目标数量折扣下的报童模型研究

目标数量折扣下的报童模型研究 目标数量折扣下的报童模型研究 摘 要 在本篇论文中研究了经典报童模型和享有数量折扣下的报童模型特别是重点 研究了针对目标数量折扣下的扩展报童模型数量折扣就是生产商为鼓励零售商加 大订货量常对订货量达到一定数量时给与的订购价格折扣 本文针对易腐性商品在下列条件下找出最优订购量与销售时的最优定价以 达到总期望利润最大化的目标1两阶段定价即在有效期限内与有效期限外 分别定制不同的价格2有效期限内的需求量为符合需求法则的随机变量简称 概率性需求3进货时可享有数量折扣的优惠4经营主体为零售商在上 述情况下运用最优化理论及数值分析方法经由逐步分析讨论求出最优订购 量与最优定价以达到总期望利润最大化的目标最后提出六点结论对进一步 研究的方向进行了展望供以后继续研究和实际应用的参考 关键词易腐性商品两阶段定价概率性需求数量折扣 I 目标数量折扣下的报童模型研 究 Abstract In this paper we studied the classic newsboy model and quantity discounts in the newsboy model especially the quantity discounts in the newsboy model is studied Production departments to encourage sale departments to increase ordering quantities and often provides an order quantity required quantity give quantity discounts In this paper we find out the optimal ordering quantity and pricing policy to imize the total expected profit for perishable goods The conditions of this study are following 1 Two-stage pricing the one is before validating-date the other is after 2 Before validating-date the demand is a probabilistic random variable 3 With quantity discount in incoming purchase 4 The decision object is sale department Applied optimization technique and computerize numerical analysis method we narrow down the searching area sequentially and find out optimal solution finally Six conclusions are drawn for future applications and studies Key words perishable goods two-stage pricing probability demand quantity discounts II 目标数量折扣下的报童模型研究 目 录 前 言 1 第一章 经典报童模型 3 11 问题的提出 3 12 问题描述 3 13 问题分析及假设 3 14 模型的建立 4 第二章 未考虑数量折扣的报童模型 8 21 研究问题 8 22 模型建立及求解 8 com 符号定义 8 com 问题分析 8 com 问题求解 9 第三章 考虑数量折扣的报童模型 11 31 求解局部最优解 11 com 目标数量折扣含义 11 com 模型分析及建立 11 com 性质及 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 14 com 结论 15 32 求解全域最优解 15 com 模型建立 15 com 模型推广 17 第四章 实例分析 19 41 经典报童模型实例 19 42 未考虑数量折扣的报童模型实例 20 43 考虑数量折扣的报童模型实例 23 第五章 结论 29 51 重要结论 29 III 目标数量折扣下的报童模型研究 com 结论 29 com 研究意义 29 52 缺陷 30 53 应用前景展望 30 参考文献 31 致 谢 32 声 明 33 IV 目标数量折扣下的报童模型研究 前 言 易腐性商品在现实生活中和理论研究中都受到很大程度的重视在实际情况 中易腐性商品的订购定价及管理非常不容易订购的太多卖不完订购的太 少供不应求顾客抱怨售价定太高容易滞销定太低则造成亏本货品管理 上也比一般商品复杂因此易腐性商品的订购管理与定价方式对于实际应用很 受重视从理论上看易腐性商品的最优决策研究也有其一定程度的学术价值 