(DOC) 广义积分敛散性的一个判别准则

(DOC) 广义积分敛散性的一个判别准则 广义积分敛散性的一个判别准则 2Ol2年2月 第25卷第l期 十堰职业技术学院 JournalofShiyanTechnicalInstitute Feb.,20l2 Vo1.25NO.1 广义积分敛散性的一个判别准则 韩建玲 (闽南理工学院信息管理系,福建石狮362700) [摘要]运用定义及比较审敛法在判断广义积分的敛散性时,会由于被积 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数不存在初等函 数的原函数或用来比较的函数较难选择而产生困难,为解决该问题,从无穷小与无穷大出发,研 究广义积分的敛散性,得到一个比较实用的判定准则. [关键词]无穷小;无穷大;无穷积分;瑕积分;敛散性 [中图分类号]O172.2[文献标识码]A[文章编号]1008—4738(2012)01—0095—03 广义积分包括两类,第一类为无穷积分,如 r.+?t’b If(x)dx;第二类为瑕积分,如If(x)dx,且JdJn limf(x)一..,即n是厂(z)的瑕点.对两类广义积 分敛散性的判别一般是根据定义或比较审敛法,前 者是找到被积函数的原函数F(),再来确定极限 limF(z)一F(n)或F(6)一limF()是否存在,极 _’+..r. 限存在则积分收敛,否则发散;后一种方法是找到一 个合适的” 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ”,通过比较来判断积分的敛散性.如 果无法找到被积函数为初等函数的原函数,或被积函 数形式复杂,比较”标准”选择困难,两种方法就会失 效.本文尝试从无穷小与无穷大出发,来讨论广义积 分的敛散性,由此得到敛散性判别的又一方法. 1理论介绍 1.1无穷小与无穷大c O 设函数厂(z),g(z)在己厂(n)上由定义,且g(z) ?o,其中a可以是+cx3,一o.,?. 1)若lim今=o,记为z):o[g(z)]—n)-ngz) 如果,(z),g()当z—a都是无穷小(或都是 无穷大)时,称厂(z)是g(z)的高阶无穷小(厂()是 g()的低阶无穷大或g()是,(z)的高阶无穷 大). 2)若lim:=k4:0,记为z)一c()]一d) r-ngZ一 如果厂(),g(z)当z—a都是无穷小(或都是 无穷大)时,称fix)与g()是同阶无穷小(或同阶 无穷大). 1.2无穷积分敛散性的判定嘲 设函数,(z)在区间[n,+..)连续,且fix)? 0.若z一..时fix)是的高阶无穷小,则积分 If(x)dx收敛,否则积分发散. 证明:由于X一..时fix)是的高阶无穷 小,有lim—fix)一0, 即limxf(x)=0.(1) 对于积分lf(x)dx,总存在数b?(n,+ oz),使得 f+?rbr?If(x)dx—If(x)dx+If(x)dx(2) JnJt,lJ6 式(2)中,右边第一项为常义积分If(x)dx,第 二项Ifix)dx为无穷积分,由无穷积分的定义可 以得到 r+..rclf(x)dx—limIf(x)dx — lim厂()(c——6) (6<<c)(积分中值定理) = lim[(一bf()] 因为b<<C,C一+..,于是一+?. [收稿日期]201卜12-04 [作者简介]韩建~(1968一),女,闽南理工学院信息管理系高级讲师,硕 士研究方向:数学教学. 韩建玲:广义积分敛散性的一个判别准则 由于.厂(z)是一.×.时的无穷小,lim厂(z)一 0且limxf()一0(3) 因此lira厂()一0,lira厂()一0 嚣. 所以If(x)dx一0,则此时积分If(x)dx 收敛. 若z一..时厂()不是的高阶无穷小,即lim 一 k?0,则一k+A,其中limA=::0, 11—-.. >(z)>.由此)dr> k_ d,而积分r生发散.由比较审敛法可知 If(x)dr发散. 所以在判断If(x)dx的敛散性时,只要f-0断 极限limxf(x)即可,若极限为零,则积分收敛;若极 限不为零,则积分发散. 1.3瑕积分敛散性的判定 设函数,(z)在区间(n,连续,且,()?0,a 是厂(z)的瑕点.若z一时厂(z)是南0< p<1)的低阶无穷大,则积分lf(x)dx收敛;若X 一 口+时()是的同阶或高阶无穷大,则积分 If(x)dr发散. 