四边形综合中档偏上题(高于中考难度)

四边形综合中档偏上 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (高于中考难度) 四边形综合中档偏上题(高于中考难度) 一(解答题(共13小题) 1((2016•濉溪县二模)如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF( (1)求证:?HEA=?CGF; (2)当AH=DG=2时，求证:菱形EFGH为正方形; (3)设AH=x，DG=2x，?FCG的面积为y，试求y的最大值( 2((2016•亭湖区一模)【发现 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 】 (1)如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，?EAF=45?，试判断BE、EF、FD之间的数量关系( 小聪把?ABE绕点A逆时针旋转90?至?ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论( 【类比引申】 (2)如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，?EAF=45?，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的数量关系，不需证明; 【联想拓展】 (3)如图3，如图，?BAC=90?，AB=AC，点E、F在边BC上，且?EAF=45?，若BE=1，CF=2，求EF的长( 3((2016•安徽模拟)(1)如图，将正方形ABCD与正方形ECGF(CE,AB)拼接在一起，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试证明:DM=ME; (2)如图2，若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45?，其他条件不变，那么(1)中的结论是否成立,若成立请说明理由，若不成立请直接写出你发现的结论; (3)若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶点C逆时针旋转90?，其他条件不变，请你在图3中画出完整的旋转后的图形，并判定(1)中的结论是否成立( 第1页(共23页) 4((2016•泰州一模)已知?ABC为边长为6的等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE=x，连接 CF( DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、 (1)求证:?AEF为等边三角形; (2)求证:四边形ABDF是平行四边形; (3)记?CEF的面积为S， ?求S与x的函数关系式; ?当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由( 5((2016春•丹阳市校级期中)探究问题: (1)方法感悟: ，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足?EAF=45?，连接EF，求证DE+BF=EF( 如图? 感悟解题方法，并完成下列填空: 将?ADE绕点A顺时针旋转90?得到?ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD，BG=DE，?1=?2，?ABG=?D=90?，??ABG+?ABF=90?+90?=180?，因此，点G，B，F在同一条直线 上(??EAF=45???2+?3=?BAD,?EAF=90?,45?=45?(??1=?2，??1+?3=45?(即?GAF=? (又AG=AE，AF=AF??GAF? (? =EF，故DE+BF=EF( (2)方法迁移: 如图?，将Rt?ABC沿斜边翻折得到?ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且?EAF=?DAB(试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想( (3)问题拓展: 如图?，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足?EAF=?DAB，试猜想当?B与?D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF(请直接写出你的猜想(不必说明理由)( 第2页(共23页) 6((2015•广西自主招生)已知:如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm(点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF?BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F;当直线EF停止运动时，点P也停止运动(连接PF，设运动时间为t(s)(0,t,8)(解答下列问题: (1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形, 2(2)设四边形APFE的面积为y(cm)，求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t，使S:S=17:40,若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距四边形菱形APFEABCD 离;若不存在，请说明理由( 7((2014春•云霄县校级期中)如图:在长方形ABCD中，?B=90?点E在BC边上，过E作EF?AC于F， (1)如图1:当BE=EC=3，AB=8时，求EF的长( (2)如图2:若BG=EG，求证:AG=BG( (3)如图3:若BG=EG=FG=BF，求:的值( 8((2013•岳阳)某 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下:如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合(三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q( (1)求证:DP=DQ; (2)如图2，小明在图1的基础上作?PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明; (3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作?PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出?DEP的面积( 第3页(共23页) 9((2012•盘锦)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE?BF于G( 1)求证:BF=AE; ( (2)如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，(1)中结论是否成立,(直接写结论) (3)在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF:AD=4:3，求S:S( 四边形正方形MNPQABCD 10((2015•长春)在矩形ABCD中，已知AD,AB(在边AD上取点E，使AE=AB，连结CE，过点E作EF?CE，与边AB或其延长线交于点F( 猜想:如图?