计，设，，,,gx,0x,a,b，,则有 bbb，，，，，，，，m,gxdx,,fxgxdx,M,gxdx （3.8） aaa一般说来,估计式(3.8)比(3.7)较为精细. 证 这里使用估计式(3.8),取 1,x,, ，，gx,e，，fx,x，100 ,xe11100,x100100,x,edx,,dx,,edx 000x，200100100算出 111100x,,100, ，，,edx,,e,10100100100 111100x,,100 , ，，,edx,,e,10200200200由此看到，（3.6）的右部不等式得证；而左部不等式尚差稍许，为此可用以下方法来弥补： ,x,xee11005050,x,dx,dx,,edx ,000x，x，100100150 1131,50， ，，,,e,,,11501504200这就证得（3.6）的左部不等式也成立。 ? 1,x说明 如果改取，，，，是否同样能证得结论成立？ fx,e，，gx,x，100 读者不妨自己去试一试，此外，在上面证明左部不等式时，还用到了定积分性质之4? 和5?，请读者自行指出它们用在何处？ b例3 证明：若,,，，，，则有，，，，在其连续点处恒为零。 f,,a,bfx,0,fxdx,0,fxa 证 ，，,,，，,用反证法，倘若，x,a,b为f的一个连续点，使fx,0，则可证得 00 b，，， ,fxdx,0a b导致与条件，，，，相矛盾（证明见教材第217页中的例2）所以fx在其连续点,fxdx,0a 处的值恒为零。 ，，,根据本章?2中范例5所证得的结论（可积函数存在处处稠密的连续点），而在假 设非负函数f在连续点处的值恒为零，故对[a,b]上的任何分割T，f在T所属的每个小区间上的下确界i,1,2,？,n，，m,0，，这导致sT,0，又因f在[a,b]上可积，所以证得 i bb，，，，，，,fxdx,,fxdx,limsT,0 ? aaT 例4 利用施瓦茨（Schwarz）积分不等式证明： 22gb，，，，，，，，， （3.9） ,fxcoskxdx，,fxsinkxdx,1aa ''b其中f为k,0，，,,a,b上的非负连续函数，且,fxdx,1，实数 a 证 已知施瓦茨积分不等式为 222bbb，，，，，，，，，，，，，，， ,fxgxdx,,fxdx,,gxdxaaa其中f,,g,,a,b、（见教材第237页第6题），由此得到 22bb ，，，，，，，，，，,fxcoskxdx,,fx,fxcoskxdxaa bb2 ，，，，,,fxdx,,fxcoskxdxaa b2, ，，,,fxcoskxdxa 2bb2 ，，，，，，,fxsinkxdx,,fxsinkxdxaa两式相加后立即证得 22bbb ? ，，，，，，，，，，,fxcoskxdx，,fxsinkxdx,,fxdx,1aaa 说明 若把本例中的f改为非负可积函数，则由证明过程看到，只要指出在[a,b]，，fx 上亦为可积函数（为什么？）就仍可利用施瓦茨不等式证明（3.9）式成立。 *例5 设，，在[0，1]上为非负、严格递增的连续函数，且记 fx n ，，，，，，Fx,fx,n,1,2,？n 由积分第一中值定理，,,，使 ，,,0,1n 1n,1,2,？，，，，, F,,,Fxdxnn0n 试证： lim,,1nn,, 证 由条件，对每一n,，，Fx在[0 ，1]上也都是非负、严格递增的连续函数，n 1,,,,,,0,，因为 ,,2,, n,,，，，，1,21,2f,f,,,， 0,,1,lim,0,,n,,，，，，1,1,f,f,,,所以，N,0n,N，当时，有 n，，1,2,,,F，，1,2,fn,, ,,,,,，，，，1,,1,,fF,,n从而又有 1，，，，，，F1,2,,,F1,,,,Fxdx nn1,,n 1，，，，,,Fxdx,F, nnn0 再由n,N，，Fx为严格递增，得知时满足 n 1,2,,,,1 n ， ? lim,,1nn,, 这就证得说明 若把为严格递增改为严格递减，试问是否有（如何证明）？又若，，fxlim,,0nn,,把区间[0，1]改为[a,b]，情形又如何？ ,xn2例6 证明：lim,ecosxdx,0 0,,n ,，，xn分析 设x,0,，，由 ，，fx,ecosx,,2，， 'xn,1 ，，，，fx,ecosxcosx,nsinx,0 ,1解出，，不难知道 ,arctanx,x1n2n n1,,nnarctan,,，，，，， ,,maxfxfxen,,,2，，x0,,，n1,,,,2，， 且 n,,n1,,f，，x,,limlimlim nn,,n,,n,,n,,2n，1,,21,,1，,,2n,, 12n，， ,,1,, ,lim,12n,,n,,1,,,,1，,,2,,n,,，，如图9-6所示，为n,1,3,5,？