两个重要极限的证明两个重要极限的证明
两个重要的极限
sinx,1(证明: lim1x,0x
,证明:如图(a)作单位圆。当0a>0，于是对任一自然数n有
nn，，11ba,nnn，，11nn，1n或，整理后得不等式。 (1) banbba,,，,(1)()abnanb,，,[(1)](1),，nbba,
1111(1)(1)(1)(1)1nanbnn，,,，，,，,令a=1+，b=1+，将它们代入(1)。由于， nn，1nn，1
111nn，1n，,，{(1)}(1)(1)，故有，这就是说为递增数列。 nnn，1
11111...
两个重要极限的证明
两个重要的极限
sinx,1(证明: lim1x,0x
,证明:如图(a)作单位圆。当0a>0，于是对任一自然数n有
nn，，11ba,nnn，，11nn，1n或，整理后得不等式。 (1) banbba,,，,(1)()abnanb,，,[(1)](1),，nbba,
1111(1)(1)(1)(1)1nanbnn，,,，，,，,令a=1+，b=1+，将它们代入(1)。由于， nn，1nn，1
111nn，1n，,，{(1)}(1)(1)，故有，这就是说为递增数列。 nnn，1
111111nn,，2(1)1(1)(1)(1)(1)nanbnn，,,，,，,,，再令a=1，b=1+代入(1)。由于，故有，。22nnn2222n
112nn,，{(1)}4(1)，不等式两端平方后有，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列nn2
1n，lim(1)是有界的。于是由单调有界定理知道极限是存在的。 n,,n
1x，,elim(1)3(证明:。 x,,x
证明:所求证的极限等价于同时成立下述两个极限:
11xx，,e，,elim(1)lim(1) (1) (2) x,，,x,,,xx
1n，,elim(1)现在先应用2中数列极限，证明(1)式成立。 n,,n
111111nxn，1，,，,，111，,，,，(1)(1)(1)设n?x
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