，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为 ( 探究:如图?，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G(判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明( 应用:如图?，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG的长( 11((2012•辽阳)已知:在?PAB的边PA、PB上分别取点C、D，连接CD使CD?AB(将?PCD绕点P按逆时针方向旋转得到?PC′D′(?APC′,?APB)，连接AC′、BD′( (1)如图1，若?APB=90?，PA=PB，求证:AC′=BD′;AC′?BD′( (2)在图1中，连接AD′、BC′，分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH(请判断四边形EFGH的形状，并说明理由( (3)?如图2，若改变(1)中?APB的大小，使0?,?APB,90?，其他条件不变，重复(2)中操作(请你直接判断四边形EFGH的形状( ?如图3，若改变(1)中PA、PB的大小关系，使PA,PB，其他条件不变，重复(2)中操作，请你直接判断是四边形EFGH的形状( 第4页(共23页) 12((2014•青海)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题( 1)如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交( CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G(求证:EF=EG( (2)如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系:EF EG(用“=”或“?”填空) (3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题:如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB=4，BG=3，求的值( 13((2014•潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G( (1)求证:AE?BF; (2)将?BCF沿BF对折，得到?BPF(如图2)，延长FP到BA的延长线于点Q，求sin?BQP的值; (3)将?ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到?AHM(如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积( 第5页(共23页) 四边形综合中档偏上题(高于中考难度) 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析 一(解答题(共13小题) 1((2016•濉溪县二模)如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的 边AB、CD、DA上，连接CF( (1)求证:?HEA=?CGF; (2)当AH=DG=2时，求证:菱形EFGH为正方形; (3)设AH=x，DG=2x，?FCG的面积为y，试求y的最大值( 【解答】(1)证明:过F作FM?CD，垂足为M，连接GE， ?CD?AB， ??AEG=?MGE， ?GF?HE， ??HEG=?FGE， ??AEH=?FGM; 2)证明:在?HDG和?AEH中， ( ?四边形ABCD是正方形， ??D=?A=90?， ?四边形EFGH是菱形， HG=HE， ? 在Rt?HDG和?AEH中， ， ?Rt?HDG??AEH(HL)， ??DHG=?AEH， ??DHG+?AHE=90? ??GHE=90?， ?菱形EFGH为正方形; (3)解:过F作FM?CD于M， 在?AHE与?MFG中，， ??AHE??MFG， ?MF=AH=x， ?DG=2x， ?CG=6,2x， 2?y=CG•FM=•x•(6,2x)=,(x,)+， ?a=,1,0，?当x=时，y=( 最大 第6页(共23页) 2((2016•亭湖区一模)【发现证明】 1)如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，?EAF=45?，试判断BE、EF、FD之间的数量关系( ( 小聪把?ABE绕点A逆时针旋转90?至?ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论( 【类比引申】 (2)如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，?EAF=45?，连接EF，请直接写出EF、BE、 DF之间的数量关系，不需证明; 【联想拓展】 (3)如图3，如图，?BAC=90?，AB=AC，点E、F在边BC上，且?EAF=45?，若BE=1，CF=2，求EF的长( 【解答】解:(1)?AB=AD， ?把?ABE绕点A逆时针旋转90?至?ADG，可使AB与AD重合， ??ADC=?B=90?， ??FDG=180?，点F、D、G共线， ??DAG=?BAE，AE=AG， ??FAG=?FAD+?GAD=?FAD+?BAE=90?,45?=45?=?EAF，即?EAF=?FAG( 在?EAF和?GAF中， ， ??AFG??AFE( EF=FG( ? ?EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF; (2)DF=EF+BE( 理由:如图2所示( ?AB=AD， ?把?ABE绕点A逆时针旋转90?至?ADG，可使AB与AD重合， ??ADC=?ABE=90?， ?点C、D、G在一条直线上( ?EB=DG，AE=AG，?EAB=?GAD( 又??BAG+?GAD=90?， ??EAG=?BAD=90?( ??EAF=45?