第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ;
2.数形结合是解集合问题的常用
方法
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:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2;
(2)
注意:讨论的时候不要遗忘了
的情况。
4.
是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①
分析
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法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式
; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(
、
、
等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数
分解为基本函数:内函数
与外函数
;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵
是奇函数
f(-x)=-f(x);
是偶函数
f(-x)= f(x)
⑶奇函数
在原点有定义,则
;
⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
①
在区间
上是增函数
当
时有
;
②
在区间
上是减函数
当
时有
;
⑵单调性的判定
1 定义法:一般要将式子
化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:对定义域内的任意
,若有
(其中
为非零常数),则称函数
为周期函数,
为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
①
;②
;③
;
④
;⑤
;
(3)与周期有关的结论
或
的周期为
;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数:
(
;⑵指数函数:
;
⑶对数函数:
;⑷正弦函数:
;
⑸余弦函数:
;(6)正切函数:
;⑺一元二次函数:
;
⑻其它常用函数:
1 正比例函数:
;②反比例函数:
;③函数
;
9.二次函数:
⑴解析式:
①一般式:
;②顶点式:
,
为顶点;
③零点式:
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
二次函数
的图象的对称轴方程是
,顶点坐标是
。 10.函数图象:
⑴图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1 平移变换:ⅰ)
,
———左“+”右“-”;
ⅱ)
———上“+”下“-”;
2 对称变换:ⅰ
;ⅱ
;
ⅲ
; ⅳ
;
3 翻转变换:
ⅰ)
———右不动,右向左翻(
在
左侧图象去掉);
ⅱ)
———上不动,下向上翻(|
|在
下面无图象);
11.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数
图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数
与
图象的对称性,即证明
图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在
的图象上,反之亦然;
注:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为:f(-x,-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为:f(-x, y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x, -y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为:f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=
对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)→y=f(x)图像关于直线x=a对称;
12.函数零点的求法:
⑴直接法(求
的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
13.导数
⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作
;
⑵常见函数的导数公式: ①
;②
;③
;④
;⑤
;⑥
;⑦
;⑧
。
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
①
是增函数;②
为减函数;③
为常数;
③利用导数求极值:ⅰ)求导数
;ⅱ)求方程
的根;ⅲ)列
表
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得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如果有);ⅲ)得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:
弧度
,
弧度,
弧度
⑵弧长公式:
;扇形面积公式:
。
2.三角函数定义:角α中边上任意一P点为
,设
则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴
对称轴:
;对称中心:
;
⑵
对称轴:
;对称中心:
;
6.同角三角函数的基本关系:
;
7.三角函数的单调区间:
的递增区间是
,递减区间是
;
的递增区间是
,递减区间是
,
的递增区间是
,
的递减区间是
。
8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①
②
③
。
9.二倍角公式:①
;
②
;③
。
10.正、余弦定理:
⑴正弦定理:
(
是
外接圆直径 )
注:①
;②
;③
。
⑵余弦定理:
等三个;
等三个。
11。几个公式:
⑴三角形面积公式:
;
⑵内切圆半径r=
;外接圆直径2R=
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧=
;③体积:V=S底h
⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧=
;③体积:V=
S底h:
⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧=
;③体积:V=
(S+
)h;
⑷球体:①表面积:S=
;②体积:V=
。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行
线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:
①平移法:平移直线,构造三角形;②用向量法:
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②用向量法:
5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)
点到平面的距离:①等体积法;②向量法:
。
6.结论:
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为
,全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc。
⑵正方体的棱长为a,则对角线长为
,全面积为6a2,体积V=a3。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质:设棱长为
,则正四面体的:
1 高:
;②对棱间距离:
;③内切球半径:
;④外接球半径:
。
第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式:
;⑵斜截式:
;⑶截距式:
;
⑷两点式:
;⑸一般式:
,(A,B不全为0)。
2.求解线性规划问题的步骤是:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系:
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
有斜率
已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1 ⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0。
4.几个公式
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:(
);
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:
;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
;
5.圆的方程:
⑴
标准
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方程:①
;②
。
⑵一般方程:
(
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆
A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
6.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法。
7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(
表示点到圆心的距离)
①
点在圆上;②
点在圆内;③
点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(
表示圆心到直线的距离)
①
相切;②
相交;③
相离。
⑶圆与圆的位置关系:(
表示圆心距,
表示两圆半径,且
)
①
相离;②
外切;③
相交;
④
内切;⑤
内含。
8、直线与圆相交所得弦长
第六部分 圆锥曲线
1.定义:⑴椭圆:
;
⑵双曲线:
;⑶抛物线:|MF|=d
2.结论
⑴焦半径:①椭圆:
(e为离心率); (左“+”右“-”);
②抛物线:
⑵弦长公式:
注:⑴抛物线:
=x1+x2+p;⑵通径(最短弦):①椭圆、双曲线:
;②抛物线:2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:
(
同时大于0时表示椭圆,
时表示双曲线);当点
与椭圆短轴顶点重合时
最大;
⑷双曲线中的结论:
①双曲线
(a>0,b>0)的渐近线:
;
②共渐进线
的双曲线标准方程为
为参数,
≠0);
③双曲线为等轴双曲线
渐近线为
渐近线互相垂直;
⑸焦点三角形问题求解:利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。
3.直线与圆锥曲线问题解法:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“
”还是关于“
”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得
;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ① a∥b(b≠0)
a=
b (
x1y2-x2y1=0;
② a⊥b(a、b≠0)
a·b=0
x1x2+y1y2=0 ⑵a·b=|a||b|cos
=x2+y1y2;
注:①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影;
1 a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
⑶cos=
;
⑷三点共线的充要条件:P,A,B三点共线
;
(理科)P,A,B,C四点共面
。
第八部分 数列
1.定义:
⑴等差数列
;
⑵等比数列
2.等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③
成AP ③
成GP