探析高考数列新定义题.doc

探析 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数列新定义题.doc 探析高考数列新定义题 摘 要:近年来新定义题在高考中频频出现，但是这些题目一出现，有些学生摸不着头脑，无从下手，原因之一是难以将它迁移到数列知识点。文章从一些新定义的数列高考题出发，比较归纳，举一反三，得出解决数列这种题型策略。 关键词:数列;新定义;解决策略 中图分类号:G622 文献标识码:B 文章编号:1002-7661(2015)23-227-03 一、数列在高考数学中的地位 观察近10年全国各地的高考 数学试题 八年级上册数学北师大八年级数学期末考试题必修一高中数学函数北京市东城区是哪个区高等学校统一招生考试 ，越来越多将“新”溶于命题之中，比如数列。数列是每年高考中考查的重点内容，就广东高考试卷来说，2012，2013年关于数列的内容均占了19分，约占总分的13%。数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程、组合数学的基础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系。因此是高考数学中必考查的内容之一，题型也不再只是单一的考查基本知识，而是转化为与实际生活模型、新定义、高等数学等相交汇的题型。 通过定义一个新概念来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推数列的知识上来，从而解决问题。 1 二、学生的困惑 从表面上看，题目比较生疏，复习时没见过，考试没做过，考生的思维障碍往往在于阅读能力的欠缺，以及转译成数学语言的过程中发生差错。但只要考生基础知识扎实，注重数学思辨，“生题”可以转化“熟题”，“无从下手”可以变为“游刃有余”，让“难题不怪、新题不难”，解决的途径本质上主要是要求考生不仅能理解概念、定义，掌握定理、公式，更重要的是能够应用所学的知识和方法解决数学新定义的题型。 三、各省市高考中的新定义题 近10年各省市的 高考试题 物质结构高考试题汇编电化学高考试题三校生高考试题高考试题免费下载网高等数学成人高考试题 中，一些新颖构思的新定义题数列经常出现，如“等和数列(2004北京卷)、”绝对差数列“(2006北京卷)、“等比方数列”(2007湖北卷)、“对称数列”(2007上海卷)、“*数列”(2010湖南卷)、“ 数列”(2011北京卷)、“保等比数列函数”(2012湖北卷)、“面积数列”(2013新课标全国卷)。 【例1】(2004北京，理14)定义“等和数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___________，这个数列的前 项和 的计算公式为________________. 举一反三:定义“等积数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个不为0的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。 已知数列 是等积数列，且 ，公积为6，那么 的值为______________， 2 这个数列的前 项和 的计算公式为________________。 点评:新定义型试题主要目的是考查学生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学问题能力，解决这道题，关键是理解新概念“等和”、“等积”，掌握其本质――和、积为同一个常数。虽然简单，考查的是学生继续学习新知识的能力，也是培养创新意识的一种方式。 【例2】(2006北京，理20)在数列 中，若 是正整数，且 ， 则称 为“绝对差数列”。 (?)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前五项); (?)若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ， ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值; (?)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。 点评:这类问题要求考生在最快的速度使用有效的方法收集处理信息，读懂并理解新定义的数列名称，如本题的“绝对值数列”，除数列外，交汇了极限的知识，然后综合、灵活地应用所学的数学知识，利用获取的有用信息进行独立的思考、探索，并据此提出解决问题的思路，创造性地解决问题。