不等式的定义及性质
中小学1对1课外辅导专家
精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号
学员编号: 年 级:高一 课时数:3
学员姓名:肖羽曦 辅导科目:数学 学科教师: 朱敦望 学科组长签名及日期 易湘平2010-5-29 学员家长签名及日期
课
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
不等式综合讲解
授课时间:2010年6月1日 备课时间: 2010年5月28日
1.用不等式(组)
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问 题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.熟悉不等式的性质。 教学目标 2.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和
高次不等式以及简单的含参数的不等式
1.掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简单 的不等式. 重点、难点 2.掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等 式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.
考点及考试要求
教学过程:
不等关系与不等式
1.比较原理:
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a
配方
学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案
、因式分解、通分、分母(分子)有理化等;
3、判断符号;4、作出结论(
【新题导练】.
5551.设a=2,，b=,2，c=5,2，则a、b、c之间的大小关系为____________. 2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.
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中小学1对1课外辅导专家 考点2 不等式的性质
题型:验证或推导简单不等式的有关结论
例1. 已知:m,n，a,b，求证:m,a,n,b.
【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质
cd例2. 已知下列三个不等式?;?;?,以其中两个作为条件,余下一个作结论,ab,0bcad,,ab
则可组成几个正确命题.
【名师指引】注意运用性质时须满足的条件,如时,判断ac与的大小关系应注意从ab,bcccc,,,0,0,0三个方面讨论.
【新题导练】.
1..若a,b,0，则下列不等式不能成立的是 ((
11abA., B.2,2 ab
11abC.|a|,|b| D.(),() 22
112. 已知四个条件，?b,0,a ?0,a,b ?a,0,b ?a,b,0能推出,成立的有( ) ab
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点3 不等式性质综合应用
题型1.用比较法证函数的单调性
例1. (广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试)
xxRx,,,0且fx()已知函数的定义域为对定义域内的任意、，都有xx,,12
fxxfxfxxfxf()()(),1()0,(2)1.,,，,,,且当时1212
fx() (1)求证:是偶函数;
fx()(0,)，, (2)求证:在上是增函数;
2 (3)解不等式fx(21)2.,,
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中小学1对1课外辅导专家 【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.
题型2.用比较法处理数列中的不等关系.
例2. (广东省揭阳市2008年
高中
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毕业班高考调研测试改编)
1已知数列满足，且。 {}aa,0,,an2nnnan
(1)求数列的通项公式; {}an
(2)数列是否存在最大项,若存在最大项，求出该项和相应的项数;若不存在，说明理由。 {}an
【名师指引】借助于比较法验证数列的单调性进而数列的不等关系是近年高考的热点之一.
【新题导练】
f(a)，f(b)f(x)[,1,1]f(1),1a[,1,1]5. 已知是定义在上的奇函数，且，若、，，有; ,0b,a，b,0a，b
f(x)[,1,1](1)、判断函数在上的单调性，并证明你的结论;
2f(x)m,2am，1[,1,1][,1,1](2)、若?对所有的x,、a,恒成立，求实数m的取值范围。
2已知等差数列{6. a}的公差大于0，且a，a是方程x,14x，45,0的两根，数列{b}的前n项和n35n
1为S，且S,1, b. nnn2
(1)求数列{}、{]的通项公式; abnn
(2)记c,ab，求证:c?c. nnnn，1n
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?一元二次不等式及其解法
一.解不等式的有关理论
(1) 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式;
(2) 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式
的同解变形;
(3) 解不等式时应进行同解变形;
(4) 解不等式的结果，原则上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集
,,0,,0,,0
2y,ax，bx，c22 二次函数 y,ax，bx，cy,ax，bx，c
2y,ax，bx，c
()的图a,0
象
有两相等实一元二次方程
有两相异实根 根 2ax，bx，c,0
bxxx,x(x,x)，， a,0的根,,, 无实根 1212122a
2ax，bx，c,0 ,,b xx,,,,xx,x或x,x(a,0)的解集,,122a,, R
2ax，bx，c,0
,,xx,x,x ,(a,0)的解集12
,
三.解一元二次不等式的基本步骤:
(1) 整理系数，使最高次项的系数为正数;
(2) 尝试用“十字相乘法”分解因式;
2,,b,4ac(3) 计算
(4) 结合二次函数的图象特征写出解集。
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中小学1对1课外辅导专家 四.高次不等式解法:
尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解
(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)
五.分式不等式的解法:
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解;
(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解
ax问题1. 设，解关于x的不等式 log,1a,02x,1
(2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系.
223问题2. 已知函数f(x),ax，ax，2b,a
f(x)x,(,2,6),f(x),0,当x,(,,,,2):(6,，,),f(x),0当，求的解析式;
? 热 点 考 点 题 型 探 析
考点1 一元二次不等式的解法
题型1.解一元二次不等式
2xx,[例1] 不等式的解集是( )
A( B. C. D. ,,,00,11,，,,,，,,01,，，，，，，，，，，
【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型2.已知一元二次不等式的解集求系数.
