准周期Fibonacci不等能格点链的hopping电导

准周期Fibonacci不等能格点链的hopping电导 Ξ 准周期 Fibonacci 不等能格点链的 hopping 电导 )))112丁建文 颜晓红 方显承 【摘要】 考虑格点能的客观差异 ,从 Miller - Abrahams 理论推导出一个实际应用方程. 利用实空间重正化群方法 研究了 Fibonacci 准晶链的温度相关电导. 结果发现不等能格点链的 hopping 电导与等能格点链的基本相似 ,但格 点能的差值不同可能使电导率虚部的低频峰变成一个谷 ; 而且计算表明高低频电导率有两种不同的温度依赖 性 ,并且跃迁率 、格点能 、格点距离及费米能对温度相关电导有不同的影响. 主题词 Fibonacci 准晶 ; 重正化群方法 ; 温度相关电导 分类号 O738 1 准晶结构的发现,突破了固态物质分为晶态和非晶态两大类的传统观念 ,为凝聚态物理 2 开辟了一个新的研究领域 . 一维 Fibonacci 准晶的实验发现及一维 Fibonacci 超晶格的成功制34 ,6 备 ,推动了对准晶物理性质广泛而深入的研究 ,如对电子谱和声子谱的研究及一些可以 7 ,10 7 8 直接测量的物理量如电导率等的研究. Sutherland 等和 Roy 等利用转移矩阵方法研究 了一维 Fibonacci 准晶的 Landaur 电导 ,发现其电导随样品长度及能量而变化. 在假定格点能相 9 10 11 () 等的条件下 ,Aldea 等和 Newman 等利用 Miller - Abrahams M - A方程研究了一维 Fi2 bonacci 准晶的电导率与外场频率的关系 ,得到了一些有趣的结果 . 最近的实验和理论都表明 12 ,14 准晶的 DC 电导随温度及纯度而变化 ,显示出不同于一般金属和晶体的反常电导行为 . 考 虑格点能的客观差异 ,本文研究一维 Fibonacci 准晶链的 hopping 电导及其影响因素.1 格点能不等的 Miller - Abrahams 方程 ωit 考虑格点能的客观差异 ,我们导出了加有外电场 Ee时一维晶格链对应的 M - A 方程为 (ε)1 - f II n ω1 1 n - 1 n + 1i()ω 1 + + I = + + iEd ? n n (ε)CUC C1 - f C Cn nn + 1nn + 1 nn + 1 ε其中 表示一个电子局域于格点 n 的格点能 , U是无外场时单个电子从第 n 个格点向第 n + n n 1 个格点的跃迁率 , I和 d如文献 [ 10 ,15 ] 所定义分别表示格点 n 到格点 n + 1 的电流和距 n n 离 ,参量 C和费米函数均与格点能和温度有关 ,分别表示为 n ε - ε ) ΠkT - 1 (2 n F (ε) (ε) (ε) ()] . C= e f [ 1 - f ]/ k T , f = [ 1 + e 2 n n n n 一维体系晶格链的电导率表达式则简化为 1 σ = I d ,()3 n n 6 EL n 其中 L 为初始链的长度. 因而由此可求出各种一维体系的温度相关电导 . 2 Fibonacci 链和重正化群方法 我们这里以 Fibonacci 准晶链为例 . 该链由两类格点 A 和 B 按 Fibonacci 序列的迭代规则 A () () Ξ 国家自然科学基金 59871044和湖南省自然科学基金 96WLX001010共同资助项目 ) ) 作者单位 :1湘潭大学物理系 ,湘潭 , 411105 ;2中科院固体物理研究所 ,合肥 ;第一作者 ,男 ,1966 年生 ,硕士 ,讲师 收稿日期 :1998 12 28 ε?AB 和 B ?A 从一个 A 格点开始迭代而成 ,格点 A 和 B 的参量{ d,, U} 分别选取为{ d, n n n A εεαβ γ , U}和{ d,, U} . 根据格点在链中的局域环境 ,将各格点重新标定为 、和三类赝格 点 [ 如A A B B B ( ) ( ) () εαβ γαβ γ图 1 a所示 ] . 每类赝格点的格点能 i 为、或、格点距离 di 为、或和格 i i 点间赝作用系数{ t, t}分别为A B (ε)1 - f ωωA 2 1 1 i iεε+ = ,= + + ?α β (ε ) C C UC C 1 - f CU A A A A B B A A (ε)1 - f ωB 1 1 i()4 ε = + ?γ+ (ε )C 1 - f C CU A B A B B 1 1 d, d= d, d= d, t= , t= d= α A β A γ B A BC C A B () εε其中参量 C和 C为方程 2中分别与格点能 和对应的 C值. 为了方便 ,将每一类赝格 A B A B n 点对应的 M - A 方程重写为 εItIω α= + + tIiEd, n ?αnA n - 1 A n + 1 α εβ = + ωItI+ ?() tIiEd, n β5 nA n - 1 B n + 1 β ωγ ε= + tI+ iEd, n ?Iγ tIγA n + 1 nB n - 1 至此赝格点链及对应的方程与文献 [ 10 ]中的格点链和方程具有相同的形式 ,因而可用该文献 中类似的重正化群方法求出该体系的电导率. β在每一次重正化过程中链中的 型格点将被 抽杀掉 ,并将原格点链重正化为一具有相似结 ( ) n) ε( 构的子链 [ 如图 1 b所示 ] . 重正化参量{, i ( ) ( )nn ) ( αβ γd , t } i 为、或[ 10 ]一样地满足文献 i A ( ) 中递推关系 11式 . 经过无穷次重正化后 , 该 链重正化为一简周期链 ,从而可获得该链的电 图 1 Fibonacci 链和重正化过程图示 [ 10 ,16 ] 导率) ) a一维 Fibonacci 链 ; b重正化的 Fibonacci 链 ( ) ( ) ( ) ?2 nn2? N[ d] N[ d] α α ωβ β i σ ()= + , ( )( )( )6 ? ? n6 εεL - 2 t αβn = 0 A ( )n α是第 n 次重正化中抽杀的型格点数 .