转移矩阵法探讨一维周期性_势场

转移矩阵法探讨一维周期性_势场 () 文章编号 :1008 - 9403 200604 - 0327 - 04 δ转移矩阵法探讨一维周期性势场 1 ,2 1孙国标,童国平 ( )1 . 浙江师范大学 物理系 ,浙江 金华 321004 ; 2 . 绍兴县柯桥中学 ,浙江 绍兴 312030 δ摘 要 : 在考虑电子有效质量的情况下 ,文章不仅给出了 势场中不连续矩阵和传播矩阵的一般形式 , 而 δ 且运用转移矩阵法从理论上计算得到了一维周期性势场的能量方程和波函数 . δ 关键词 : 有效质量 ;周期性势场 ;转移矩阵法 ;能量方程 ;波函数 中图分类号 : O413 . 10 文献标识码 : A 0 引言 [ 1 ], [ 4 ] δ在固体物理和晶体结构研究中 ,克龙尼克2潘纳模型得到了深入的研究,而对于电子在周期性 [ 4 ] δ势场中的运动特性 ,文献却讨论得比较少 . 在考虑电子有效质量的前提下,以下给出了势场中不连续 性矩阵和传播矩阵的一般形式 . 在单电子近似下 ,运用这两个基本矩阵 ———转移矩阵法研究了电子在周期 δ() 性势场 如图 1 所示中的运动 ,计算得到电子的能量方程和定态波函数 . δ1 势场的不连续矩阵 设 电 子 在 δ一维势场中运 动 , 势 场 的 不 连 续性发生在 x = 0 处 , 如 图 2 所 示 , 其 波 函 数 满 足 一 维 定 态 的 Sc hr di nge r 方 ö 程 23 ψ( ) dx2 m ( ( ) )ψ( ) ( )+ E - V xx= 0 1 22 d x ?3δγ其中 m 为电子的有效质量. 设在区域 ?2 ?电子的有效质量分别为 m, m, m,势垒的强度为. w1 b1 w2 1 ψψ 由的连续性及其导数在 x = 0 处的跃变条件 , 区域 ?和 ?中电子的波函数可以用矩阵 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 收稿日期 :2006204230 ( ) ( ) 作者简介 :孙国标 1982 - ,男 ,浙江绍兴人 ,浙江师范大学 2001 级本科生 ,主要从事理论物理方面的研究 ; 童国平 1954 - , 男 ,浙江 师范大学物理系教授 ,主要从事理论物理方面的研究. ( )( ) 2 p+ i k+ k 2 p+ i k k1 1 2 1 2- 1 2 ik 2 ik A A 2221 ( )= 2 ( )( ) i k+ k- 2 p i k- k- 2 p1 2 1B 2 1 1 B 2 1 2 ik 2 ik 22 2 2 2 γ2 m E/ ?, k2 m E/ ?, pm/ ?.其中 k1 = = w1 2 w2 1 b11 = δ定义势场的不连续矩阵为 : ))( ( 2 p+ i k 2 p+ i k - 1 1+ k2 1 2k1 2 ik 2 ik 22 ( ) ( ) 3 D k1 , p1 , k2 =( ) ( )- 2 p i k- k- 2 pi k+ k12 1 1 1 2 2 ik 2 ik 22δ2 势场的传播矩阵 ( ) 假设不连续性发生在 x = a 处 , 此时波函数之间的关系式 2将不再成立 , 通过坐标平移法 , 令 x = x α ik x ik - ik x - ik a ik x - ik x1 11 1 1 1 ( ) ψ( ) ψ( φ) + a= A ee + B ee , 由于平移后电子出现 - a , 有 x = A e + B e x= x 1 1 1 1 ( ) ψ( ) φ 的几率不发生改变 , 则有 x = x, 因此 ik a 1 eA A 0 11 ( )= 4 - ik a 1 B e 0 1B 1 于是定义传播矩阵为 : ik a 1 0 e( ) ( )P k, a5 = 1 - ik a 1 e0 并且传播矩阵还具有两个重要的性质 : ( ) ( ) ( )( ) P k, aP k, b6 P k, a + b1 1 = 1 ( ) ( )P k, a=( )7 1 P k, - a1 3 能量的超越方程 电子在如图 1 所示的势场中运动 , 其晶格势函数为 : n = + ? ( ) ))γδ( ( ) γδ( +x -8 V x=x -nl b1- nl 21? n = - ? γγδ其中,为势垒的强度参量 , l = b+ b为晶格周期常数 , 并设电子在区域 ?2 ?