， ??FAG=?EAG,?EAF=90?,45?=45?( ??EAF=?GAF( 在?EAF和?GAF中， ， ??EAF??GAF( ?EF=FG( ?FD=FG+DG， ?DF=EF+BE( 第7页(共23页) (3)??BAC=90?，AB=AC， ?将?ABE绕点A顺时针旋转90?得?ACG， 连FG，如图3， ?AG=AE，CG=BE，?1=?B，?EAG=90?， ??FCG=?ACB+?1=?ACB+?B=90?， 22222?FG=FC+CG=BE+FC; 又??EAF=45?，而?EAG=90?， ??GAF=90?,45?=45?， 在?AGF与?AEF中，， ??AGF??AEF， ?FG=EF， 22222?EF=BE+FC=1+2=5( ?EF=( 3((2016•安徽模拟)(1)如图，将正方形ABCD与正方形ECGF(CE,AB)拼接在一起，使B、C、G三点在一 条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试证明:DM=ME; (2)如图2，若将正方形CEFG绕着顶点C逆时针旋转45?，其他条件不变，那么(1)中的结论是否成立,若成 立请说明理由，若不成立请直接写出你发现的结论; (3)若将正方形CEFG由图1中的位置绕着顶点C逆时针旋转90?，其他条件不变，请你在图3中画出完整的旋转 后的图形，并判定(1)中的结论是否成立( 【解答】解:(1)如图1，延长EM交AD于H， ?AD?EF， ??EFM=?HAM， 在?FME和?AMH中， 第8页(共23页) ， ??FME??AMH， ?HM=EM， ??HDE=90?，HM=EM， ?DM=ME; (2)如图2，连接AE， ?四边形ABCD和四边形ECGF是正方形， ??FCE=45?，?CAD=45?， ?点A、E、C在同一条直线上， ??ADF=90?，?AEF=90?，M为AF的中点， ?DM=AF，EM=AF， ?DM=ME; (3)如图3，是画出的完整的旋转后的图形， 连接CF，MG，作MN?CD于N， 在?ECM和?GCM中， ， ??ECM??GCM， ME=MG， ? ?M为AF的中点，FG?MN?AD， ?GN=ND，又ME=MG， ?MD=MG， ?MD=ME， ?(1)中的结论成立( 4((2016•泰州一模)已知?ABC为边长为6的等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE=x，连接 DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF( 第9页(共23页) (1)求证:?AEF为等边三角形; 2)求证:四边形ABDF是平行四边形; ( (3)记?CEF的面积为S， ?求S与x的函数关系式; ?当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由( 【解答】(1)证明:??ABC为等边三角形， ?AB=AC=BC，?ACB=60?， ?CD=CE， ??CDE为等边三角形， ??CED=60?， ?AEF=60?，又AE=EF， ??AEF为等边三角形; (2)??FAC=60?， ??FAC=?ACB=60?， ?AF?BC， ??CED=?CAB=60?， AB?BF， ? ?四边形ABDF为平行四边形; (3)?作AH?BC于H， ??ABC为边长为6的等边三角形， ?AH=3， ?S=×CD×AH=x， ?CDF ??CDE为等边三角形，CD=x， 2?S=x， ?CDE 2??CEF的面积S=x,x; ?CF?BC( =3时，S最大， x=, ?CD=CE=3， ??CDE为等边三角形， ?DE=CD=CE=3， ?E为AC的中点， ?AE=CE=3 ?AE=EF=3 ?CE=DE=EF=3， ??CDE=?ECD， ?ECF=?EFC， ??CDE+?ECD+?CCF+?EFC=180?， 第10页(共23页) ?2?ECD+2?ECF=180?， DCF=90?， ??ECD+?ECF=90?，即? ?CF?BC( 5((2016春•丹阳市校级期中)探究问题: (1)方法感悟: 如图?，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足?EAF=45?，连接EF，求证DE+BF=EF( 感悟解题方法，并完成下列填空: 将?ADE绕点A顺时针旋转90?得到?ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得:AB=AD，BG=DE，?1=?2，?ABG=?D=90?，??ABG+?ABF=90?+90?=180?，因此，点G，B，F在同一条直线上(??EAF=45???2+?3=?BAD,?EAF=90?,45?=45?(??1=?2，??1+?3=45?(即?GAF=? EAF (又AG=AE，AF=AF??GAF? ?EAF (? GF =EF，故DE+BF=EF( (2)方法迁移: 如图?，将Rt?ABC沿斜边翻折得到?ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且?EAF=?DAB(试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想( 3)问题拓展: ( 如图?，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足?EAF=?DAB，试猜想当?B与?D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF(请直接写出你的猜想(不必说明理由)( 【解答】解:(1)AB=AD，BG=DE，?1=?2，?ABG=?D=90?， ??ABG+?ABF=90?+90?=180?， 因此，点G，B，F在同一条直线上( ??EAF=45?， ??2+?3=?BAD,?EAF=90?,45?=45?， ??1=?2，??1+?3=45?(即?GAF=?EAF( 在?GAF和?EAF中， ， ??GAF??EAF， ?GF=EF， 故DE+BF=EF; 故答案为:EAF;?EAF;GF; (2)DE+BF=EF，证明如下: 假设?BAD的度数为m，将?ADE绕点A顺时针旋转m?得到?ABG，此时AB与AD重合， 第11页(共23页) 由旋转可得: ?1=?2，?ABG=?D=90?， AB=AD，BG=DE， ??ABG+?ABF=90?+90?=180?， ?点G，B，F在同一条直线上， ??EAF=m?， ??2+?3=?BAD,?EAF， 即m?,m?=m?， ??1=?2， ??1+?3=m?