其中 N为简周期链的型格点数 , N α β 3 数值计算 作为特例 ,我们根据 Fibonacci 序列的排列规则经过 24 次迭代产生一具有 121 393 个格点 的有限链 ,并用 它 近 似 表 示 Fibonacci 准 晶 链 , 从 而 计 算 了 一 类 格 点 能 不 同 的 Fibonacci 链 的 hopping 电导及其影响因素. () ( ) () 图 2 中的图 a和图 b分别示出了格点能差值不同时电导率 任意单位的实部和虚部随[ 10 ] ε频率的变化关系. 选取参量{ U, U, d, d} = {1 ,0 . 01 ,1 ,1} ,温度 T 为 300 K ,而参量{, A B A B A εε() ( ) ,}在图 2 a和图 2 b分别取为{12 ,1 . 5 ,10}meV 和{12 ,11 ,10}meV ,频率以 U为单位. 从 图 B F A [ 10 ] () 2 a中可以看出 ,对某些格点能 ,虽然差值不同 ,该体系的 hopping 电导与 Newman 等人得 ( ) 图 2 电导率 任意单位的实部和虚部随频率的变化 Fibonacci 链格点数为 121 393 个 ,参量{ U, U, d, d} = {1 ,0 . 01 ,1 ,1} , A B A B () ( ) 温度 T 为 300 K ,参量在图 2 a和图 2 b分别取为{12 ,11 . 5 ,10}meV 和 {12 ,11 ,10}meV ,频率以 U为单位 ,实线和虚线分别对应电导率实部和虚部 A ( ) 图 3 电导率 任意单位的实部和虚部随温度倒数的变化 - 18 () ( ) ( ) () 图 a和 b中频率分别取为 1 和 10 以 U为单位,其它各参量与图 2 a一样 , A 实线和虚线分别对应电导率实部和虚部 - 18 () ( ) ( ) 图 3 中的图 a和图 b分别示出了频率为 1 和 10 时电导率 任意单位的实部和虚部 εεε随温度倒数 1ΠT 的变化关系. 选取参量{,,} = {12 ,11. 5 ,10} meV 和{ U, U, d, d} = A B F A B A B ω {1 ,0 . 01 ,1 ,1} . 可以看出高低频电导率具有完全不同的温度依赖性. 在高频 = 1 时 ,电导率的 [ 17 ] ( ) () 实部及虚部随温度单调变化 [ 如图 3 a所示 ] ,类似于掺杂锗 Ge半导体的 dc 电导. 但在低 - 18 ω 频 = 10 时电导率随温度变化出现激烈振荡 ,实部呈现复杂的峰值结构并存在明显的断 沟 ,而虚部的波峰和波谷却交替出现 . 随着温度降低电导率实部和虚部在低温区的振荡均趋于 ( ) ε平缓 ,其值趋近于零 [ 如图 3 b所示 ] . 计算表明电导率随 变化也呈现类似的变化 ,因而电 F [ 18 ] 导率随温度的变化可能与体系的谱带结构相关. ( ) 图 4 各因素对温度相关电导率 任意单位的影响 - 2 - 2 () ε( ) ( ) ( ) 变参量的改变分别是 aU:10 ?0. 5 ×10 , b11 . 5 ?11 . 2 meV , cd:1 ?0 . 9 , d:10 ?9 meV B B F ) ( 各图中相应的其它各参量与图 3 a一样. 实线和虚线分别对应电导率实部和虚部 , 曲线边的数字 1 和 2 分别对应参量变化前后的电导率 ( ) () () εε图 4 a, d中 ,分别只改变了图 3 a中的一个参量如 U、、d或,从而考察这些因 素B b B F 对温度相关电导的影响. 各图中实线和虚线分别对应电导率的实部和虚部 ,曲线边所标数字 - 2 ( ) 1 和 2 分别对应参 量 变 化 前 后 的 电 导 率 , 各 图 中 变 参 量 的 改 变 分 别 是 a U: 10 ?0. 5 × B - 2 ε ε ( ) () ( ) 10 , b:11 . 5 ?11 . 2 meV , cd :1 ?0. 9 , d:10 ?9 meV. 从图中可以看出 ,当这些因 B B F 素改变时电导率在高温和低温区基本上不受各因素的影响 ,但在中间温度各因素的影响明显 ( ) ε 不同 :当 U减少时 ,电导率实部有所减少虚部有所增加 [ 如图 4 a所示 ] ; 当 减少时 ,电导B B ( ) 率实部有所增加虚部有所减少 [ 如图 4 b所示 ] ;当 d减少时 ,电导率实部和虚部均有所增加 B () ε( ) [ 如图 4 c所示 ] ;当 减少时 ,电导率实部和虚部均有所减少 ,并且峰位明显左移 [ 如图 4 dF - 18 ( ) ω 所示 ] . 同样 ,我们也计算了这些因素对图 3 b中 = 10 时的温度相关电导的影响 ,结果表 明这些因素对低频峰值结构也有不同的调制作用. 参 考 文 献 1 Schechtman D ,Blech I , Gratias D ,et al . Metallic phase with long - range orientational order and no transllational symmetry. Phys Rev Lett ,1984 ,53 :1 951 He L X. One - dimensional quasicrystal in rapidly solidified alloys. Phys Rev Lett ,1988 ,61 :1 116 2 Merlin R. Quasiperiodic Heterostructures. Phys Rev Lett ,1985 , 55 :1 768 3 Yan X H. Renormalization - group of generalized Fibonacci lattice . Phys Rev , 1986 ,50 :1 870 4 () 颜晓红 ,段祝平 ,张立德 ,等. 纳米结构体系的物理性质 :重正化群研究. 