其中涉及到简单的极限问题知识点有:摆动数列没有极限，常值数列的极限是这个常值;(?)用反证法证明“绝对值数列有零项”。 【例3】(2007湖北，理6)若数列 满足 ( 为正常数， )，则称 为“等方比数列”. 甲:数列 是等方比数列; 乙:数列 是等比数列，则( )。 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 3 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 回归课本:苏教版和人教A版等比数列课后练习:已知 是各项均为正数的等比数列， 是等比数列吗,为什么,例6的必要性与课本的习题在解题方法是完全一样的，充分性不成立:如1，-1，1，1是等方比数列但不是等比数列。 【例4】(2007上海，理20)若有穷数列 ( 是正整数)，满足 即 ( 是正整数，且 )，就称该数列为“对称数列”。 (1)已知数列 是项数为7的对称数列，且 成等差数列， ，试写出 的每一项。 2)已知 是项数为 的对称数列，且 构成首项为50，公差为 的等 ( 差数列，数列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取到最大值,最大值为多少, (3)对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的对称数列，使得 成为数列中的连续项;当 时，试求其中一个数列的前2008项和 。 点评:本题是由两个等差数列或两个等比数列按照对称的方式“拼接”而成，形式新颖。它以联合体为依托，考查等差、等比数列的定义、性质，对新定义的理解与掌握是解决一切问题的基础，理解新定义的内涵与外延，什么是对称数列，对称数列具有什么特点。 【例5】(2010湖南，理15)若数列 满足:对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数 列 .例如，若数列 是 ，则数列 是 .已知对任意的 ， ，则 ， . 4 点评:与一般试题相比较，这道题给定一个新信息，*数列，要求考生通过认真阅读理解、观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决问题。由于本题是一道客观题，所以采用了归纳猜想的解题策略。这类题型估计会是今后高考命题的热点。考查等差数列和等比数列的综合和数列的性质和应用，关键是对题意的理解，在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算。 【例6】(2011北京，理20)若数列 满足 ，数列 为 数列，记 = 。 (?)写出一个满足 ，且 的 数列 ; (?)若 ， ，证明: 数列 是递增数列的充要条件是 ; (?)对任意给定的整数 ，是否存在首项为0的 数列 ，使得 ,如果存在，写出一个满足条件的 数列 ;如果不存在，说明理由。 点评:本题考查数列的综合应用，考查学生探究问题能力、抽象概括能力以及推理论证能力，尤其是(?)。解题过程中用到了累加法和拼凑法。命题者是将定义型的数列与整数性质的知识交汇，这类试题较常见于竞赛数学试题中，难度很大，学生需要适当掌握一些整数性质方能成功解答。 【例7】(2012湖北，理7)定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”。现有定义在 上的如下函数: ? ;? ;? ;? 。 则其中是“保等比数列函数”的 的序号为( )。 A。?? B。?? C。?? D。?? 5 点评:这道题的“保等比数列”有高等数学的影子――保号性、保不等式性的性质类似，在高中来说虽然是新的说法，但事实上这类题目很常见，说法也是异曲同工。换一种说法就是: 是等比数列，问 是否是等比数列, 回归课本:设 是等比数列，有下列四个命题: 是等比数列; 是等比数列; 是等比数列; 是等比数列;? 是等比数列。 其中正确命题的个数是( ) 点评:定义几何数列及其单调性问题判断问题，其中结合海伦公式求三角形面积，作为全国卷选择题的压轴，难度很大。新定义数列的递推关系较为复杂，面积数列的表达方式也是一个难点，这些问题均是考生思维延时的障碍知识点，综合利用各个条件进行严密的逻辑推理方可解决此类问题。 回归课本:“等比数列的通项公式”后练习6:一边长为1的等边三角形，连接各边中点，如此继续下去，证明依次得到的三角形面积为等比数列。同样也是面积数列，很可能是题目的原型。 四、总结和启示 作为高考数学的必考内容――数列，不仅经常被命制为高考的压轴题，试题的内容更是不断地推陈出新。根据近10年来各省市的高考数学试题可以发现，新颖的数列题型既有中低难度的题目，又有中高难度的题目，而且多数年份属于中高难度。