含Wallis公式的双边不等式的一个新证明
含 Wa llis 公式的双边不等式的一个新证明
应玮婷
台州学院 数学与信息工程学院( , 浙江 临海317000)
摘要利用数列的单调收敛性得到一个含 公式的更精细的双边不等式: Wallis . 关键词公式不等式单调数列: Wallis ; ;
中图分类号文献标识码文章编号: O173.1 : A : 1672- 3708( 2008) 03- 0001- 03
引言 1
已知 公式为wallis
2 (2n)!! 2 π= lim (1) $%? "# n?? (2n- 1)!! 2n+1
π2n+12n2n- 10,分别将不等式 为正整数的两边在区间 其中 上进行积分得到对 的sint
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的性质文得到 不等式β, [2]Gurland
2 2 (2n)!! (2n)!! 4n+3 1 ? ?(4) <π< &# (2n-1 )!! (2n-1 )!! ( 1 2n+1)n+ 4
由文可得[4]
2 2 (2n)!! (2n)!! 1 1 ??(5) <π< &#&# (2n-1 )!! (2n-1 )!! 1 1 1+ n + n ’ ( 4n- 4 4 由文中的结果可得到对 的更精细的估计[3]π
2 2 (2n)!! (2n)!! 8n- 1 12n- 1 (6) ?<π< ?&#& # 22 (2n- 1)!! (2n-1 )!! 8n+n 12n+2n 本文采用数列的单调收敛性得到如下的定理 :
收稿日期: 2007- 07- 01
作者简介应玮婷女硕士讲师研究方向计算数学: ( ) , , , , : 1976- .
台 州 学 院学报第 卷2 30
成立n?N,
2 2 (2n)!! (2n)!! 1 1 (7) ?<π< ?"#& # (2n- 1)!! (2n- 1)!! 1 1 + ( 1+ 1+ 1 n n $% 153 ),’4n- 4n- 13-$ % 2 *2 -
主要结果证明2
2 (2n)!! 1 证明设 则 : S(b)= ? , ".n (2n- 1)!! 1 1+n $ % 4n+b
2 S(b) ( 2n+1)(4n+b)(n+1)(4n+4+b+1)n (8) = 2S(b) (2n+2)n(4n+b+1)(4n+4+b) n+1
将中的分母减去分子得( 8) , 222f(n, b)=(- 4- 8b)n- (b+13b+4)n- (b+5b) 222=(- n- 1)b+(- 8n- 13n- 5)b- 4n- 4n (9)
1 1 2 要使得对充分大的 成立则 的系数必须要大于 而当 时即则 n, f(n, b) >0 , n0, - 4- 8b>0, b<- .b=-, f 2 2
1 (n, b)=2 (n+1)>0,n?N. 4
1 故当 时对充分大的 成立b<- , n, f(n, b)>0 .(10) 2
1 同理可得当 时对充分大的 成立b>- , n, f(n, b)<0 . (11) 2
现在把的二次函数式看成是关于 的判别式为( 9) b .( 9)
222?=(- 8n- 13n- 5)- 4(- n- 1) ( 4n- 4n)
332=64n+192n+217n+114n+25>0, (12) n?N
故函数有两个根(9) :
2 2 2 2 (8n +13n+5)+ (- 8n - 13n- 5) - 4(- n- 1)(- 4n - 4n) ’(13) b= 12(- n- 1) 2 2 2 2 (8n +13n+5)- (- 8n - 13n- 5) - 4(- n- 1)(- 4n - 4n) ’(14) b= 22(- n- 1)
有由几何画板画图可知都是单调递减数列且成立, b, b, 12
2 2 2 2 (8n +13n+5)+ (- 8n - 13n- 5) - 4(- n- 1)(- 4n - 4n) ’ ?- ?, ( n?+?) . b= 12(- n- 1) 2 2 2 2 (8n +13n+5)- (- 8n - 13n- 5) - 4(- n- 1)(- 4n - 4n) ’b= 22(- n- 1) 2 - (8n+8n) 1 = ?- , ( n?+?) .22222 (8n+13n+5)- (- 8n- 13n- 5)- 4(- n- 1)(- 4n- 4n) ’
1 所以n?N (15) , b<- 0.
第 期应玮婷含 公式的双边不等式的一个新证明3 3 : Wallis
1 1 1 1 显然满足条件为现取 的最大 则 是一个单( 16) b lim b(n)=- .b=-, f(n, - )>0,此时 ) ( n?N.S- 2nn?? 2 2 2 2
1 成立n?N 调递增数列且由 公式可知故 , wallis , lim S( - ) =π, nn?? 2
2 (2n)!! 1 ? <π (17) #$ (2n- 1)!! 1 1+ n 1 % & 4n- 2
1 或 但由和可知不满足条件而当 时 故() , , , , b n?Nf(nb) <0.(10) (16) bb 2
由于 都是单调递减数列故满足条件的最小值为 时 的值即的 , ( ) , b18b n=1 b 2 2
13- 153 ’( ) (19) b1= ?- 0.31534 2- 2
故成立n?N,
2 (2n)!! 1 π< ?(20) #) (2n- 1)!! 1 -* 1+n 153 .+’4n- 13-% & 2 / ,
所以 成立n?N,
2 2 (2n)!! (2n)!! 1 1 ?(21) <π< ? #)# ) (2n- 1)!! (2n- 1)!! 1 1 - *1+ 1+ 1 n n %& 153 .+’4n- 4n- 13-% & 2 , 2 /
证毕.
2 (2n)!! 1 的最佳形式注由证明过程可知式中的第一个不等式是形如 ?<π, : ?( 21) ) # (2n- 1)!! 1 1+ n % & 4n+b 比文有所改进与文一致但方法与文不一样[1]、[2]、[4], [3], [3].
当 时时是单调递减数列且趋向于 当 则 ?n=2 , b?- 0.3881, n>2 , S(- 0.3881) , π, ππb> - 4.πS(- 11004/π- 1 2
1 时现取 经验证而又因为当 得- 4?- 0.3402, b=- 0.34, , n>2 , ,S(- 0.34) >S(- 0.3) >π 11004/S(- 1/2)- 1 100
是单调递减数列且趋向于 即所以 , , ,n?N S(- 0.34) ππ
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