模态分析理论
机械模态分析理论基础 假设:系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统 线性:描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性; 定常:振动系统的动态特性(如质量、阻尼、刚度等)不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐激励-?响 应的频率必定与激励一致。 稳定:系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。 振动系统分类: 空间角度:离散(有限自由度)系统和连续(无限自由度)系统 时间角度:连续时间系统和离散时间系统 研究步骤: (1)建立结构的物理参数模型(以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程) (2)研究其特征值问题，求得特征值和特征矢量，得到结构的模态参数模型(模态频率、模态矢量、模态阻尼比、 模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数) 。正则化，解耦。 (3)通过研究受迫动力响应问题，可得到系统的非参数模型(频响函数和脉冲响应函数) 。频响函数和脉冲响应函 数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。 根据阻尼模型的不同，分为: 无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统 连续模拟信号--?离散数字信号
1、 单自由度系统的振动 ? x 粘性阻尼系统的振动微分方程: m?? ? cx ? kx ? f (t ) 自由振动: m?? ? cx ? kx ? 0 x ? 2 ? x 正则形式: ?? ? 2?x ? ? 0 x ? 0
其中: ? ? c k :衰减系数(衰减指数) ?0 ? ; :无阻尼固有频率(固有频率) 2m m
引入阻尼比(无量纲阻尼系数) ? ? : 运动微分方程可写成: 2 ?? ? 2?? 0 x ? ? 0 x ? 0 ? x ? c ? ?0 2 mk 特解为: x ? ?e ?t ， ? 为方程的特征值，因此:
(m?2 ? c? ? k )? ? 0 为使系统有非零解，很显然: m?2 ? c? ? k ? 0 因此可得
到 ? 的解为: ?1, 2 ? ?? ? j? d 式中: ? d ? ?0 1 ? ? 2 成为阻尼固有频率。
当: ? >1( ? ? ?0 ) ，过阻尼，系统不产生振动; 当: ? =1( ? ? ?0 ) ，
过阻尼，系统不产生振动; 当: ? <1( ? ? ?0 ) ，过阻尼，系统不产生振动。
可见，特征值 ? 实部代
表
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系统的衰减系数; ? 虚部代表系统的阻尼固有频率。在
振动理论中，特征值 ? 称为复 频率。 方程的通解(自由振动响应)为: x ? Ae ??t sin ?? d t ? ? ? ? ? 其中，A 和 ? 取决于系统的初始条件。当 t=0 时， x ? x0 , x ? x0 。 ? ? x ? ?x 0 A? x ?? 0 ? ? d ? x? ? ? tg ?1 0 d ? x 0 ? ?x 0 2
0 ? ? ? ? 2 2、 传递函数、频响函数
对于简谐激励: f (t ) ? Fe j?t ，其稳态响应: x(t ) ? Xe j?t h(t)单位脉冲外力下的
响应函数(简称为脉冲响应函数)，时域内反映系统的动态特性: x(t ) ? ? h(? ) f (t ? ? )d? ?? ? H(ω)机械导纳，反映系统对不同频率的激励的传递放大特性，
反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性 H (? ) ? X (? ) F (? ) 对于单
自由度粘性阻尼振动系统，通过拉氏变换和傅氏变换可得到: (k ? jc? ? m? 2 ) X ? F 所以，位移频响函数为: H (? ) ? X (? ) 1 ? F (? ) k ? m? 2 ? jc ? 速度频响
函数为: H V (? ) ? V (? ) j? ? F (? ) k ? m? 2 ? jc ? 加速度频响函数为: H
A (?) ? A(?) ??2 ? F (?) k ? m? 2 ? jc? 频响函数的倒数成为阻抗。 单位脉冲响应
函数(简称为脉冲响应函数) :振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。
? (t ) ? ? 单位脉冲力 ? (t ) 是指:脉冲量为 1，作用时间无限短的瞬时力:
? ?? ??, t ? 0 ? 0, t ? 0 且， ? (t )dt ? 1 ? ? 质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为: mx0 ? 1，则自由振动的初始条件就为: ? x0 ? 0, x0 ? 1 m 可得到系统的自由振动响应: h(t ) ? 1 ?? t e sin ?d t m?d 就是脉冲响应函数。 很容易
证明
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频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对: H (?) ? F?h(t )? (1) 简谐激励 结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。 f (t ) ? Fe j (?t ? ? ) x (t ) ? Xe j (?t ? ? ) X j ( ? ?? ) H( ?) ? e F 工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结构影响很小。 而且由应变可计算得到应力，工程中常常通过测量得到应变模态。 (2) 周期性激励 周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。 响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成。 (3) 瞬态激励 激励和响应都是非周期信号。 但是对于绝对可积的函数， 可应用傅立叶变换得到激励和响应的频率域函数: F (? ) ? ? X (? ) ? ? ? ?? ? f (t )e? j?t d t x(t )e ? j?t d t ??
? 因此， H(?) (4) 随机激励 X (? ) F (? ) 为非确定性的激励，无法用一
个明确的函数来描述，不绝对可积，不能对激励和响应进行傅立叶变换，只 能用概
率统计的方法来处理。 在时间域:相关函数 在频率域:功率谱密度函数 G xf ?) ?
Rxf (? )e ? j?? d? ( ? ?? ? G xf ?) F Rxf (? ) ( ? ? ? 很显然， X( ?) ? H(?)F (?) 无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导: 1) ? X (?)F* (?) ? E H (?)F (?)F* (?) ? ? ? ? G (? ) ? H1 (? ) ? xf G ff (? ) 2) ? X (?) X * (?) ? E H (?)F (?) X * (?) ? ? ? ? G (? ) ? H 2 (? ) ? xx Gxf (? ) ?? 2 (?) ?
fx Gxf (?) 2 Gxx (?)G ff (?) 相干函数可以检验系统的非线性程度，如测
量对象在某处联接存在松动等非线性情况，系统非线性等。 当输入和输出存在噪声，
也会使相干函数下降。 ? H1 (? ) ? H G 1 ? MM G ff
? G ? ? H 2 (? ) ? H ? ?1 ? NN ? Gxx ? ? ?? 2 (? ) ? fx 1 ? ?? ? ?1 ? GMM ??1 ?
GNN ? ? G (? ) ?? G (? ) ? ff xx ? ? ?? 输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小;
输出存在噪声，会使估计的频响函数偏
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