多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法 第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 : 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 (x,y)z,f(x,y)00在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于定义 设函数 (x,y)00的点，如果都适合不等式 fxyfxy(,)(,),00， (x,y)fxy(,)fxy(,)0000则称函数在点有极大值。如果都适合不等式 f(x,y),f(x,y)00 ， (x,y)f(x,y)fxy(,)0000则称函数在点有极小值(极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 22z,3x，4y例1 函数在点(0，0)处有极小值。因为对于点(0，0)的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点(0，0)处的函数值为零。从几何上看这是显然的， 22z,3x，4y因为点(0，0，0)是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。 22z,,x，y例, 函数在点(0，0)处有极大值。因为在点(0，0)处函数值为零， xOy而对于点(0，0)的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为负，点(0，0，0)是位于 22z,,x，y平面下方的锥面的顶点。 z,xy例, 函数在点(0，0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0，0)处的函数值为零，而在点(0，0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 (x,y)(x,y)z,f(x,y)0000定理1(必要条件) 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零: f(x,y),0,f(x,y),0x00y00 (x,y)(x,y)z,f(x,y)0000证 不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某 (x,y)00邻域内异于的点都适合不等式 f(x,y),f(x,y)00 x,xy,y00特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式 fxyfxy(,)(,),000 x,x(x,y)f00这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明一元函数在处取得极大值，因此必有 f(x,y),0x00 类似地可证 f(x,y),0y00 (x,y,z)z,f(x,y)000从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面 z,z,f(x,y)(x,x)，f(x,y)(y,y)0x000y000 z,z,0xOy0成为平行于坐标面的平面。 f(x,y),0,f(x,y),0(x,y)xy00 仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数 z,f(x,y)的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的 z,xy驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。 怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ,下面的定理回答了这个问题。 (x,y)z,f(x,y)00定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶 f(x,y),0,f(x,y),0x00y00连续偏导数，又令 ， f(x,y),A,f(x,y),B,f(x,y),Cxx00xy00yy00 (x,y)f(x,y)00则在处是否取得极值的条件如下: 2AC,B,0A,0A,0(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值; 2AC,B,0(2)时没有极值; 2AC,B,0(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 z,f(x,y)这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的 极值的求法叙述如下: 第一步 解方程组 f(x,y),0,f(x,y),0xy 求得一切实数解，即可以得到一切驻点。 (x,y)00CAB第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值，和。 2fxy(,)00AC,B第三步 定出的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。 3322f(x,y),x,y，3x，3y,9x例1 求函数的极值。 解 先解方程组 2,fxyxx(,)3690,,，,,,x,2fxyyy(,)360,,,，,,y, 求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。 再求出二阶偏导数 fxyxfxyfxyy(,)66,(,)0,(,)66,，,,,，xxxyyy 2(1,0)AC,B,12,6,0A,0在点(1,0) 处，又，所以函数在处有极小值f(1,0)5,,; 2AC,B,12,(,6),0f在点(1,2) 处，，所以(1,2)不是极值; 2fAC,B,,12,6,0在点(-3,0) 处，，所以(-3,0)不是极值; 2AC,B,,12,(,6),0A,0在点(-3,2) 处，又所以函数在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31。 3例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。 2mymxyxm解 设水箱的长为，宽为，则其高应为，此水箱所用 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的面积 22A,2(xy，y,，x,)xyxy ， 22A,2(xy，，)y,0xyx,0即 (，) yxA可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点(x,y)。 2A,2(y,),0x2x令 ， 2A,2(x,),0y2y 解这方程组，得: 33y,2x,2 ， 从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法 z,f(x,y),(x,y),0拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数 F(x,y),f(x,y)，,,(x,y) yx,其中为某一常数求其对与的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联立 ,,f(x,y)，(x,y),0,,xx,,,,f(x,y)，(x,y),0,,yy , ,,(x,y),0., (1) yyf(x,y),(x,y),0xx,由这方程组解出，及，则其中，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 u,f(x,y,z,t) 在附加条件 ,(x,y,z,t),0,(x,y,z,t),0 ， (2) 下的极值，可以先构成辅助函数 F(x,y,z,t),f(x,y,z,t)，,,(x,y,z,t)，,,(x,y,z,t)12 ,,12其中，均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求 f(x,y,z,t)x、y、z、t解，这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 2a例3 求表面积为而体积为最大的长方体的体积。 x,y,z解 设长方体的三棱长为， 则问题就是在条件 2,(x,y,z,t),2xy，2yz，2xz,a,0 (3) 下，求函数 V,xyz(x,0，y,0，z,0) 的最大值。构成辅助函数 2F(x,y,z),xyz，,(2xy，2yz，2xz,a) x、y求其对、z的偏导数，并使之为零，得到 yz，2(y，z),0, ,,xz，2(x，z),0, , ,xy，2(y，z),0, (4) 再与(10)联立求解。 x、yz因、都不等于零，所以由(11)可得 x，zxx，yy yy，zx，zz ,， ,( 由以上两式解得 x,y,z 将此代入式(10)，便得 6ax,y,z6 = 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的 6a2a6极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最 63V,a36大，最大体积。