有效质量分别为 1 2 1 2 m, m , m, m . b1 w1 b2 w2 运用转移矩阵建立第 n 个势阱坐标终点波函数到第 n + 1 个势阱坐标起点波函数的关系 A n+1 , 1A n1 ( ) ) ( ) )( ) ( ( ( ) 9 = D k2 , p1 , k1 P k2 , lP k2 , b1 D k1 , p2 , k2 P k1 , b1 B B n+1 , 1 n1 ( ) ( ) 根据传播矩阵的性质及式 67有 A n+1 , 1A n1A n1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D k, p, kP k, bD k, p, kP k, b10 = = T 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 B B B n1 n1 n+1 , 1 ikl 1 A n+1 , 1eA 0 n+1 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = , 其中转移矩阵 T = D k, p, kPk, bD k, p, kPk, b且2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 - ikl 1 e0 B B n+1 , 1 n+1 , 1 考虑转移矩阵 T 的本征方程 ?? n1 A A n1λ( ) ?11 = T ?? B B n1 n1 ( ) 其中记原点右边波函数为正 , 原点左边波函数为负 , 将上式代入式 10有 ?? A , 1 A n+1 n1 λ( ) = ?12 ?? B B , 1 n+1 n1 ( ) 要使本征方程式 12有非平凡解 , 其系数行列式必然要为零 , 则有 2 ( λ ( ) ( ) )λ- Trace T- Det T= 0 13 TT为 T 的行列式的值.12 21 ( ) ( )其中 Trace T=T- T T11 + T22 为转移矩阵 T 的迹数 , 而 Det T = 11 22 根据递推关系 , 第 n + 1 个势阱坐标终点的波函数到第 1 个势阱坐标起点波函数的关系为 ?? ? A A n+1 , 1 A 11n nλ ( )T = 14 = ? ?? ? B n+1 , 1 B 1B 1 nλ( ) λ?1 , 即 | | ?1 . 由式 14可知当 n ?? ?时 , 波函数要有限. 则必然要求 | | ? 2 1/ 2 1 1 ( )( )λ( ) Trace T 15 1 - ? = Trace T?i2 2 并从 Bloch 定理和 Ba st a r d 边界条件出发得 + + - - n+1 , 1 A A A n1n+1 , 1A n1ik l - ikl ( )16 = e, = e+ + - - B n+1 , 1 B B B n1n+1 , 1n1( ) ( ) 比较式 12与 15, 可以得到方程的本征值为 ikl - ikl λλ= e,( )+ - = e17 于是可以得到电子能量的超越方程 22 2 p p + kk 1 2 1 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ))+ co s kl = co s kbco s kb+ - si n kbsi n kb 1 1 2 2 1 1 2 2 kk2 kk 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )si n co s kbsi n kb 1 1 2 2 k1 b1 co s k2 b2 ( ) ( )+ p1 + p2 18 kk21 4 定态波函数 根据前面讨论知道 , 第 n 个周期电子的定态波函数为 ( ( ))ik x - nl - ik x - nl 11 ψ( ) A e] nl + bn1 x=+ B e [ nl < x < n1 1 n1 ( )19 ( )x - nl ( )- ik x - nl ik 22 ψ( )( ) = A en2 x[ nl < b1 < x < n + 1l ]n2 + B en2 由归一化条件得 ( ) n+1l 2 ψ( ( )) 1 20 = | n x| d x? nl ( ) 把式 20代入上式可以得到 2 3 3 A B A B nj nj nj nj2 2 i2 k b - i2 k b j jj j( )( )|A | +| B | b1 21 = + e - e nj nj j? i 2 k i 2 k jjj = 1 ( ) 由本征方程式 12, 便可以得到 A 和 B 之间的关系n1 n1 T- T 22 11α( ) B A n1 = A n122 = n12 T 12 ( ) ( ) ΨΨ再利用转移矩阵法建立 n2 x和 n1 x之间的关系 , A A n2n1 ) ( ) )( ( ( )= P k2 , b1 D k1 , p2 , k2 