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论文集:等比数列前n项和教学案例
等比数列前n项和教学案例
象山县第三中学 芦炳理
一、
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
描述
教学目标
1、通过探索等比数列前n项和公式的推导方法培养学生观察问题、分析问题的能力。
2、掌握等比数列前n项和公式并能灵活运用基本概念和公式解决简单的问题,锻炼学生的数学思维能力。
3、通过故事情景的发生、发展过程,自主探索一般结论,培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
重点与难点
重点:推导并掌握等比数列的前n项和公式
难点:由研究等比数列的结构特点,探索等比数列的前n项和公式。
教学过程
1、问题引入
印度有个发明家发明了国际象棋,国王玩了以后很高兴,于是决定奖励这个发明者,发明家没有向国王要金银珠宝,他的要求是让国王在棋盘上放麦粒,但是要求在第一个格里放一颗,第二格里放2颗,第三个格子里放4颗,依次下去,后面的格子里放的麦粒是前一格的两倍,棋盘共有64格,国王一听笑了,连忙答应。请你想一想国王能否满足发明家的要求,
教师活动:展示投影
学生:阅读投影内容,思考讨论,探索解决的办法。
63师:棋盘上格子里的麦粒数分别为1,2,4,„„2,这个数列的特点是,
生:公比为2的等比数列
时不能如此计算,因为这时分母为零。
63师追问:那么师:棋盘中共需要麦粒数为:1+2+4+„+2,这个属于什么问题,
生:等比数列前64项求和问题。(已学过等差数列求和,回答的很好)
师:大家能得出这个结果是多少吗,也好让国王有个准备(学生笑)
学生议论纷纷,相互讨论,得不到一般性的结论,有学生提出,如果象等差数列那样有个公式就好了。
师:(看到学生陷于被动,作了提示)我们今天这节课的主要内容就是来学习如何求等比数列前n项和的问题。如果这个问题能解决,那么刚才这个问题就属于求前64项和的一个特例了。根据等差数列的求和公式:大家对等比数列
的前n项求和公式有什么预期,
生:估计可以用首项、末项,公比和项数来表示
2、引入正题
师:很好,下面我们把问题一般化。(复习等比数列定义)
板书:一般地,设有等比数列a,a,a,a前项和为: 123n
师:我们希望得到一个类似于等差数列求和公式的结果,那么就应该去掉求和中的许多中间项,大家有办法做到这一点吗,
经过小组讨论、
总结
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,有一组学生作出如下推导过程:
生:=
师:(当即表扬学生)这个推导过程很好的体现了我们刚才的思路,充分运用了等比数列概念和作差相减这一技巧,成功的消除了中间项,得到了预期的结果,相当精彩„„
生:(教师话没讲完,有学生提出):当时怎么办,
生:q=1时属特殊情形,数列为常数列,每一项都相等,所以 师:很好,现在大家觉得我们该如何表达等比数列求和公式的结果, 生:应综合上述两点,分类讨论,写成分段函数:
na q=1 1
S= n
q?
师总结:这种方法很重要,由于设法消去了中间项,使得含有n项的求和公式变成仅含几项的式子,从而使问题得到解决,这种方法称为:”错位相减法”。而公式本身则体现了数学中的分类讨论的思想。
师:等比数列求和公式是否还有其他推导方法呢,
此时学生思维比较活跃,想到等差数列中叠加方法,写出如下式子:
可惜接下去学生停住了
师:等式的左边和我们的求和有什么关系, 生1:少了一个
生2:所以左边可以用来表示
生3:那右边就是比少了一项,可用表示 生4:这样就可以得到式子:接下来学生通过解方程顺利的得到了结果:
na q=1 1
S= n
q?1
3、巩固新知,深化拓展
教师总结:1、公式分q=1与讨论
2、变形
3、在公式中,共有5个变量,我们可以用方程思想做到知三求二
4、解决情景问题
经过计算,棋盘上的麦粒数为264-1颗,假定千粒麦子重40克,则总重量超过了7000亿吨,据查,目前世界年产小麦约6亿吨,大家想一想,国王能实现他的诺言吗,
5、例题
例1、已知等比数列
(1)求前8项的和(2)求第5项到第8项的和
例2、等比数列中,已知求n与q
例3、若等比数列中,求q
设计意图:例1主要让学生熟悉公式,例2主要培养学生运用方程思想与计算能力,例3要提醒学生不要忘了q=1这个情形
6、小结
(1)等比数列求和公式及推导方法
(2)思想方法回顾
二、教案分析
1、在教学过程中创设教学情景,注意教师的导向作用和学生的主体作用。把课堂活动的重点放在如何调动学生的主动性,让学生观察、分析、归纳概括,主动探索新知识获得新知识。通过对题目多方位多角度的练习,突出重点。教学过程中我尽力引导学生成为知识的
发现者,克服被动学习的情况。
2、本节课,本人从一段情景入手,引出等比数列前n项和公式的推导方法与计算公式,在教学中包含着许多的思想方法。如分类讨论的思想,方程的思想等。在课堂实施过程中,努力教给学生观察、思索、探究的的学习方法,通过疑问、暗示、课堂讨论等多种教学形式和方法,启发诱导学生,激励学生的学习兴趣,使他们自始至终处于一种积极进取的兴奋状态,使他们通过教师引导下的独立活动,自然而有效的获取知识、技能和技巧,使学生实现由“学会”到“会学”的转变。
3、在第二种推导方法中,学生相当可贵的得出了一个很好的雏形,教师稍加引导就能利用的关系得到最后的结果,也充分运用了方程的思想,值得提倡。