因为易腐性商品有其一定的寿命商品的价值随时间的变化而变化在需求不确定 且价格会影响需求量的情况下如何用最优化理论在各种限制条件下找到最优解 [4] 以符合期望的目标深受学术界关注 经典报童问题中产品的时效性很强例如报纸鲜花时尚服饰等或者是由 于产品的保质期很短或者因为市场的需求周期不长需要及时进货及时销售 同时市场的需求量随机变动零售商需要在一个很短的周期内做出进货决策如 果进货量超出市场的需求量就将承受剩余商品以低于进货成本价格处理后的损 失反之造成商品短缺而带来的错过销售时间的损失因此问题核心是寻找最优订 购量与最优定价使期望收益最大或损失最小 由于易腐性商品的种类各异性质不一而且各种限制条件也不不全相同所 以最优决策的求解过程与方法不同有很大的研究价值在易腐性商品的研究中 以报童模型最为基础也最为有名报童模型是指易腐性商品在两阶段定 价有效期限内和有效期限外都为已知的情况下寻找最优订购量使其总期望 利润最大化由此可知报童模型适用于易腐性商品的情况在零售的情况下 两阶段的售价已知并且固定单位进货成本成为一个固定值有效期限内的需求量 为一随机变量有效期限外的需求量在某一特定价格下趋于无限大即需求弹性无 限大符合上述条件的易腐性商品以报纸最为典型故以报童模型为例 然而在实际上有些易腐性商品在有效期限内的售价并非固定值而仅受需 求法则所限制即售价越高需求量越低售价越低需求量越高而且需求量 在各种价格下除受需求法则所限制外也为一随机变量同时进货的数量多少而 享有不同的折扣基于以上方面本文将针对报童模型加以探讨研究推广 使其能够应用于更大的范围简而言之本文针对易腐性商品在享有进货数量折 扣的情况下有效期限内的售价受需求法则所限制而需求量除了受需求法则影响 1 目标数量折扣下的报童模型研究 外也为一随机变量在此情况下决定最优订购量和最优定价使总期望利润达 [9] 到最大化的目标 2 目标数量折扣下的报童模型研究 第一章 经典报童模型 11 问题的提出 在日常生活中经常会碰到一些季节性强更新快不易保存等特点的物品 如鲜花新鲜海产时装生鲜食品和报纸等因此在整个的需求过程中考虑一次 进货也就是说当存货售完时并不发生补充进货的问题这就产生一种两难的 局 面订货过多出现过剩会造成损失订货过少又可能失去销售机会影响利 润以报童问题为例报童每天早晨从邮局订购报纸零售到晚上卖不完的报纸可 退回不过每份没有销售掉的报纸以一个大大低于成本的价格被退掉如果报童每 天订购的报纸太少不够卖时会少赚钱如果订购的报纸太多卖不完时会赔钱 试为报童筹划一下报童应该如何确定每天订购报纸的数量以获得最大的利润 12 问题描述 假设报童每天清晨从邮局购进报纸零售晚上将没有卖掉的报纸以低于进货价 c 格退回已知每份报纸订购价格为 出售一份报纸价格为p 卖不出去退回邮 x 局的每份报纸的价格为q 根据以往经验可知每天的报纸需求量为 份的概率为 x x p x 离散型或每天需求量为 份的概率为 连续型问报童每天应订购多 少份报纸才能使其总期望利润达最大值 13 问题分析及假设 报童应该根据需求量确定订购量而需求量是随机的所以这是个决策问题[16] 假定报童已经通过自己每天的卖报经验或其他渠道掌握了需求量的分布规律就可 以建立关于订购量的优化模型了 n 假设报童每天的订购量为 份因为需求量是随机的所以订购量也会随之相 应变化因此优化模型的目标 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 不能是报童每天的收入而应该是他在一段较 长时间内卖报的平均收入这相当于报童每天收入的期望值以下简称为总期望利 润 为建立模型假设条件可归纳如下 1有足够的报纸可供报童购买 3 目标数量折扣下的报童模型研究 2 当天的报纸卖不出去到明天就没有人再买要以低于进货价格退回 3 每份报纸在当天什么时候卖出是无关紧要的 4 报童除了买报所需费用以外其它费用如交通费摊位费等均不在考 虑范围内 14 模型的建立 n x 假设报童每天订购量为 份顾客每天需求量为 是一个随机变量显然若 n x n n 订购量 小于需求量 则全部订购量 以价格p 出售若订购量 大于或等于需 x n x 求量 则以低价q 退回 邮局 份报纸 因此报童的总期望 利润为 1离散型 n ? [ ] T n p c x n x c qp p c np ? ? 1 x x x 0 x n 1 2 连续型 n ? T n p c x n x c q x dx p c n xdx [ ] 1 ? ? 0 n n T n 最大 报童需要做出决策确定一个最优订购量 使得 1 一般情况下需求量x n x 的取值和订购量 都相当大将 视为连续变量更便于 x 分析和计算以下将需求量 视为连续随即变量考虑问题 即报童平均每天的总期望利润函数为 n ? T n p c x n x c q x dx p c n xdx [ ] 1-1 1 ? ? 0 n ? ?x dx 1 0 4 目标数量折扣下的报童模型研究 ? n ? ?x dx 1 x dx n 0 n 0 T n n 对 1 对 求 一阶导数得 dT n 1 dn d n n ? p c x x dx c q n x x dx p cn xdx dn ?? ? 