导数在经济分析中的应用
一、 边际分析与弹性分析
1、边际分析
例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的
成本(元)是日产量(件)的函数 Cx
12 Cxxx()602050.,，，4
求:(1)日产量为75件时的成本和平均成本;
(2)当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量;
(3)当日产量为75件时的平均成本。
2例2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是和Cxxx()10020.02,，，
2 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时Rxxx()70.01.,，
的边际利润，并说明其经济意义。
2、弹性
Q例3 某日用消费品的需求量(件)与单价p(元)的函数关系为
p13Qpaa,是常数，()()() 2
求:(1)需求的价格弹性函数;
(2)当单价为4元，5元时的需求弹性。
二、函数最值在经济中的应用
1、平均成本最小
例4 某工厂生产产量为(件)时，生产成本函数(元)为 x
2 Cxxx()9000400.001,,，，
问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小,并求出最小平均成本和边际成本.
2、最大利润
例5 某商家销售某种商品的价格满足关系，且为销售量(单位:px,,70.2(/)万元吨x
Cxx()31,，吨)，该商品的成本函数为(万元)。
(1) 若每销售1吨商品政府要征税(万元)，求该商家获得最大利润时的销售量; t
(2) 为何值时，政府税收总额最大。 t
3、最佳批量和批数
例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半)。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。
4、最佳时间决策
例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定)就出售，售价为元. 如果窖藏起t,0R0
tRRe,来待将来按陈酒价格出售(假设不计储藏费)，那未来收入就是时间的函数，假t0设资金的贴现率为，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒, r
习题
Q1、 设某产品的价格和销售量的关系为. p,,105
,RRR(1) 求需求量为20和30时的收益，平均收益和边际收益;
Q(2) 当为多少时，收益最大,
,2pQ2、 设某商品的需求量对价格的函数为。 pQe,50000
(1) 求需求弹性;
p,10(2) 当商品的价格元时，再增加1%，求商品需求量的变化情况。
3、 某食品加工厂生产某类食品的成本C(元)是日产量(公斤)的函数 x
2 Cxxx()16004.50.01,，，
问该产品每天生产多少公斤时，才能使平均成本达到最小值,
234、 某化肥长生产某类化肥，其成本函数(元)，需求Cxxxx()1000600.30.001,，,，
20函数为(吨)，问销售量为多少时，可获得最大利润，此时价格为多少, xp,,8003
5、 某商品每年销售某种商品件，每次购进的手续费为元，而每件每年库存费为元，bac在该商品均匀销售的情况下(此时商品的平均库存数为批量的一半)，问商店分几批购进此种商品，方能使手续费及库存费只和最少,
tLL6、 设生长在某块土地上的木材价值是时间的函数且以年为单位，以万元为tL,2t
单位，假设在树木成长期间的养护费不计，又资金的年贴现率，按连续复利计r,0.05算，何时伐木销售，可使收益的现值最大,其现值又为多少,
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