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floyd算法、Dijkstra算法实例讲解最短路径之Dijkstra算法详细讲解   1  最短路径算法 在日常生活中,我们如果需要常常往返A地区和B地区之间,我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中,那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括: (1)确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题。 (2)确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同...

floyd算法、Dijkstra算法实例讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解   1  最短路径算法 在日常生活中,我们如果需要常常往返A地区和B地区之间,我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中,那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括: (1)确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题。 (2)确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 (3)确定起点终点的最短路径问题:即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。 (4)全局最短路径问题:求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”, 有时被简称作“路径算法”。 最常用的路径算法有:Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 2  Dijkstra算法 2.1  Dijkstra算法   Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。  2.2  Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将 加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3  Dijkstra算法具体步骤  (1)初始时,S只包含源点,即S=,v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或 )(若u不是v的出边邻接点)。 (2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。 (3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u(u U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 (4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。 2.4  Dijkstra算法举例说明 如下图,设A为源点,求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离,即权值。(注:此图为随意所画,其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等) 图一:Dijkstra无向图   算法执行步骤如下表:【注:图片要是看不到请到“相册--日志相册”中,名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】 步骤 S集合中 U集合中 1 选入A,此时S= 此时最短路径A→A=0 以A为中间点,从A开始找 U= A→B=6,A→C=3, A→其它U中的顶点=∞, 发现A→C=3权值为最短 2 选入C,此时S= 此时最短路径A→A=0,A→C=3以C为中间点, 从A→C=3这条最短路径开始找 U= A→C→B=5(比上面第一步的A→B=6要短) 此时到D权值更改为A→C→B=5, A→C→D=6, A→C→E=7, A→C→其它U中的顶点=∞,发现A→C→B=5权值为最短 3 选入B,此时S= 此时最短路径A→A=0,A→C=3,A→C→B=5 以B为中间点 从A→C→B=5这条最短路径开始找 U= A→C→B→D=10(比上面第二步的A→C→D=6要长) 此时到D权值更改为A→C→D=6, A→C→B→其它U中的顶点=∞,发现A→C→D=6权值为最短 4 选入D,此时S= 此时最短路径A→A=0,A→C=3,A→C→B=5,A→C→D=6 以D为中间点, 从A→C→D=6这条最短路径开始找 U= A→C→D→E=8(比上面第二步的A→C→E=7要长)此时到E权值更改为A→C→E=7,A→C→D→F=9 发现A→C→E=7权值为最短 5 选入E,此时S= 此时最短路径A→A=0,A→C=3,A→C→B=5,A→C→D=6,A→C→E=7,以E为中间点, 从A→C→E=7这条最短路径开始找 U= A→C→E→F=12(比上面第四步的A→C→D→F=9要长)此时到F权值更改为A→C→D→F=9 发现A→C→D→F=9权值为最短 6 选入F,此时S= 此时最短路径A→A=0,A→C=3, A→C→B=5, A→C→D=6, A→C→E=7,A→C→D→F=9 U集合已空,查找完毕。 Floyd算法 实现Floyd算法,并求所示有向图中各顶点之间的最短路径及其长度。     算法思想 采用图的邻接矩阵存储,实现Floyd算法~,数组P[][][]存储是否存在中间点使长度缩短。 设计描述 数据存储结构类型的定义: typedef struct MGraph{     char vexs[MAX_VERTEX_NUM];      int  arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];     int  vexnum,arcnum;      GraphKind  kind; }MGraph; 源程序 #include #include #define INFINITY 1000                          // 最大值 #define MAX_VERTEX_NUM  20                    // 最大顶点个数 #define TRUE 1 #define FALSE 0 typedef enum{DG, DN, UDG, UDN} GraphKind;                                    // 四种图类型 typedef struct MGraph{     charvexs[MAX_VERTEX_NUM];                // 顶点向量     intarcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];      // 邻接矩阵     intvexnum,arcnum;            // 图的当前顶点数和弧数     GraphKindkind;              // 图的种类标志 }MGraph; void find(int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],MGraph G,int a,int b); void main(){     MGraph G;     int D[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];     int v,w,k,a,b,i;     printf("请输入顶点数和弧数");     scanf("%d %d",&G.vexnum,&G.arcnum);     G.kind=DG;     printf("请输入邻接矩阵\n");     for (v = 0; v < G.vexnum; v++)         for (w = 0; w < G.vexnum; w++)             scanf("%d",&G.arcs[v][w]);            //读入邻接矩阵     // P[v][w][k]为TRUE,则从v到w的最短路径中含有k节点     // D[v][w]从v到w的最短路径的长度     for (v = 0; v < G.vexnum; v++)         for (w = 0; w < G.vexnum; w++){             D[v][w] = G.arcs[v][w];             for (k = 0; k < G.vexnum; k++)                 P[v][w][k] = FALSE;             if (D[v][w] < INFINITY)                 P[v][w][v] = P[v][w][w] = TRUE;         }     for (k = 0; k < G.vexnum; k++)         for (v = 0; v < G.vexnum; v++)             for (w = 0; w < G.vexnum; w++)                 if (D[v][k] + D[k][w] < D[v][w]){                     D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];                     for (i = 0; i < G.vexnum; i++)                         P[v][w][i] = P[v][k][i] || P[k][w][i];                 }     for(a=0; a
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