勾股定理16种证明方法

勾股定理的16种证明方法 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得  . 【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 . ∴ .    ∴ . 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o. 即  ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴  . 【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形， 把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M， 交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于 ， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 = . 同理可证，矩形MLEB的面积 = . ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ，即 . 【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴  ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即  . 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 . ∴ ，即 . 【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.  ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o， ∴ DGFH是一个边长为a的正方形.  ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）. 用数字 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 ① ∵ = ， ， ∴ = .    ② 把②代入①，得 = = . ∴  . 【证法10】（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90o， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE = ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵  ∠QMF = ∠ARC = 90o，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ ， ， ， 又∵ ， ， ， ∴ = = ， 即 . 【证法11】（利用切割线定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线 分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o， 点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得 = = = ， 即 ， ∴ . 【证法12】（利用多列米定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴ ，即 ， ∴ . 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.