第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 教学重点: 解析函数的洛朗展式与孤立点 教学难点: 解析函数的洛朗展式与孤立奇点的分类 教学基本要求:掌握洛朗定理、解析函数孤立奇点的三种类型和整函数与亚纯函数的概念;能熟练求一个解析函数在其孤立奇点的洛朗展式;能熟练判断各种奇点的类型( ?1解析函数的罗朗展式 1 双边幂级数 形如 ,n2czacczacza,,，,，,，，，，，，，,n012n,,, cc,,12，，，2za,za,，，• 的级数称为双边幂级数 • 正则部分是幂级数，故收敛圆 zaRR,,,,，,　　0，， ,1,n,,cza,，，,2,nza,CC,,，，，，,,12n,1对于主要部分 ， 可作代换成为一幂级数它 1,,zar,,r的收敛区域为 ， rzaR,,,　rR,因此当时，两者有公共的收敛区域即圆环: .在此圆环内有 ,nfzfzcza，,,，，，，，，,12nn,,,. ,ncza,，，,nn,,,定理5.1 设双边幂级数的收敛圆环为 HrzaRrR:0,,,,,,，,　　　　　，， fzfzfz,，，，，，，，12H则(1)(5.1)在内绝对收敛且内闭一致收敛于 fz，，H(2)在内解析 H(3) 级数在内可逐项求导任意次. 2、解析函数的罗朗展式 定理5.2(罗朗定理)在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中 f,，，1,　　　cd,nn，1,,2i,,a，，, 　，，，,,,n012，， 且展式唯一. 定义5.1 (5.2)称为在点的罗朗展式，(5.3)称为其罗朗系数，而(5.2)右边的级数则称为罗朗级数. 注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形. 1fz,，，zz,,12，，，，例5.1 将函数在下列三个区域内 z,1(1)圆 12,,z(2)圆环 2,,，,z (3)圆环 fz，，内求的罗朗展式. 11fz,,，，zz,,21，，，，解:首先 z,1z,12(,) 在圆内 11fz,,，，z,z1,,,21,,2,, ,1,,n 1,,z,,,n，12,,n,0 1z,1,112,,zz2(,)在圆环内有，故 1111fz,,,,,，，z12z11,,z2 n,,z111　　,,,,,nn,1zz22nn,,01 n,,z1　　,,,,,nn，12znn,,01 12,1,12,,，,zzz(3)在圆环上，故 1111fz,,,,，，21zz,,11zz n,,1211　　,,,,nnzzzz00nn,, n,1,21,　,,nzn,2 3、孤立奇点邻域内的罗朗展式 fzfz，，，，aa定义5.2 若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为 的一个孤立奇点.若 fzKazaR,,,,:0，，,,aaR为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心邻域 fz，，内可展成罗朗级数. 1fz,，，zz,,12，，，，例5.2 求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式 011,,,zz,1z,2z,1解:有两个奇点和.在的(最大)去心邻域内 ,11,，fz，，zz,,12 11,,　　，,,,11zz,，， ,1n,,,,1z　　，，,,1z,n0 021,,,zz,2在的(最大)去心邻域内 11fz,,，，,zz,,，22，， ,1nn　　,,,,z12，，，，,z,20n, ?2解析函数的孤立奇点 1孤立奇点的三种类型 fz，，a定义5.3 设是的孤立奇点， fz，，a(1) 若主要部分为0，则称是的可去奇点. fz，，a(2)若主要部分为有限多项，则称是的极点，此时主要部分的系数必满足 c,0c,0,，mp，，mam,m，此时称为极点的级，亦称为 级极点. fz，，a若主要部分有无限多项，则称是的本性奇点. 2、可去奇点的判断 fz，，a定理5.3 设为的孤立奇点，则下述等价: a(1)在的主要部分为0; limfzb,,,　　　，，，，za,(2) fz，，a(,)在点的某去心邻域内有界. ,证: (1)(2)由(1)有 2fzcczacza,，,，,，　　，，，，，，012 　0,,,zaR，， limfzc,,,　　　，，，，0za,因此 ,(2)(3)即例1.27 f,，，1,cd,,n,，n1,,2i,,a,,,:,,a，，,,,(3)(1)考虑主要部分的系数其中， 可任意小，故 f,，，1,cd,,n,，n1,,2,,a, 1Mn　　　,,,,2M,,,,，n12,, cn,,,012,　　　，，，,n 4极点 fz，，a定理5.4 若以点为孤立奇点，则下述等价 cc,m,1，，,　　　0c,mm,za,za，，am(1)是级极点，即主要部分为 ,z，，,　　fz，，m,zafz,z,a,0，，，，，，，，a(,)在点的去心邻域内有且解析且 1gz,，，fz，，am(,) 以为级零点. limfz,,，，fz，，aza,定理5.5 的孤立奇点为极点的充分必要条件是 5、本性奇点 ,b　　有限数，，,limfz,，，,za,fz,，，,a,定理5.6 的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是 fz，，za,a定理5.7 若为之一本性奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则 1 fz，，za,亦必为的本性奇点. 11,zzeez,0z,0如:为的本性奇点，亦为的本性奇点. 6、毕卡定理 fz，，za,,A定理5.8 若为的本性奇点，则对任意数(可以是)，都有一个收敛的点 limfzA,，，n{}zn,,n列使 fz，，za,A,,定理5.9(毕卡大定理) 若为的本性奇点，则对每一个，除掉可能一个 zfzA,AA,,,，，nna0值外，必有趋于的无限点列 使 ?3解析函数在无穷原点的性质 fzNrz,,,,，,:，，,,,定义5.4 设函数在无穷远点(去心)邻域内解析，则称 fz，，为的一个孤立奇点. ,,111,,,,ffz，，，，，，,,,,,,K0:0,,,,,z,,r作变换，于是函数在去心邻域内解 ,,，，,,0,析.即是的一孤立奇点，依此可规定的类型. ,,，，,,0mz,,定义5.5 若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我们相应地称 fz，，m为的可去奇点、级极点或本性奇点. z,,z,,类似于有限孤立奇点的分类，可以对的主要部分的项数对进行分类.主要部分 ,nbz,n,n1为 例5.6 求出 tan1z,，，1secz,1z,1,(1)，(,)的奇点(包括)，并确定其类别. tan1sin1zz,,，，，，,zzz,,,11cos1，，，，z,1解:(1)所以为可去奇点. 1,,zkk,,，，,,,1012，，，，k,,z2,,kz,,z,,为一级极点为非孤立奇点(因是 的聚点) 1111sec,,,1,,，kz,1,,cosz,12,,z,,z,1z,1(2)令，得该函数的所有奇点为，， 1zk,，,,，，，101k1,,,k，,,zz2,,kkz,1，是一级极点是非孤立奇点，因是的聚点.至z,,于应是可去奇点. fz0,,,zaR，，aa例5.7 若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点 fz，，a的零点，试证必为的本性奇点. fa,0zaR,,，，za,证: 是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令则在内解 fz，，a析且由假设有以为聚点的一列零点.由零点的孤立性，必恒为0， 这与题设矛盾. fz0,,,za,，，za,,,M0,,0其次也不能是的极点，否则有，使当 fzM,，，fz，，za,时，这亦与题设矛盾.故只能是 的本性奇点.