1122axxc，，,20,，,,cxxa20x[例2]已知关于的不等式的解集为,求的解集. (,),32
【名师指引】已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由 韦达定理求系数
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【新题导练】
2axax1.不等式(,2)+2(,2) -4,0,对一切?R恒成立，则a的取值范围是( ) A.(-?,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-?,2)
xmxxxm2. 关于的不等式(-1)( -2),0，若此不等式的解集为{|,x,2}，则的取值范围是
mmmmA. ,0 B.0,,2 C. , D. ,0
考点2 含参数不等式的解法
题型1:解含参数有理不等式
2例1:解关于x的一元二次不等式xaxa,，，,(3)30
【名师指引】解含参数的有理不等式时分以下几种情况讨论:
? 根据二次项系数(大于0,小于0,等于0);
,,,,,,0,0,0?根据根的判别式讨论().
?根据根的大小讨论(). xxxxxx,,,,,121212
题型2:解简单的指数不等式和对数不等式
1(0,1)aa,,例2. 解不等式log(1,),1 a x
【名师指引】解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般的不等式(组)来求解，当底数含参数时要进行分类讨论.
【新题导练】
226320xmxm,,,x3.关于的不等式的解集为( )
mmmmmm A. B. C. D.以上答案都不对 (,),(,),(,)(,),,,，,977997
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24.解关于的不等式: xax,2(a，1)x，4,0
考点3 分式不等式及高次不等式的解法
22[例5] 解不等式: (1)(68)0xxx,,，,
【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系.
【新题导练】
xa，,0(3,1)(2,),,，,5.若关于x的不等式的解集是,则a的值为_______ (3)(1)xx，，
2(a，1)x,1x的不等式,x(a,0)6. 解关于ax，1
1x，24,2x7.( 广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试)解不等式x,(),2.2
考点4 简单的恒成立问题
题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围
2axx，，,220xa例1. 若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. R
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a,0,a,0,,2,,b0【名师指引】不等式axbxc，，,0对一切恒成立或 xR,,,2,,,,bac40,,c,0,
a,0,a,0,,2,,b0不等式axbxc，，,0对任意恒成立或xR,,,2,,,,bac40,, c,0,
【新题导练】
228.不等式ax，4x，a,1,2x对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______( x,
129.若不等式，，1,0对于一切,(0，)成立，则的取值范围是 ( ) xaxxa2
5 A(0 B( –2 C(- D(-3 2
? 抢 分 频 道 ?
abc,,1. 如果满足,且,那么下列选项中不一定成立的是( ) cba,,ac,0
22cbab,A. B.cba()0,, C. D. acac()0,,abac,
a
bba()0,,2.(2008?吴川一中)对于实数，“”是“”成立的( ) ,1ab、
b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11ba||||ab,3. 若,则下列不等式:?;?;?;?中,正确的不等式有( ) ,,0，,2abab，,ab,abab
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个
,,,,,4.若,则的取值范围是 ,,,,,,22
111122ab2222a,0,b,0,()，(),a，b.5. 设求证 ba
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综合拔高训练
6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
:第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车;第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合, 7.已知函数f(x)=|log(x+1)|，实数m、n在其定义域内，且m,n，f(m)=f(n). 2
求证:(1)m+n,0; 22(2)f(m),f(m+n),f(n).
8. (广东省惠州市2009届高三第二次调研考试)
设单调递增函数fx()的定义域为，且对任意的正实数x,y有:fxyfxfy()()(),，且0,，,，，
1( f()1,,2
aa?、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前nfsfafa()()(1)1,，，,S,,,,nnnnnn
a项和,求数列的通项公式; ,,n
?、在?的条件下，是否存在正数M使下列不等式:
n 221(21)(21)(21),,，,,,aaaMnaaa1212nn
*nN,对一切成立,若存在，求出M的取值范围;若不存在，请说明理由(
不等式解法:
2,，，,xx5601. 不等式的解集是__________
22xaxb,,,0{|23}xx,,bxax,,,102. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 __________.
2x3. (广东省五校2008年高三上期末联考) 若关于的不等式的解集为空集，gxaaxR()1(),，，,
a则实数的取值范围是 (
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124(08梅州)设命题P:函数的定义域为R;命题q:不等式对1，2x,1，axf(x),lg(ax,x，a)16
一切正实数均成立。如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数的取值范围。 a
k(1,x)5.解关于x的不等式(k?0，k?1). ，1,0x,2
综合拔高训练
6.已知,,,，且,?,，解关于x
1xx，log(a,1),log(4,a).242
7.(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x,0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元(a,0)。
(I)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的
年总收入，试求x的取值范围;
(II)在(I)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人
均年收入达到最大。
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28.已知二次函数满足:对任意实数x，都有，且当(1，3)f(x),xx,f(x),ax，bx，c,(a,b,c,R)
12时，有成立。 f(x),(x，2)8
(1)证明:; f(2),2
(2)若的表达式; f(,2),0,f(x)
1m(3)设 ,x,[0,，,)，若g(x)图上的点都位于直线的上方，求 y,g(x),f(x),x42
实数m的取值范围。
不等式性质:
(,0),,1.C 2.C 3.B 4.