近十年来，北京高考数学文理科试卷几乎年年将新定义数列题型作为压轴题。如例2，例6等等皆是如此。这类试题形式新颖、可变性高，我想这也是命题者命制此类题的原因， 6 这种题型给高考数列复习带来一些新启示，题目有针对性的设计，考查了学生的创新意识，加工提取信息及知识的迁移能力，分析问题的逻辑性，表达的条理性，可以说真正做到了以能力立意，以知识为载体。但是也对学生的能力，教师的教学提出了更高的要求，如果在平时的教学中不注重能力的培养，只一味的搞题海战术是不可能把这种题做好的。立意或背景新颖的题目加大了一些对数学能力的考查，如同“水来土掩”一样，探析如何解决便是首要的任务。 五、解决策略 掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特征，向已掌握的数列知识转化，培养学生的应用意识。解题的关键是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的关系的意义。考查考生对信息的接受理解和及时运用的能力。理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行解决，比如例1-例8均是对新知识、新概念的阅读、理解、接受和应用能力。可应用类比、联想、构造等方法来解决。 解决的途径不外乎是提高学生的阅读、理解题意的能力，平时的教学中可以作为一个小专题作为训练，专题内容可以为数列应用题、新定义、知识交汇的综合题。对于高数浅化法，对学生也是属于新定义型的题目，教师在平时的授课过程中适当的时候可以进行高等数学延伸，注意要符合中学生的能力水平，在拓展学生的视野的同时也锻炼了他们的阅读能力。这就对教师提出了较高的要求。 有一种比较少见的题型便是几个数学概念按照一定的方式“拼接”整合而成的联合体，如例4，由等比数列和等差数列按照对称的方式拼接而 7 成，是近年高考热点题型之一，其命题情景新颖、内涵丰富，富有创意等特点为高考注入了新气息。 解决“拼接”而成的联合体问题的关键是以“降维”的思想为指导，根据联合体“拼接”生成的方式，从整体着眼，细节入手，化整为零，逐个击破。例4的(1)共7项的“对称数列”，前4项是等差数列，便是逐个击破，先由等差得出前4项，再由对称得出后3项。它注重学生已学的知识背景，联合体题目离不开知识点间的综合交汇，这样的题目设置可以突出对数学思想方法，思维能力、信息迁移的考查，符合 大纲 专科护士培训大纲语法等级大纲网络小说大纲模版专职安全员生产检查释经讲道讲章大纲 要求。另外，试题的不断深化、创新，也体现出高考改革服务于新课改的指导思想。 回归课本，夯实基础。课本是学习的范本，我们常说“万变不离其宗”，数学定义、定理、性质、公式等几乎都是学生从课本上得来的，特别是课本中的例题、练习、习题和复习参考题等都是教材研究者在众多题目中精挑细选，而且经过了全国许多老师和学生的精打细磨，可以说是能经得住考验的题目，这些题目不仅具有示范性、代表性和典型性，而且大多数还具有可拓展性、可探究性，所以课本内容自然也就成了考试内容的载体和来源，是高考命题的依据，是最具有价值的材料，因此也是高考数列题的命题来源。如文章介绍的新定义题型不管是人教A版还是苏教版上的例题和课后练习都有迹可循，甚至有些高考题与课本习题、例题是十分神似，如例7湖北卷的“保等比数列”，不管是题意还是解题方法和课本习题简直是“孪生兄弟” 解决策略是理解清楚课本上的例题、习题。回归课本，充分利用好课本中知识的形成过程和例题、习题的典型作用。对目前较常用的人教A版 8 和苏教版，使用人教A版教材的学校老师应该多研究苏教版教材上面的题目，使用苏教版教材的学校老师应该多研究人教A版教材上面的题目，尤其是人教A版中的B组题和苏教版中的探究题，深入挖掘，揭示本质，作为提供给学生学习的材料，让学生从题目中反思数学知识点、数学思想方法等。 参考文献: [1] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 实验教科书数学必修 5A 版[M].北京:人民教育出版社，2007:54 [2] 尹爱军.以数列为背景的高考新颖试题赏析[J].思茅师范高等专科学校学报，2008(6):94-97 [3] 苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)[M].南京:江苏教育出版社，2012:67 [4] 苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)[M].南京:江苏教育出版社，2012:53 [5] 尹爱军.以数列为背景的高考新颖试题赏析[J].思茅师范高等专科学校学报，2008(6):94-97 9