【doc】如何发现和利用
题
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目的隐含条件
如何发现和利用题目的隐含条件
?3O?中学
数学
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月刊2004年第4期
如何发现和利用题目的隐含条件
张月会(贵州省德江第一中学565200) 笔者在教学过程中常常发现学生在解 题过程中由于审题等诸多因素而出现这样或 那样的错误,其中,不能发现与利用隐含条件 是一重要原因,笔者在这里浅谈一下发掘隐 含条件对解题的作用.
1隐含条件对解题的作用
1.1发现隐含条件,有利于寻找解题思路 例1已知Y=f~/口z—b+d?
+ab,口,b,f,d?(O,+co),求
log6(z.),)之值.
分析本题乍一看似乎无从着手,但仔细观 察可发现应有口—b?0,且b—az?0,从而z 厶
一
?,Y—ab,故log6(.),)一log6b一2. 注这里定义域为题目的隐含条件. 1.2发现隐含条件,将遗漏补上
例2直线l过P(2,3),且在两坐标轴
上的截距相等,求l的方程.
分析大多数学生都能根据截距式方 程解得其中一条直线的方程是+Y一5,这 里忽略了截距全为0的情形,即当n—b一0 时,截距存在且相等,但是不能
表
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示成截距
0
式.故满足条件的l还有一条y一z. 厶
1.3发现隐含条件,对结论去伪存真 例3已知{n}为等比数列,a2a一9,n. +口5—12,则口5一().
(A)9(B)15
(C)9或15(D)不能确定
分析大多数学生都能利用a2a.===n;, 但误选了C,主要是对等比数列的性质理解 不透,即等比数列奇数项同号,偶数项也同 号,从而n.与a.不可能一正一负.这里从已 知条件口3+口5=口3(1+q2)=12=>a3>0也 可选出正确
答案
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A.
例4已知sinX:sin0cos,2sin2x
—sin+COS,求COS2x之值.
分析消去得4cos2x—COS2x一2 —
0,o2z—.
6
对此结果,学生都会通过考察发现 COS2z—?[一1,1],而不会进一
步考虑取舍.事实上由sinz—sin0cos cos2x一1一sin2?0,从而cos2x只能 取正值,所以cos2z—.
1.4发现隐含条件,简化解题过程,快速而 筒捷地寻求答案
例5设为椭圆
厶J
..
2
+一1上一点,F为其
一
个焦点,IAFI一4,AF
的中点为?,求ON的长.
分析若按常规思
路欲先求出?的坐标,则
),Jl
一
图l
计算量十分繁杂.现考虑椭圆定义,如图1, 设F.为椭圆的另一个焦点,连接AF.,显然 ON为AAFF.的中位线,IAFI+IAF.I一 1OIAF0I一6=>ON=3. 例6已知P(口,6)为+Y一R外一 点,如图2,过P点作两直线与圆相切于A,B
两点,求过A,B两点的直线方程. 分析由于题中字
母较多,若想先求出A,B
两点坐标,再求直线l的
方程,计算量可想而知.
现考虑图形特点:由A,B
是切点,故IPAI—IPBI
J
Xj\
图2
一,
从而A,B两点在以P为圆
心,以IPAI为半径的圆上,从而A,B为两
圆:(下转第42页)
?42?中学数学月刊2004年第4期 数更高的2的幂整除.这样
二__不能被2,,.整除,即n………'… 和对模不同余.因此安
置座位
方案
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在,z是一个2的幂时可操作. 反之,假设,z=2(2a+1),其中a是正 整数,是非负整数.若a<2,取h=2+ a+1,=2一a.则h一一2a+1,h+ 一
1—2m+l生一生一2m(24
+1).故和对模同余.
若a?2,取h一2+a+1,=a一2+ 1.则h一是一2?,h+是一1—2a+1, 一
丛一2m(2以+1).
故也得on0…'…'一Iv
到和对模同余.上述^,k
的取伯都是1,n范围内的整数.因此若n不是 —
个2的幂就没有可能的安置座位方案. 3.证明数列:Y.一1,Y州=?(3y+ ,
J?_____?________.^?__?__一 ?5一4),(,z?O)的各项都是由整数构成. 1r—————一
证明由Y?1=?(3y+?5一4) 变形,得(2+l一3y).=5y:一4,则:+1—
3y.+1+=一1.相应的,Y:一3一1+ :一=一1,两式相减得+一3y(+一
(上接第3O页)
fz.+Y.=R.,
I(z一口).+(一6).=(口.+b.)一R. 的交点,两式相减即得:
ax+by=R.,(*)
即A,B坐标均满足(*)式,故过A,B的 直线方程即为(*)式.
例7已知复数?C,且1l=1,求
I2.+3+2I的范围.
分析显然应设=COS0+isin0,但若
直接代人,则计算量比较大,若注意到IzI一 1=?,则有I2z.+3z+2I=III2z+ 一
1)一一1=0.于是(+1一一1)(+1—
3y.+Y一)一0.但从定义中显然得到+ 口凸
?昔??一,则+一一是非零数.于厶't 是Y抖1=3y一一1.但Yo=1,Y1=2,因此 由归纳法推理得所有的都是整数. 4.假设在空间内放置?个单位球B,…, B,使每个球恰好外切另外两个,设这N个切点 为C,…,C.?.设P是所有这些球外的一点,自P 引球且(1???)的切线长记为t.证明所有 数量t的积不大于所有距离PC的积. 证明我们先证明一个引理.
引理:如图2,两个单位圆o0,o0外
切于C,过两圆外一点P引两圆的切线分别
为PD,PE,则PD?PE?PC..
证明:如图2,由切割
线定理,得PD=PC?
PF,PE.=PC?PG.则
pDz?PEz==pCz?PF? PG=PC(PC一图2
CF)(PC+CG).又显然CF=CG,故PD.? PE.一PC.(PC.一CF.)?PC'.从而PD? PE?PC..
NNN
由引理,易得IIf?IIPc,从而1Tt=1f=1f1 ?
??PG.
3+三l=l2(+)+3l—l4cos0+3l,Z 由此可知I2.+3z+2I的范围为[O,7]. 2隐含条件的"藏"身之地
由上述几个例子可以看出,隐含条件经常 藏身于函数的定义域,值域等有关的概念和性 质之中(如例1);隐藏在从已知条件推出的结 论之中(如例4);隐藏在有关图形,图象的特 点和性质之中(如例5,例6);隐藏在有关的定 义之中(如例7).
综上所述,加强对隐含条件的挖掘和训 练,对于提高学生的审题能力和解题能力,是 大有裨益的.