0 0 n d n n ? q c n x dx x x dx p cn x dx ? ?dn ? 0 0 n n ? q c x dx p c x dx ? ? 0 n n n q c x dx p c p c x dx ? ? 0 0 n p c q p x dx ? 0 令 dT n 1 0 dn 得 n p c x dx ? 1-2 0 p q n 0 T n n 对 1 对 求 二阶导数得 5 目标数量折扣下的报童模型研究 d T n 2 1 d 2 T n1 dn dn d n p c q p x dx dn ? 0 q p n p q 且 n 0 d T n 2 1 q 2 p n 0 1-3 dn d T n 2 1 0 dn2 T n [1] n 即 1 为凹函数 即使报童的总期望利润达到最大值的最优订购 量 应满 足式1-2 ? n ? ?x dx 1 x dx n 0 式1-2还可以表示为 n n p c ?x dx ?x dx 0 0 c q p c 1-4 ? ? p c c q 1 1 x dx x dx ? ? c q n n x 在图1中用 1 2 分别表示曲线 下的 两块面积如图所示 6 目标数量折扣下的报童模型研究 图 1 由 x 确定n 的图解法 n ? x dx x n x dx 其中 1 ? 是需求量 不超过 的概率即卖不完的概率 2 ? 0 n x n n 是需求量 超过 的概率即卖完的概率所以式1-4表明订购量 应该是卖 不完与卖完的概率之比恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比显 然 当报童每份赚钱与赔钱之比越大时报童的订购量就应该越多 7 目标数量折扣下的报童模型研究 第二章 未考虑数量折扣的报童模型 21 研究问题 易腐性商品在有效期限内的需求量在任何价格下皆为一随机变量售价与期望 需求量之间符合需求法则且在订购时享有数量折扣的情况下探讨如何决定最优 订购量与最优定价使总期望利润达到最大化因此必须建立一个总期望利润的 函数并利用最优化理论的分析方法找出可使总期望利润最大化的最优解并建 立数学模型本章主要研究未享有数量折扣的报童模型 22 模型建立及求解 com 符号定义 符号定义 n 订购数量 p 单位售价 c 未折扣之前单位进货成本 0 1 ?r r 折扣率 x 有效期限内的需求量为一随机变量 x x 的概率密度函数 q 有效期限后的单位售价q c A 有效期限内的边际利润 B 有效期限后的边际损失 F n 需求量等于订购量时的累积概率密度 com 问题分析 情况一当x n 时表示在某一特定价格p 下有效期限内的需求量小 于订 购量因此剩下n x 的量必须留到有效期限外在以较低的价格q 销售出去 由 c n x 于q 比进货成本 还要低形同以残值的方式处理因此假设 的量皆能以 q 价格全数处理完故在x n 的情况下其总利润为 8 目标数量折扣下的报童模型研究 x p c n x q c x A n x B 其中 A p c B q c 情况二当x ?n 时表示在某一特定价格p 下有效期限内 的需求量大于或 等于订购量因此所有的订购数量皆可在有效期限内销售出去其总 利润为 n p c n A com 问题求解 因为在给定价格p 下的情况和经典报童模型相同所以在 这种情况下的总期望 利润函数也可以表示为式1-1函数凹凸性也可由式1-3判断这里 主要论 述价格变化情况下的报童的总期望利润[11] T n n P 由公式1-3可知 1 为 的凹函数因此在特定 的价格 下使得总期 望利润取最大值的最优订购量可通过数学分析方法求解 T n n 0 由微积分的函数极值定理可知将 1 对 求一阶导数并令其为 可找出在 特定价格p 下的最优订购量即 dT n 1 n p c q p x dx ? 0 dn 0 n p c x dx ? 0 p q A F n 2-1 A B 9 目标数量折扣下的报童模型研究 1 A n F 2-2 A B 然而在实际生活中有些易腐性商品在有效期限内的售价并非固定值而 仅受需求法则所限制即售价越高需求量越低售价越低需求量越高而且 需求量在各种价格下除受需求法则所限制外也为一随机变量故找出在各种 售价 [5] 下的总期望利润最大的最优订购量更符合实际需要 所以在各种售价下的总期望利润最大的全域最优解为 1 A n Arg p F p 2-3 A B T n 由于 1 为一积分式无法直接求解必须将它转换成累加式并用数 值分 析方法求出该积分式的近似解如下所示 T n 1 n ? x A n x B x dx n A x dx 2-4 ? ? 