旋转体的体积计算方法

旋转体的体积计算方法 旋转体的体积计算方法 第5卷第9期 2006年9月 南阳师范学院 JournalofNanyangNormalUniversity VO1.5No.9 Sep.2006 旋转体的体积计算方法 王晓凤 (平顶山工学院,河南平顶山467001) 摘要:用古尔丁定理解决任意旋转体的体积计算问题,给出任意旋转体的体积计算公式,推广了已有的计算公式,简 化了已有的计算方法, 关键词:旋转体;体积;计算方法 中图分类号:ol86文献标识码:A文章编号:167l一6l32(2006)09—0021—03 旋转体的体积计算在现行教材中仅给出了条件要求较强的几个比较特殊的计算公式.参考文献[1]给 出了弓形区域绕直线Y:kx旋转所生成的旋转体的体积计算公式,参考文献[2]用微元法解决了平面曲 线围成的区域绕一条直线旋转所生成的旋转体的体积问题.参考文献[1—2]所要求条件虽然比现行教材 有所放松,但是,所要求的边界曲线是可导的显函数.若被旋转的区域是一般的闭区域,其边界曲线为隐函 数,参数方程或极坐标方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示时,其旋转体的体积应如何计算? 本文根据古尔丁定理,导出有界平面上闭区域绕其同平面内直线旋转时所生成的一般旋转体的体积 计算公式,进一步给出边界曲线为连续曲线的曲边梯形绕其同平面内直线旋转时 所生成的旋转体的体积 公式. 引理(占尔丁定理)平面闭区域D绕其同平面与它不相交的直线Z旋转所生成的旋转体的体积等于 平面区域D的面积与其重心所历圆周长之积,即 V=S?27cr. 式中:s表示平面区域D的面积,r表示平面区域D的重心到直线Z的距离. 定理若平面有界闭区域D在同平面内的一条直线z:++C=0的一侧,则D绕z旋转一周所 生成的旋转体的体积为 ,'一lrrl V:—=竺lII(,4+',+c)ddY1.(1),/ ,4+BI0 rrrr 证明设平面闭区域D的重心为G(,),则,=(IIdxdy)/S,:(ffydxdy)/S,其中S:JJ rr IIdxdY.设重心G(,叩)到直线z:Ax+By+C=0的距离为r,则J 0 J. ,:羔兰墼: ~/A+B ++c)d S~/,4+B 由引理得,平面区域D绕直线l:Ax+By+C=0旋转而生成的旋转体的体积 …S2…S2: V 『AxBy…CddYSBAB=.7cr=.27c————————二二二二==—————一=——二lII(++)~/,4+~/+IJ 推论1设曲线C:Y=/()在[o,b]上,在连续曲线弧及直线l: y:m+的一侧,曲边梯形ABB,,4,绕直线l旋转所生成的旋转体的体积. = j(,n+n—f(x))d+[(,n.+n一厂(.))一 (mb+n一厂(6))]【.(2) 证明设A,B分别为A,B在直线l:J=mx+n的投影(图1).显然 收稿日期:2006—04—20 作者简介:E晓风(1966一),河南南阳人,讲师,从事高等数学教学与研究 图l ?22?南阳师范学院第5卷 AA,BB方程分别为 ),=)一,),:厂(6)一,则A,B的横坐标分别为XA m :,: 1+m' ?!2二 1+m' 过A,B分别作与轴平行的直线,交直线f于E,F,由定理知,曲边梯形ABBA绕直线 7:.v=mx+n旋转而牛成的旋转体的体积. = l, c… lc…y)dxdy+盟c…一c眦…1. ~ff,mx十n—=一(+n一:(mn+n—f(ay)ddyy)dy.十一=j,叫一一,一(m一一"'AF,AAnl 小……(……—(mx…f(x 志b(m,x—f(x 推论3以曲线Y=_厂(),直线:n,=b及轴所围成曲边梯 轴或Y轴旋转所生成的旋转体的体积 :不I[()]dx,J8 rb = 27clIf()Idx(?>0)J8 证明1)当绕轴旋转时(见图3),轴方程为Y=0,由定理得 = rb 不I尸()d.n ljj(0+0一),)dd),lI0:27clj.dj.:''),d),l: 图3 (4) (5) 2)当绕),轴旋转时,轴方程:0,由定理得.图 4 = 志d枷l:2…一? 推论4以曲线r:r()和射线:a,=为边界的曲边扇形绕极轴旋转所生成旋转体的体积 第9期王晓风:旋转体的体积计算方法?23? 事实上,由古尔丁定理 V:2丁crS=2丁c 嘶 肛dy?j'j'ddy= =不 lj(r())sind(6) 2不 Ij'ddyI:2不1dj''rsin?rdrl=不lrcsin0d01. 例1由tttt~:..,,Y:.sin2t(0?,?不/2)和轴围成的平面图形绕Y轴旋转,求所得旋 转 体的体积. 解:由图5显然,0??0,0?Y?0,且当t= 即所给的图形是曲边梯形.由式(5)可得= 2丁c j':/.c.sc..sin2cc一.sincdc=丁c.j'sin2cdc= 0和t=不/2时,Y=0, 2不(f)c)dc= .c— l sin4t]:. 例2心脏线r:o(1+cos0)绕极轴旋转,求所生成旋转体的体积. 解:由式(6)得 体积 不l =.(1+…0)3sin=一扣 例3求图域D:+Y?1绕直线l:Y 4-cos) 4 83 了舢' :+2旋转所生成的旋转体的 一 2)dxdyl= :砌一础= 扣…?dI=2. (/I\2a D(7\/ 图5 1 , , 2' 图6 例4求由+:1围成的区域.