湘潭大学自然科学学报 ,1998 ,20 372,77 5 Ostland S ,Pandit R. Renormalization - group analysis of the discrete quasiperiodic Schrodinger equation. Phys Rev B29 :1984 , 1 394 6 Suthurland B , Kohmoto M. Resistance of an one - dimensional quasicrystal : Power law growth. Phys Rev ,1987 ,B36 :5 877 7 Roy L ,Arif Khan. Landauer resistance of thue - Morse and fibonacci lattices and related issues. Phys Rev ,1994 ,B49 :14 979 8 Aldea A. AC conductivity of a disordered chain : real - space renormalization group approach. J Phys ,1986 ,19 :4 055,4 062 . Aldea A 9 et al . Hopping conduction on Aperiodic chains. Phys Rev Lett ,1988 ,60 :1 672 Newman M E J . Hopping Conductivity of the Fibonacci - chain quasicrystal . Phys Rev ,1991 ,B43 :1 183 10 Miller A ,Abrahams E. Impurity conduction at low concentrations. Phys Rev ,1954 ,120 :745 11 Zhang D L . Hall effect in a single two - dimensional quasicrystal . Phys Rev ,1990 ,B41 :8 557 12 Martin S , Hebard A F. Transport properties of and decagonal quasicrystals. Phys Rev Lett ,1991 ,67 :719 13 () Roche S. Electronic transport properties of quasicrystals. J Math Phys ,1997 ,38 4:1 794 14 () 丁建文 ,颜晓红 ,方显承 ,等. 纳米结构链的 hopping 电导. 物理学报 ,1999 ,48 2:314 15 Dulea M ,Aldea A. Coment on ’Hopping Conductivity of the Fibonacci - chain quasicrystal’. Phys Rev ,1992 ,B46 :8 64216 Debye P P ,Conwell E M. Electrical properties of N - type Germanium ,Phys Rev ,1992 ,93 :693 17 Tsunetsugu H ,Ueda K. Conductance of a Penrose tiling. Phys Rev ,B38 :1988 ,1 0109 18 The Hopping Conductivity of the Fibonacci Qua silattice Dence of the Correlation Fluctua Ding J ianwen Yan Xiaohong Fang Xiancheng ()Department of Physics , Xiangtan University , Xiangtan , 411105 ,China 【Abstract】 Considered site - energy differences , we deduce a practical equation from the Miller - Abrahams’theory and the temperature - dependent conductivity of Fibonacci lattice is investigated by a real - space renormalization - group approach. It is found that the hopping conductivity property of the chain with different site - energy is similar to that of the iso - energy site chain , however , the site - ener2 gy differences can cause the transformations between peak and valley of the imaginary conductivity at low frequency. Furthermore , our results show that there exist two types of temperature - dependent conductiv2 ity at low - and high - frequency , and transition rate , site - energy , Fermi - energy and distance between sites have different influences on the temperature - dependent conductivity. Subject words Fibonacci quasilattice , renormalization - group approach , temperature - dependent con2 ductivity