对导数解决函数恒成立问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与存在性问题的探究
关于用导数解决函数恒成立问题与存在性问题的探究
山东省平度市第九中学 王新民 导数,作为解决与函数有关问题的强有力工具,越来越受到高考命题专家的重视。其中,
利用导数解决函数恒成立问题或存在性问题中参数的取值范围,更是成为近年来高考的热点。解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想,下面笔者根据教学经验,通过自编的
一个题目介绍一下此类问题的解法,期望对考生有所帮助。
fxaxx()ln,,()a,R例:已知函数.
2,,,,xee,fx()0,? 若对,函数恒成立,求实数的取值范围。 a,,
2,,,,xee,fx()0,? 若,使得函数成立,求实数的取值范围。 a,,
2,,,,xee,fx()0,? 若,使得函数成立,求实数的取值范围。 a,,
2fxgx()(),,,x1,2? 设,若对,恒成立,求实数的取值范围。 gxxx()1ln,,,a,,
2fxgx()(),,,x1,2? 设,若,使得成立,求实数的取值范围。 gxxx()1ln,,,a,,
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
,lnx22,,,,xee,,xee,,fxaxx()ln0,,,解:?由题意知,恒成立,即,恒成a,,,,,x
,lnx1ln,x22,,,,xee,,,xee,,立。设,即,。而,,aFx,()Fx(),Fx()0,,,max2,,,,xx
2222,,ee,Fx()故在区间上为增函数,所以,所以。 a,,FxFe()(),,,max2,,2ee
,lnx22,,,,,,xee,xee,,Fx()?由题意知,使成立,即,。因为在aFx,()a,min,,,,x
112,,ee,区间上为增函数,所以,所以。 a,,FxFe()(),,,min,,ee
,lnx2,,,,xee,yFx,()ya,?由题意知,使成立,即与的图像有交点,故的a,a,,x
1212,,,,Fx()a,,,,Fx(),,,,取值范围即函数的值域。由??知,故。 22,,,,eeee,,,,
1fxgx()()0,,?由题意知,恒成立,即,恒成立,设,,x1,2x,1,2ax,,,,,,x
2x,11,Gx(),即,。而,,故在x,1,2Gx()0,,x,1,2aGx,()Gxx(),,,,,,min2xx
区间上为增函数,所以,所以。 1,2a,2GxG()(1)2,,,,min
1Gx()?由题意知,,x1,2,使成立,即,x,1,2。因为在区间aGx,()ax,,,,,,maxx
55上为增函数,所以,所以。 1,2GxG()(2),,a,,,max22
ax,111,?由题意知,且,而,故函fxa()0,,,,fxgx()(),gx()3,11max2min2minxx11
1222,,ee,数在区间上为增函数,所以,所以。 fxfeae()()2,,,fx()0,,a11max2,,e
2,,ee,?由题意知,且,因为函数在区间上为增函fxgx()(),gx()4,fx()1max2max2max1,,
222数,所以,所以。 fxfeae()()2,,,0,,a1max2e
2,,ee,?由题意知,且,因为函数在区间上为增函fxgx()(),fx()gx()3,1min2min2min1,,
2数,所以,所以。 fxfeae()()1,,,0,,a1mine
总结:一个变量一个函数的恒成立与存在性问题中的不等式问题,既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,关键是注意求函数的最大值还是最小值,存在性问题中的等式问题一般转化成函数值域问题;一个变量两个函数的恒成立与存在性问题,一般选择将一个函数先移项,之后既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,建议优先考虑分离参数;两个变量两个函数的恒成立与存在性问题,既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,因为是涉及两个变量的任意性与存在性,所以分离参数后最值的选择会困难些,因此建议优先考虑直接求函数最值。