，，fx相对于的一族图像，如果把积分区间分拆成两部分： ,,,22，，，，，，,fxdx,,fxdx，,fxdx， 00, ,当,,,，，fx足够小时，上式右边第一个积分依赖而为任意小；第二个积分依赖在[，]2 1上的递减性（对充分大的n,使，，，，f,,0n,,），且由而为任意小。 ,arctanx,,nn ,11证 ,,,0，N,0n,N，取，因，故，当时，，,,limarctan,00,arctan,,11n,,n4n 这时，在[0，,]上有 n1,, narctanxnn,,，，fx,ecosx,e,M n,,2n，1,,又因，故，当时，有，于是时，得,,，N,0n,N0,M,2n,maxN,NlimM,122n12nn,, 到 ,,,, ，，,,fxdx,,Mdx,M,,000nn42 ,，，再有，当,时，，，在上递减，因而要使 n,Nfx,1,,2，， ,,,,,n2，，0,fxdxecos,,,,,, ,,,2,, ,,,1n4 ，，,e,,,, ,,cos2442 ,,,,,,24只要,,即可 n,Ne,lnlncos3,,,,,24,, 所以当,,n,N,maxN,N,N时，就有 123 ,,,22，，，，，，0,,fxdx,,fxdx，,fxdx,,， 00, ,xn2即证得成立。 ? lim,ecosxdx,00n,, *例7 设f在[a,b]上连续，且，，fx,0，试证： 1nbn （3.10） ,,，，，，，，lim,fxdx,maxfxan,,x,,,a,b 证 设，，fx,0(若M=0,则,(3.10)式显然成立)。 ，，M,maxfx,0x,,,a,b ，，,,,,,,,0,,M,，,,,,a,b，使得 ，，,,0,M,,,fx,M,x,,,,， 于是有 nnn，，，，，，,,M,,,fx,M,x,,,, 又因，，fx,0，所以 nnnbnb,，，，，，，，，，，Mb,a,,Mdx,,fxdx,,fxdx aa, nn,; ，，，，，，,,M,,dx,M,,,,,,由此得到 111nbnnn，，,,，，，，，，，，Mb,a,,fx,M,,,,, a 11由于nn，，因此 ，，，，，，limMb,a,MlimM,,,,,,M,,n,,n,, 1nbn ,,，，，，M,,,lim,fxdx,Man,,由的任意性，便证得（3.10）式成立. ? , 说明 设,由 ，，m,minfx nnn,,,,,, ，，，，，，x,,,,,a,bm,fx,m，,是否又可类似地推出 1nbn ,,，，，，lim,fxdx,m?an,, 由极限的唯一性，这个结果显然是错误的，请你指出推导过程在何处无法通过。 例8 证明：若,,，则有 f,,a,b b，，,limfxsinpxdx0,,,ap,,, （3.10） ,b，，limfxcospxdx0,,a,p,,, 证 这里只证(3.11)的前一等式，在证明之前，先对此极限式作一几何解释：如图9-7 所示，当振动频率，，无限增大时，y,fxsinxpx的图形位于x轴上方部分的正面积与位于p x轴下方部分的负面积将趋于正、负相抵消而为零。 首先，由f可积，,,,0,,，，Ta,b，使得 n,f,x,, ii,ia2,记T所属小区间i,1,2,？,n,,,,x,x，，，而于 ，，m,inffx0ii,1iix,,i nxb i，，，，,fxsinpxdx,,fxsinpxdx ,ax,1i,1inxi ，，,,,,fx,msinpxdx ,xi,1i,1inxi ，m,sinpxdx， ixi,,1i,1 fi,1,2,？,n,， ，，fx,m,,ii 12xi ，，sincoscos,,,,pxdxpxpxxi,1ii,1pp 因此得到 nn2bf ，， ,fxsinpxdx,,,x，m,,aiiipi,,11i nn4又因为当分割T随mp,P,m而确定后，为一非负常数，故当时， ,,,ii,i,1,1i n,2 m,,ip2i,1 于是便证得当时，有 p,P ,,b， ，，,fxsinpxdx,，,,a22 即（3.11）的第一式成立。 ? 说明 本例结论（3.11）又叫做勒贝格(Lebesgue)引理，在以后证明傅里叶（Fourier）级数收敛定理时，这是一个不可缺少的预备知识。 ?4微积分学基本定理?