函数的概念
1．回顾初中
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的图象为一条倾斜直线．
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数，它的图象为抛物线．
2．函数的概念
一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f：A→B就称为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
例如：正方形边长为x，与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：y＝x2；该函数的定义域为{x|x＞0}；值域为{y|y＞0}；当边长为4的时候，面积为16；当面积为4的时候，相应的边长为2 ．
3．区间
设a，b∈R，且a
a，x≤a，x
题
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1)怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？
解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值．
2)函数f(x)与f(a)(a是常数)有什么区别与联系？
解析：由f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。
3)如何认识集合{x|a≤x≤b}与区间[a，b]的区别？
解析：区间[a，b]一定是无限集，且隐含a＜b，集合{x|a≤x≤b}中对实数，a，b大小关系无限制条件．
当a＝b时，{x|a≤x≤b}＝{a}是单元素集：当a＞b时，{x|a≤x≤b}＝?，这两种情况均不能用区间[a，b]表示．
例题讲解
题型一 函数概念的理解
例1
下列对应关系是否为A到B的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
解析：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A，B是否是非空集合(数集)，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性．
巩 固
若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是( )
解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
答案：D
题型二 “ f”的含义及函数值的问题
例2
已知f(x)＝x2－6x.
(1)求f(2)，f(a＋1)的值；
(2)若f(x)＝－5，求x的值．
解析：(1)f(2)＝22－6×2＝－8，
f(a＋1)＝(a＋1)2－6(a＋1)＝a2－4a－5.
(2)f(x)＝x2－6x＝－5?x＝1或x＝5.
点评：(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是对应关系f下x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入既可；
(2)求f[f(x)]时，一般应遵循由里到外的原则．
巩 固
已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．求：
(1)f(2)、g(2)的值；
(2)f[g(2)]的值；
(3)f[g(x)]的解析式．
分析：依函数的定义可知，该题是给定自变量和对应关系求函数值，分别将自变量的值代入解析式中的x即可求解．
解析：
题型三 求函数的定义域
例3
求下列函数的定义域：
(1)y＝3－x； (2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝－＋.
解析：(1)函数y＝3－x的定义域为R；
(2)要使函数有意义，需??x≤1且x≠0，
所以函数y＝的定义域为{x|x≤1且x≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；
(3)要使函数有意义，需
??x≤0且x≠－.
故函数y＝的定义域为
＝∪；
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x<2且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为
＝∪(0,2)．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
巩 固
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋＋4；(3)f(x)＝.
解析：(1)由x2－3x＋2≠0，
得：x≠1，x≠2
∴f(x)＝的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)由，得≤x≤.
∴f(x)＝＋＋4的定义域是.
(3)由，得∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
题型四 两函数相同的判定
例4
下列各题中两个函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2； (2)f(t)＝t，g(x)＝；(3)f(x)＝，g(x)＝x＋2.
解析：(1)f(x)的定义域为R，
g(x)的定义域为{x|x≥0}，
两个函数的定义域不同，故不是同一函数．
(2)g(x)＝x，两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
点评：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
巩 固
试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝·与g(x)＝；
浙公网安备 33021202002483