最小二乘法的应用
1最小二乘法的概念与研究背景
在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德(Pade)逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。 它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据
分析
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的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
1.1最小二乘法的起源
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
1801年，意大利天文学家朱赛普?皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希?奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。 法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的
证明
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，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
1.2最小二乘法的方法
人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型
,
q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函
数模型(如抛物线函数或指数函数)。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。(如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来)。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关(随机无关)。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则:被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为:
用欧几里得度量表达为:
最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。
1.3最小二乘法的线性函数模型
典型的一类函数模型是线性函数模型。最简单的线性式是，写成行列式，为
直接给出该式的参数解:
和
其中，为t值的算术平均值。也可解得如下形式:
对于一般线性情况:
若含有更多不相关模型变量，可如组成线性函数的形式
即线性方程组
通常人们将tij记作数据矩阵 A，参数xj记做参数矢量x，观测值yi记作b，则线性方程组又可写成:
即
上述方程运用最小二乘法导出为线性平差计算的形式为:
。
此为最小化问题的解。
2 最小二乘法的应用实例 2.1基于最小二乘法的油菜叶片叶绿素含量
检测
工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训
系统的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
叶绿素是作物生长中的重要因素，是植物营养光合作用及生长状况的良好指示剂。进行科学施肥管理需要对作物进行实时、可靠的营养诊断。目前，检测植物中的叶绿索含量多采用日本美能达公司生产的SPAD一502仪 。但SPAD一502仪的价格较贵，这极大提高了叶绿素的检测成本。
针对以上问题本文基于油菜叶中的叶绿素对400~500 nm和600~700 nm处的光谱的吸收特性，根据透射光强与叶绿素含量成正比关系，设计了一种廉价的便携非接触式油菜叶片叶绿素含量检测系统，系统通过已知样本叶片的电压和SPAD值，采用最小二乘法，来拟合电压一叶绿素对应直线以减小误差，最后用电压一叶绿素对应直线测量其它叶片的叶绿素含量。实验证明，本系统测量结果准确、成本低廉、使用方便。
由于油菜叶的叶绿素含量(SPAD值)与透射光强成正比关系，通过光电转换，则叶绿素含量(SPAD值)与电压成线性关系(但是由于SPAD值只精确到小数点后两位以及环境因素的干扰，存在较大误差(本系统采用最小二乘法对电压一叶
绿素对应直线进行修正。
本系统采用多个应用SPAD-502Plus测试过的叶绿素含量的油菜叶子，作为计算电压—叶绿素含量对应直线的样本点。通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳直线匹配。设样本叶片的电压值为xi，对应的叶绿素含量为yi，求得电压—叶绿素的最佳对应关系为y=a’x+b’
然后通过直线y=a’x+b’及单片机测量得到的电压值计算被测叶子的叶绿素含量(SPAD值)。
在常温湿度下，实验首先应用叶绿素计SPAD-502Plus测量20个新鲜的油菜叶片，其中叶绿素计SPAD-502Plus的误差为?1.0SPAD单位。
其中10个叶片作为生成电压—叶绿素对应直线的样本叶片，10个叶片作为测量系统误差的实验叶片。按下按键1，选择建立曲线模式，测得样本叶片对应的电压值，如表1所示。
由于A,D转换精度以及光电转换过程中的外界光源的干扰，以及电源的噪声会对测试结果会产生较大的误差，甚至严重偏离。结果显示本系统采用最小二乘法减小了误差，保证测量误差在12, 以内，基本可以测得油菜叶的叶绿素含
量。图5(a)给出了实叶片的对应分布点及电压一叶绿素对应直线，其中横坐标为电压，纵坐标为SPAD值。图5(b)给出了系统的测量误差曲线，其中横坐标为实验叶片序号，纵坐标为误差。
该油菜叶片叶绿素含量检测系统以AT89C51为控制核心，通过油菜叶的样本叶片确定电压一叶绿素拟合直线参数，根据此参数检测其它油菜叶叶片中叶绿素的含量。整个系统成本低廉、结构简单，能准确测量被检测目标的叶绿素含量，并对数据进行保存。可为油菜叶叶绿素的含量的无损、快速检测提供一种新的方法，有很高的应用价值。
2.2战舰问题
随机选定10艘战舰，并分析它们的长度与宽度，寻找它们长度与宽度之间的关系。由下面的描点图可以直观地看出，一艘战舰的长度(t)与宽度(y)基本呈线性关系。散点图如下:
以下图表列出了各战舰的数据，随后步骤是采用最小二乘法确定两变量间的线性关系。
并得到相应的.
然后确定x 1
可以看出，战舰的长度每变化1m，相对应的宽度便要变化16cm。并由下
式得到常数项x: 0
在这里随机理论不加阐述。可以看出点的拟合非常好，长度和宽度的
相关性大约为92,。 利用Matlab得到拟合直线:
浙公网安备 33021202002483