33(a)，(b) 证法一:左边-右边= ,(a，b)5.ab
(a，b)(a,ab，b),ab(a，b) =
ab
2(a，b)(a,2ab，b)(a，b)(a,b) = = ?原不等式成立。 ,0
abab
证法二:左边>0，右边>0。
左边(a，b)(a,ab，b)(a,ab，b)2ab,ab,,,,1 ?原不等式成立。 右边ab(a，b)abab
6.解:设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm
显然，当m?a时，选起步价为8元的出租车比较合适
当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元
的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教务管理部
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? P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ? 当x>10时，P(x)Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适 当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选
7.(1)证法一:由f(m)=f(n)，得|log(m+1)|=|log(n+1)|，即log(m+1)=?log2222
(n+1)，
log(m+1)=log(n+1)， ? 22
1或log(m+1)=log. ? 22n，1
由?得m+1=n+1，与m,n矛盾，舍去.
1由?得m+1=，即(m+1)(n+1)=1. ? n，1
?m+1,1,n+1.?m,0,n.?mn,0.
由?得mn+m+n=0，m+n=,mn,0.
证法二:(同证法一得)(m+1)(n+1)=1.
(m，1)，(n，1)?0,+1,+1，?,=1.?++2,2.?+,0. mn(m，1)(n，1)mnmn2
(2)证明:当x,0时，f(x)=|log(x+1)|=log(x+1)在(0，+?)上为增函数. 2222由(1)知m,(m+n)=m+mn=m(m+n)，且m,0，m+n,0，?m(m+n),0. 22?m,(m+n),0，0,m,m+n. 2?f(m),f(m+n). 2222同理，(m+n),n=,mn,n=,n(m+n),0，?0,m+n,n.?f(m+n),f(n). 22?f(m),f(m+n),f(n).
1fxyfxfy()()(),，8.解:?、对任意的正数均有且( xy、f()1,,2
1又 afSfafafafaf,,，，,,，，，且0()()(1)1()(1)()nnnnnn2
12？， fSfaa,，，()[()]nnn2
12？fx()又是定义在上的单增函数，( 0,，,Saa,，()，,nnn2
122当时，，(，( a,0？,a1？,,aa0n,1aaa,，()11111112
22当时，， 222aSSaaaa,,,，,,n,2nnnnnnn,,,111
(，为等差数列，，( ？，,,,()(1)0aaaaaaan,？,,,01(2)ad,,1,1？,an？a,,nnnn,,11nnn,11nn
?、假设存在满足条件， M
n2aaa*12nnN,即对一切恒成立( „„„„„,分 M,
21(21)(21)(21)naaa，,,,12n
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n2aaa12n令， gn(),
21(21)(21)(21)naaa，,,,12n
n，1212(1)，，，，，，nn？， gn(1)，,
2313(21)(21)nnn，，，，，,，
2gnnnn(1)22484，，，，故， ,,,12gnnn()483，，2123nn，，
2323*？？？，,gngn(1)()，gn()单调递增，？,nN，gng()(1),,(( 0,,M33
不等式解法
11,,1. 2. ,,,,,23,,
a,,,,,，,(,1)(0,)3.
124.解:命题P为真命题函数定义域为R,,f(x),lg(ax,x，a) 16
a,0,1,21,a,2xa,0时,x,0对任意实数均成立解集为R，或 ? 命,ax,x，a,02,1,a,016,4,题P为真命题 ,a,2
(1,k)x，k,25. 原不等式即， ,0x,2
1?若k=0，原不等式的解集为空集;
2,k2?若1,k>0，即00， 1,k1,k
2,k?若01时，原不等式等价于 (x,)(x,2),0,1,k
2,k2,k此时恒有2>，所以原不等式的解集为{x|x<，或x>2}. 1,k1,k6. 解:原不等式等价于
11xxxx ，log(a,1),log(4,a),1，2log(a,1),log(4,a)222222
x2x log[(a,1),2],log(4,a)22
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x,a,1,0 (1)
,x4,a,0 (2)原不等式同解于 7 ,
,x2xaa2(,1),4,(3),
, 由??得,,,
1x2xx由?得 2(a),3a,2,0,,,a,22,?, 从而1,,
?当,,1时，原不等式解为,,,,,,?,,,, ,,
?当,,,,,时，原不等式解为,,,,,,,?,,, ,,
7. 解:(I)由题意得(100-x)?3000?(1+2x%)?100?3000， 2即x,50x?0，解得0?x?50，
又?x,0 ?0,x?50; (II)设这100万农民的人均年收入为y元，
2(100, x)?3000?(1+2x%)+3000ax ,60x+3000(a+1)x+300000则y= =100100
322=,[x,25(a+1)]+3000+475(a+1) (0
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