定积分计算（续） dx2,例1 求 I,,02，sinx ,,，，解 由上面对问题3（2）的提示，设法把积分区间移到上去，为此设,,,,22，， 1,，利用f 周期性质（以2为周期），首先有 ，，fx,2，sinx 2,,，，，，I,,fxdx,,fxdx 0,, 又因经换元可使 t,,,x ,0,2，，，，，，,fxdx,,,ftdt,,fxdx， ,2,20 经换元，可使 t,,,,x 20,,，，，，,fxdx,,fxdx， 2,,,, 所以有 ,20,2,,2,，，，，，，I,,，,，,，,fxdx,2,fxdx ,,20,2,2,,, x，便求得 t,tan2 再令,,1dt，,,dt2211,, I,,,,2,,1122t，t，1,,13t，，,,24,, 1421,, ,t，arctan,,2,,331, ,,41 =,, arctan3，arctan,,33,, ,,,42,, ,，, ? ,,363,,3 x2例2 求 Idx,,0x2,xee， 解 在无法直接求出原函数，也无法直接使用换元积分法与分部积分法的情形下，常采 用分段积分，而后消去难以积出的部分，为此设 xx12 I,,dx，,dx,I，I0112x,2xx,2xe，ee，e由于 22x,22 Idxdx,,，,211x2,xx2,xeeee，， 2t02 dtdx,,，,112,ttx2,xeeee，， 22， Idx,,，,11x2,xee，因此消去I后得到 1 xdxe22I,2,,2,dx 11x,2x2x2e，ee，e 2e22dtte 2arctan,,,e22t，eeee 2,,,e,arctan, ,,e4,,? 例3 证明： nn，1，，a，bb,ab（1）n,N,x,dx,，； an，，22n，1 1n1k， ，，，，,xfxdx,1,xfxdx,0,k,0,1,？n,1,00（2）若f在[0，1]上连续，且满足 则有 n ，，，，maxfx,2n，1x0,,1 证 （1）利用换元积分法，可得 nnnab，a，ba，ba，b,,,,bb2 xdxxdxxdx,,,,,，,,,,,,aaab,222,,,,2 b,a0nn2 ,,,tdt，,tdt b,a02 ，1n,ba，，b,an2 ,2,tdt, 0n，，2n，1? （2）首先，由条件可知 n1,,1，，； ,x,fxdx,1,,02,, 又由积分第一中值定理，,,，,,0,1，使得 nn11,,11，，，， ,,x,fxdx,,x,fxdx1,,0022,, n11 ，，,f,,x,dx； 02 再由上面（1），又得 nf,，，11，，1,f,x,dx,； ,0n，，22n，1这就证得 n ? ，，，，，，maxfx,f,,2n，1x0,,1 ''例4 设f在[a,b]上有连续的二阶导函数，，，，fa,fb,0f，且，证明： 1bb''（1）； ，，，，，，，，fxdxxaxbfxdx,,,,,aa2 13b''（2） ，，，，，，,fxdx,b,a,maxfxaa,x,b12 证 （1）利用分部积分法，可得 bb，，，，，，,fxdx,,fxdx,a aa bb' ，，，，，，，，,x,afx,,fxx,adxaa b' ，，，，，，,0,,fxx,adx,ba b'b''，，，，，，，，，，，，,,x,ax,bfx，,,,fxx,ax,bdx aa b''b' ，，，，，，，，，，,0，,,xa,xbfxdx，,,xbfxdxaa b''b ，，，，，，，，，，,,x,ax,bfxdx，,x,bdfxaa b''b， ，，，，，，，，,,x,ax,bfxdx,,fxdxaa 移项后即得结论成立。 ? （2）一种证法是直接利用（1）的结论： 1bb'' ，，，，，，，，fxdxxaxbfxdx,,,,,aa2 1b'' ， ，，，，，，,,x,ab,xdx,maxfxaa,x,b2 其中的 112bb ，，，，，，，，,,,,,,,xabxdxbxdxaaa24 b1122b ，，，，，，bxxaxadx,,,，,,a44a b1133 ，，，，,,,,xaba1212a ? 例5 利用积分第二中值定理证明： 1x（1）； lim,tsintdt,00x,，,x ,b2（2）,,，,,,1,1，使 ，，,sinxdx,0,a,baa证 （1）由积分第二中值公式（4.5）,,,，,,0,x,使得 x 1xxx,tsintdt,,sintdt 0,xxx 1 ,cos,,cosx xx 2，，,,0x,，, ? x 2t,x，化为适宜用积分第二中值定理的形式： 21sintb2b（2）作变换 I,,xdx,,dtsin2aa2t 22由积分第二中值公式（4.4）,,使有 ,,，,,a,b 11,2 ，，I,,sintdt,cosa,cos,2a2a2a12取，显然，从而证得 ,,1，，,,cosa,cos,2 , ? ,Ia 例6 设f在（A，B）内连续，,,，，，证明 a,b,A,B ，，，，fx，h,fxb，，，， lim,dx,fb,faah,0h x'证 由于f在（A，B）内连续，因此在（A，B）内处处可导，且，，，，，，，，，Fx,,ftdtFx,fxa 据此便有 b，，，，，，， ,fxdx,Fb,Faa b，，，，，， ,fx，hdx,Fb，h,Fa，ha 于是就可证得 ，，，，1fx，h,fxbbb，，，， limlim,,,dx,,fx，hdx,,fxdxaaahh,0,0hh 1 lim，，，，，，，，,,,Fb，h,Fa，h,Fb，Fah,0h ，，，，，，，，，,，,FbhFbFahFa = ,limlimh,0h,0hh '' ，，，，，，，，,Fb,Fa,fb,fa ? '例7 设f在[a,b]上可导，且，，,,fa,0f,,a,b， x'（1）,,，，，，x,a,bfx,,ftdt， a 222bb'（2）,,，，，，，，,, 2,fxdx,,ba,fxdxaa '证 （1）由f可积，据牛顿-莱布尼茨公式便有 x'，，，，，，，，,,fx,fx,fa,,ftdt,x,a,b； a x'x',,x,a,b， ? ，，，，，，fx,,ftdt,,ftdtaa 222x'x' ,,,,，，，，，，，，,,fx,,ftdt,x,a,ftdtaa（2）类似地，再由施瓦茨不等式又得 2b' ， ，，，，,,,x,a,ftdta 22bbb' ，，，，，，,,,,,fxdx,,x,adx,,ftdtaaa 212b' ，，，，,,bafxdx,,,a2 例8 设f是，，上的连续函数，证明：当且仅当积分 ,,,, 2, ，，，，,y,,fx，ydx0 与y无关时，f为周期函数（周期2）。 , 证 首先有 2,2,，y，，，，，，,y,,fx，ydx,,ftdt 0y如果，，与y无关，则必使 ,y '，，，，，，，，， ,y,f,2，y,fy,0,y,,,,，,由此知道y为一以2,为周期的周期函数。 反之，如果f为一周期函数（周期为2），则满足 , ，，，，，，f,2，y,fy,y,,,,，, '由此又可反推知，，，，，说明,y与y无关 ? ,y,0 例9 设f为[0，]上的任一凸函数，证明： ，, 1x ,,，，，，Hxftdt0x 在（0，）上也是一个凸函数。 ，, 证 由凸函数定义，,，，，,x,x,0,，,，,,,0,1，满足 12 ，，，，，，，，，，f,x，1,,x,,fx，1,,fx； 1212且由凸函数性质，f在，，,,0,，,f,,0,x上连续，故，下面借助换元积分法来证明H亦为凸 函数：，，，，,x,x,0,，,,,,0,1，，有 12 1，，,x，1,,x12，，，，，，H,x，1,,x,,ftdt 120，，,1,x，,x12 1 ，，，，，，,,f,x，1,,xxdx 012 1 ，，，，，，,,,,,fxx，1,,fxxdx012 2,1,,xx1 ，，，，ftdtftdt ,,，,00xx12 ? ，，，，，，,,Hx，1,,Hx12 *例10 证明：若在[a,b]上g为连续函数，f为非负、递减（增）的连续可微函数，则存在,,，使得 ,,a,b b, ，，，，，，，，,fxgxdx,fa,gxdxaa bb ，，，，，，，，，，,fxgxdx,fb,gxdxa, 证 这是一个加强条件的积分第二中值定理，可望有一个不难的证明 由条件，设 'x， ，，，，，，,,fx,0Gx,,gtdt,x,a,ba ， ，，，，m,minGxM,maxGxa,x,ba,x,b由于 bb，，，，，，，， ,fxgxdx,,fxdGxaa b' ，，，，，，，，， ,fbGb,,fxGxdxa ，，，，，，，，mfb,fbGb,Mfb， b'，，，，，，，，，，，，,,,,Mfb,fa,,fxGxdx,mfb,fa， a 因此有 b，，，，，，，，，，，，,,,fxgxdx,Mfb,Mfb,fa,Mfa， a b，，，，，，，，，，，，,,,fxgxdx,mfb,mfb,fa,mfa a 若,，，，，，，fa,0,fx,0fa,0则，结论显然成立（可任意选取）；若，则有 1bm,,fxgxdx,M ，，，，a，，fa 借助G的价值性，,,，,,a,b，使 1,b，，，，，，，，G,,,gtdt,,fxgxdx， aa，，fa '的情形，同理可证另一等式成立。 ，，fx,0结论得证 ? 对于 注 教材第230页第15题是强条件的积分第二中值定理的另一类似命题。 x它的证明也要用到 ，，，，Fx,,ftdta