二阶变系数常微分方程求解方法的文献综述
文献综述
前言
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。二阶变系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶变系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。
主题
牛顿最早采用
数学
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方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。
常微分方程的概念、解法和其它理论很多，张孝理在《二阶线性微分方程求解的一个新方法》中构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法，分离变量法在所给条件下，将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程，并指出这种转化所作的
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数变换，从而得到了变系数一阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型，推广了前人的可积性结果，扩大了微分方程的求积范围。而杨万顺在《二阶变系数线性常微分方程的求解》里讨论了系数满足一定条件下微分方程的初等解法，并举例说明它的一些简单应用。
二阶变系数常微分方程求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，关于通解的求法及
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达式，梁红亮和徐华伟的《一类二阶变系数常微分方程的初等解法》中给出了一类二价变系数常微分方程可积的充分条件及其通解表达式，并举例说明它的此简中应用。刘琼在《一类二阶变系数微分方程的解》中通过变量变换，将变系数线性常微分方程化为常系数线性常微分方程，再利用常数变易法给出了一类二阶变系数非齐线性微分方程的通解。何基好和秦勇飞在《一类二阶线性变系数微分方程通解的解法》中研究了一类二阶线性变系数微分方程通解的解法，也利用特解和常数变易法，给出一类二阶线性变系数微分方程的通解
公式
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。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解的解法研究问题上来。
一个常微分方程是否有特解，如果有，又有几个,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。李高和常秀芳的《关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究》和冯录祥的《一类二阶变系数非线性微分方程的通解及应用》中，都连续两次利用降阶
法求得二阶变系数线性微分方程通解或特解的一般方法。张金战的《二阶常系数线性非齐次微分方程的通解》中在已知二阶常系数齐次微分方程的一个特解的条件下，讨论了求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解的方法，从而根据齐次方程的特征根的不同情形给出了非齐次微分方程的通解公式。周文在《一类二阶微分方程求特解的简便方法》中，对二阶常系数非齐次线性微分方程的两种类型求特解的方法进行了简化。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题，因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法是十分重要的。杨瑞在《一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解研究》中，对于二阶常系数非齐次线性微分方程，给出了求特解的简易方法，并且这种方法易于在计算机上进行编程计算。因此，利用这种方法可以圆满地解决此类微分方程求特解的实际计算上的问题。
所有的这些关于二阶变系数常微分方程解法的研究都为我们今后进一步研究常微分方程提供了基础。
结论
现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次线性微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
参考文献
[1]冯录祥.一类二阶变系数非线性微分方程的通解及应用.三峡大学大学学报(自然科学版).2011, 33(5):96-98.
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[5]何基好,秦勇飞.一类二阶线性变系数微分方程通解的解法.贵州大学学报(自然科学版).2009, 26(6):1-3.
[6]梁红亮,徐华伟.一类二阶变系数常微分方程的初等解法.数学实践与认识.2009,39(20):213-216. [7]周文.一类二阶微分方程求特解的简便方法.数学理论与应用.2005,25(4):113-115. [8]刘琼.一类二阶变系数微分方程的解.广西右江民族师专学报.2002,15(6):18-20. [9]张孝理.二阶线性微分方程求解的一个新方法.湖南师范大学自然科学学报.2002,25(1):9-14. [10]杨瑞.一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解研究.河南科学.2000,18(4):339-343.
数学与应用数学(师范类)专业学年
论文
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(一)
二阶变系数常微分方程的解法研究
献 综 述 文
学 生 姓 名: 金淋淋
学 院: 师范学院
专 业: 数学与应用数学
班 级: B1003
学 号: 1314100318
指 导 教 师: 聂锡军
浙公网安备 33021202002483