P k1 , b1 23 B B n2 n1 βχ化简可以得到 : A = A , B = A n2 n1 n2 n1 其中 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 p+ p[ ksi n kbsi n kb- kco s kbco s kb] + [ k+ k- 4 pp] si n kbco s kb+ 2 kkco s kbsi n kb1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 α = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ - 2 P+ Pkco s kb+ 2 ik P- Psi n kb+ k-ksi n kb- 4 ppsi n kbco s kbisi n kb- ] 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) ( ) i k- kb - i k+ kb 1 2 11 2 1αβ 2 i p ] + e 2 i p ]/ 2 k = e ( )- ( - )- 2 2 1[ k+ k[ kk1 2 1 2 ( )( )i k b + k b i kb- kb 1 1 2 2 2 2 1 1 ( χ ) ( ) α = e k+ 2 i p ] + e [ k+ k+ 2 i p ]/ 2 k [ k1- 2 2 1 2 2 1 ( ) 把上面几式代入式 21, 可以得到 2 2 2 ( α) ( βχ) (α) ( ) (α) ( ) | A | = { 1 +| | b+ | | +| | b+ [ Re si n 2 kb- Im co s 2 kb]/ k+n1 1 2 1 1 1 1 1 1 - 2(β) (χ) ( ) (β) (χ)(β) (χ) (β) (χ) ( ) [ Re Re [ Re Im - Im Rx ]co s 2 kb]/ k} + Im Im ] si n 2 k2 b2 -2 2 2 ( )24 其中式中 Re 和 Im 分别表示其实部和虚部 。现如果取 A 为实数 , 则定态波函数为n1 ))( ( ik x - nl - ik x - nl 1 1 αΨ( ) = xA n1 [ eenl + b1 ]+] [ nl < x < n1 ( )25 ( )( )ik x - nl - ik x - nl 2 2 βχΨ( ) A [e = + e ( ) xn1 ] [ nl + b< x < n + 1l ] n2 1 5 小结 δδ掺杂的超晶格 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 其势场结构多为准周期的势场 ,在实验上可运用二次离子质谱和电化学剖面 [ 7 ] δ研究其掺杂结构,因而研究电子在周期性势场中的运动 ,具有一定的现实意义 。在此运用转移矩阵法 δ计算得到了电子在周期性势场中的能量方程和定态波函数 ,为研究电子在复杂晶格中的特性提供了一 种简便有效的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 参考文献 : ( ) [ 1 ] 方俊鑫 ,陆 栋. 固体物理 上册[ M ] . 上海 :上海科学技术出版社 ,1980 : 2042209 . 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Keqiao Middle School , Shao xi ng 312030 , Chi na Abstract : Co nsidering t he eff ective ma ss of elect ro n , t hi s p aper ha s p re sented t he general fo r ms of t he di sco nti nuit y mat rix a nd t he p rop agatio n mat rix. By using t he se t wo ba sic mat rixe s , we have calculated t he ener gy equatio n and wave f unctio n of t he o ne2dimensio nal delta p erio dic po tential . Key words : eff ective ma ss ; delta perio dic po tential ; t ra nsf er mat rix ; ener gy equatio n ; wave f unctio n