证明:由于,(z)是南的低阶无穷大,则 lim—:o,对v,>o,有 r?n + (一口) jJ<e,一ll, If(z)lax<flI不妨取s_1) 而积分I南I收敛,由比较审敛法,可知广6 If(x)dx绝对收敛,即收敛. 由于lira(z一口)一0,1im—一一?,因此 一 96一 是一+时的无穷大,而lim二一 i … m +(.X:--a)(卜-_O(0<<1),故南’o<P一?”,一… <1)是的低阶无穷大. Y. 一 lim + 一 一 lim + f(x) … lim + 一 一?——=一一?———一=—一—d——=一 0,因此厂(z)也是的低阶无穷大,即说明_厂() 是—一的低阶无穷大时,积分lf(x)dx收敛.1r6 X—aJ” 若,(z)是的同阶或高阶无穷大,有lira --k~O, lx--af<妨…,z一”I——l 华>k+1)>,)dr> d. 而积分bdz发散,由比较审敛法可知 If(x)dx发散. 方法:若有极限lira(一口)厂()一0,则积分 收敛;若lim(z一口)厂()一是?0,则If(x)dx发 散. 2例题说明 例1判定积分I,.+? Jo 散性. 擎一出发散的敛瓦出欹剐烈 解:f(x)一 X等,X蔷Xz一十么p一’一十 3 一 — im , -二二===o,故原积分收敛. .. 1n(1-t-)n 例2判定积分I——rdx的敛散性. z(P—lJ 解:一..时,1n(1+旦),旦,导一1,, XZZ in(1+旦) 厂(z)=——了— (一1) 十堰职业技术学院20l2年第l期第25卷第1期 In(1+) lim—.一 …(P{一1) 分发散. 例3判定积分l士.7C的敛散性.Jllnx 解:z一1是f(x)一志的瑕点,一1) 一 1 一= 一 1 lnxT一?.一一丽 一 ?u 故积分Ir~g-=dx发散. Jl1l1JL 例4判定积分r-王dx的敛散性.例4判定积分I兰的敛散性. 解:z一1是厂(z)一在区间(1,+ ..)的瑕点,原积分既是瑕积分也是无穷积分. 原式一J_i出+..坐dx 上式右边第一项为瑕积分 lim(z一1)可sin2(x--1) :lim一0 r1+—l1+十1 故f.韭dx收敛.J1一 l 第二项为无穷积分, =sin.(—1)一o, … .r一一l(,)一l 故r?dx收敛. 因此原积分收敛. 3结束语 由无穷小与无穷大出发,通过对广义积分敛散 性的研究,得到了判定准则:若是无穷积分 l()dx,则对函数_厂(z)乘以,极限limxf(x) 为0则收敛,否则发散;瑕积分I(豇)dx(n是瑕 点),则对函数,(z)乘以(—n),极限lim(z— z一 “),(z)为0则收敛,否则发散. [参考文献] [1]刘玉琏,傅沛仁,等.数学分析讲义:第五版[M].北京: 高等教育出版社,2008:116一ll7. [2]云士伟.许超,等.无穷小的阶在计算中的应用[J].洛 阳工业高等专科学校,2OO2(9):26—27. MethodofTestingConvergenceandDivergenceofGeneralizedIntegral HANJian-ling (Dept.ofInformationmanagement,MinnanUniversityofScienceandTechnology,Shishi362700,China) Abstract:Testingconvergenceanddivergenceofgeneralizedintegral.willmeetdifficultiesbecauseintegranddoesnotexist elementaryfunctionsoftheoriginalfunctionormoredifficulttochooseafunctiontocompare.Tosolvethisproblem,the convergenceofgeneralizedintegralisstudiedfromtheinfinitesimalandinfin iteandamorepracticalevaluationcriterionis gained. Keywords:infinitesimal;infinite;theinfiniteintegrals;improperintegral;co nvergenceanddivergence 积 原 知 可 O 3—2 一 旦三 n? 一 一