绕直线f:+y=2.旋转所生成旋转体的体积. 解:由图6,显然D是在直线l一侧的有界闭域. 由式(2)得 = II=不一2嘶1. 设+y:.,一y:6或:1(.u+6),y: 1(.u一 6),则 一.b/2.因此,oy平面图形变换为Ho平面上的图形,其中D变换为D,U2+7)2? :不 l『『(…2.(一l= 乎丁c.Ij'dj'crc.s一2rdrI:?不2.. 参考文献 [1]曾庆黎.弓形区域绕直线Y=kx旋转所生成的立体的体积[J].数学通 报,1994(9):39—42 [21程曹宗.旋转体的体积计算的一般公式[J].数学通报,1994(1O):40—41. [3]格.马.菲赫金哥尔茨.数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 原理[MI.吴亲仁,等译.北京:人民教育出版 社,1959. (下转第70页) y d d , 2 一 一 y , 《 川? 2 不 Il 2 2 2/= /6 6 一 f为 00变 f =; = d d , 2 一 , ? 南阳师范学院第5卷 给,但有的主板USB接口的供电达不到这一数值, 从而导致移动硬盘无法被系统识别.解决方法是: 关机后将移动硬盘的供电和信号线的PS/2端子插 到主板上接鼠标的PS/2接口上,再开机进入系统 即可. 2.3并行口的速度问题导致无法安装 如果USB设备在其他电脑上都能安装,但在 某台电脑上就不能安装,而"设备管理器"中并没有 任何冲突,可以尝试降低并行口的速度. 通常,USB设备的驱动程序提供下面降速开关 参数:(1)降低EPP接口速度.(2)通过Turnoff BurstMode开关降低Uni.directional和Bi—directional 并行接口模式的速度.(3)强制使用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 接口 StandardParallel速度.驱动程序强制并行口使用 最低unidirectional接口速度.(4)通过几十个梯度 来逐级减少端口速度_4J. 2.4操作不当导致USB接口不能被使用 有相当数量的USB故障是由于操作不当引起 的,在操作中应注意如下问题:(1)在插接USB设 备之前最好关闭正在运行的各种应用程序,也不要 在系统启动过程中插接.(2)USB设备刚接上时会 有一个系统认设备,读设备的过程,在这个过程结 束之前最好不要进行任何操作,一般要等到设备的 [作指示灯稳定下来才开始操作.(3)使用USB 设备时也会出现以前能用,偶尔一次又不能用的情 况,这时可以先将"系统设备"中的"未知的USB设 备"删除,再拔下设备,然后重启系统,再将USB设 备接上,故障一般就能解决. 参考文献 [1]张念淮,江浩.USB总线接13开发指南[M].北京:国 防工业出版社,2004. [2]洪志全,等.现代计算机接13技术[M].北京:电子工 业出版社,2002. [3]郑桂芬.基于USB的可移动闪盘技术探讨[J].计算 机工程.2003(5):195—197. [4]戴向华.USB原理及其在数据采集系统中的应用[J]. 计算机工程与 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 .20O4(5):40—43. MalfunctionofUniversalSerialBusanditssolution ZHAOYan—li,PANQun—na (DepartmentofComputer,NanyangNormalUniversity,Nanyang473061,China) Abstract:Inthisarticle,onthebasisofdiscussingtheprinciplesofUniversalSerialBus,theaut horanalyzesitsusual malfunctionandputsforwardthecountermeasures. Keywords:UniversalSerialBus;principle;malfunction;solution (上接第23页) Calculatingmethodfortherotatingobjectvolume WANGXiao—feng (PingdingshanInstituteofTechnology,Pingdingshan467001,China) Abstract:Inthisessay,weuseGuerdontheoremtosolvetheproblemofrandomrotatingobjectvolume,andthenwe givesoutthecalculatingformulafortherandomrotatingobjectvolume,thisnotonlypopulari zestheexistedcalculating formula,butalsosimplifiesexistedcalculatingmethods. Keywords:rotatingobject;volume;calculatingmethod