0 n n ? lim x A n x B x x lim n A x Δx Δx 0 ? Δ Δx 0 ? x 0 x n x Δx n 其中 的每次增量为 且订购量 符合公式2-5 的限制 事实上Δx 的大小要看商品的特性及交易时需求量的最小计算单位而 定 10 目标数量折扣下的报童模 型研究 第三章 考虑数量折扣的报童模型 31 求解局部最优解 com 目标数量折扣含义 本文所要讨论的目标数量折扣是一种简单但很常用的 折扣形式如果零售商的 订货量超过了某一数量 生产商将对他订购的产品给予一定 的价格折扣其实质就 是目标数量折扣 com 模型分析及建立 [8] r g n 所谓数量折扣 是指折扣率为进货订购量的函数即 另一方面从 n 事实的角度来看上述函数应属于分段函数且为随 增加而递 减的分段函数即 订购量在一定范围内属于某一特定的折扣率数学模型如下所 示[14] ? 10n n 1 ? r n n n 1 1 2 ? r n n n r g n 2 2 3 3-1 ? ? r n n k k 其中 0 r1 i12 ?k i 在考虑数量折扣下可仿照公式1-1得出在已知价格为p 与折扣率为r 的 i 条件下总期望利润函数为 11 目标数量折扣下的报童模型研究 T n2 n ? [ ] 3-2 x p r c n x q r c x pdx n p r c x p dx i i i ? ? 0 n n ? x A n x B x p dx n A x p [dx i i ] i ? ? 0 n n其中A n p?n r c B q r c i i1 i i i i n 0T n n 对 2 对 求一阶导数得 dT n 2 dn d n n ? A x x p dx B n x x p dx A n x p dx ? dn i ? i ? i 0 0 n d n n ? B n x p dx x x p dx A n x p dx ? ? dn i ? i 0 0 n n ? B x p dx A x p dx ? i ? i 0 n n n B x p dx A A x p dx i ? i i ? 0 0 n A B A x pdx i i i ? 0 dT n 2 令 0 则 dn n A i x p dx 3-3 ? A B 0 i i n 0T n n 对 2 对 求二阶导数得 12 目标数量折扣下的报童模型研究 d T n 2 2 d 2 T n2 dn dn d n A B A x p dx i i i ? dn 0 B A in p i q p n p p q 且n p 0 d T n 2 2 q p n p 0 3-4 dn2 d T n 2 2 0 dn2 T n 即 2 为凹函数 T n n 由公式3-4 可知 2 为订购数量 的凹函数因此可在 每一特定订购数 T n 量范围内找出可使 2 为最大值的最优订购量由具有限制 条件的极值定理 T n 可知任意函数的极值必在稳定点或边界条件上已知 2 为一凹函数因此极 0 值必在一阶导数等于 的点或边界上即 令 dT n 2 0 dn 则 n A i x p dx ? A B 0 i i n 得到未考虑边界条件的最优订购量 为 1 13 目标数量折扣下的报童模型研究 A i 3-5 F n p 1 A B i i 1 Ai p 1 r c i n p F F 3-6 1 Ai Bi p q n 由公式3-6 可知当r 值越小时在给定价格p 下其最优订购量 越 大 i 1 现在将边界条件考虑进去则符合边界条件的最优订购量n2 为 n 2 Arg T n 3-7 2 n Δ n n IFn n i1 1 1 i n IFn n n ? 1 1 i 1 i ? n IFn n 1 i i 其中Δn 表示订购量的最小计算单位 由公式3-7 可发现在给定的p 与r 的情况下最优订购量n2 仅可 能出现 i 在上述三个特定点上因此不须采用穷举法可简化搜寻范围提升求解分析 com 性质及证明 有了上述分析之后本研究为了进一步精简求解过程推导出如下性质之一 作为进一步缩小搜寻范围的依据 性质 1 n设 p 为未考虑折扣因素下的全域最优订购量与最优定价则在考虑折 un un 扣因素后的最优订购量不必小于n un 证明 已知 14 目标数量折扣下的报童模型研究 T n 1 un n ? un [ ] x p c n x q c x p dx n p c xp dx ? un un un un ? un un 0 n un n ? [ ] x p c n x q c x p dx? n p c xp dx n p ? ? 0 n 考虑折扣率之后则 T N 2 un n ? un x p r c n x q r c x p dx n p rc xp dx [ ] ?un i un i unun un ? i un 0 n un n ? [ ] x p r c n x q r c ? x pdx n p r c x p dx h h h ? ? 0 n n nn n且?n ? r r 得证 un h h1h i com 结论 由性质1可知在考虑折扣因素之后最优订购量必然大于或等于n 因此 un 由性质1可获得如下的重要结论 p 1r c i 1 当F n 则在该特定价格下不存在最优订购量 un p q 2 因考虑折扣下的最优订购量大于或等于n 故与它对应的折扣率必小于或等于 un