， 即?GAF=?EAF， 又?AG=AE，AF=AF， ??GAF??EAF(SAS)， ?GF=EF， 又?GF=BG+BF=DE+BF， ?DE+BF=EF; (3)由(2)的结论可知，当?B与?D互补时，可使得DE+BF=EF( 6((2015•广西自主招生)已知:如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm(点 P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为 1cm/s，EF?BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F;当直线EF停止运动时，点P也停止运动(连接PF， 设运动时间为t(s)(0,t,8)(解答下列问题: (1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形, 2(2)设四边形APFE的面积为y(cm)，求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t，使S:S=17:40,若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距四边形菱形APFEABCD离;若不存在，请说明理由( 【解答】解:(1)?四边形ABCD是菱形， ?AB?CD，AC?BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8( 在Rt?AOB中，AB==10( ?EF?BD， ??FQD=?COD=90?( 又??FDQ=?CDO， ??DFQ??DCO( ?=( 即=， 第12页(共23页) ?DF=t( ?四边形APFD是平行四边形， ?AP=DF( 即10,t=t， 解这个方程，得t=( ?当t=s时，四边形APFD是平行四边形( (2)如图1，过点C作CG?AB于点G， ?S=AB•CG=AC•BD， 菱形ABCD 即10•CG=×12×16， ?CG=( ?S=(AP+DF)•CG 梯形APFD =(10,t+t)•=t+48( ??DFQ??DCO， =( ? 即=， ?QF=t( 同理，EQ=t( ?EF=QF+EQ=t( 2?S=EF•QD=×t×t=t( ?EFD 22?y=(t+48),t=,t+t+48( 3)如图2，过点P作PM?EF于点M，PN?BD于点N， ( 若S:S=17:40， 四边形菱形APFEABCD 2则,t+t+48=×96， 2即5t,8t,48=0， 解这个方程，得t=4，t=,(舍去) 12 过点P作PM?EF于点M，PN?BD于点N， 当t=4时， ??PBN??ABO， ?==，即==( 第13页(共23页) ?PN=，BN=( ?EM=EQ,MQ=3,=( PM=BD,BN,DQ=16,,4=( 在Rt?PME中， PE===(cm)( 7((2014春•云霄县校级期中)如图:在长方形ABCD中，?B=90?点E在BC边上，过E作EF?AC于F， (1)如图1:当BE=EC=3，AB=8时，求EF的长( (2)如图2:若BG=EG，求证:AG=BG( (3)如图3:若BG=EG=FG=BF，求:的值( 【解答】(1)解:?BE=EC=3 ?BC=6 在Rt?ABC中 ?AB=8 ?AC=10 第14页(共23页) ? ? ?EF=2.4 (2)证明:?GB=GE ??GBE=GEB 在Rt?ABE中 ?BAG与?GEB互余 ??ABE=90? ??GBA与?GBE互余 ??GAB=?GBA ?AG=BG (3)解:?BG=EG ?AG=BG在Rt?ABC中 ?BG=EG=FG=BF ?AG=BG=EG=FG=EF ?A、B、E、F四点共圆且?BGF为等边三角形 ??BGF=60? ? 在Rt?ABC中 ?(如果没接触过三角函数，可以用“在含30?角的直角三角形中，30?所对的直角边等于斜边的一半”，也可以得出结论) ? 8((2013•岳阳)某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下:如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合(三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q( (1)求证:DP=DQ; (2)如图2，小明在图1的基础上作?PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明; (3)如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作?PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP=3:4，请帮小明算出?DEP的面积( 【解答】(1)证明:??ADC=?PDQ=90?， ??ADP=?CDQ( 在?ADP与?CDQ中， 第15页(共23页) ??ADP??CDQ(ASA)， ?DP=DQ( (2)猜测:PE=QE( 证明:由(1)可知，DP=DQ( 在?DEP与?DEQ中， ??DEP??DEQ(SAS)， ?PE=QE( (3)解:?AB:AP=3:4，AB=6， ?AP=8，BP=2( 与(1)同理，可以证明?ADP??CDQ， ?CQ=AP=8( 与(2)同理，可以证明?DEP??DEQ， ?PE=QE( 设QE=PE=x，则BE=BC+CQ,QE=14,x( 222在Rt?BPE中，由勾股定理得:BP+BE=PE， 222即:2+(14,x)=x， 解得:x=，即QE=( ?S=QE•CD=××6=( ?DEQ ??DEP??DEQ， ?S=S=( ?DEP?DEQ 9((2012•盘锦)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE?BF于G( (1)求证:BF=AE; (2)如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，(1)中结论是否成立,(直接写结论) (3)在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF:AD=4:3，求 S:S( 四边形正方形MNPQABCD 【解答】解:(1)?四边形ABCD是正方形， ?AB=BC=CD=AD，?DAB=?ADC=90?( ??DAE+?BAE=90?( 第16页(共23页) ?AE?BF， ??AGB=90?， ??GAB+?GBA=90?， ??DAE=?ABG( 在?ABF和?DAE中， ， ??ABF??DAE(ASA)， ?BF=AE; (2)结论成立 即AE=BF( 理由:?四边形ABCD是正方形， ?AB=BC=CD=AD，?DAB=?ADC=90?( ??DAE+?BAE=90?( ?AE?BF， ??AGB=90?， ??GAB+?GBA=90?， ??DAE=?ABG( 在?ABF和?DAE中， ， ??ABF??DAE(ASA)， ?BF=AE; (3)?AF:AD=4:3，设AF=4a，AD=3a， ?DF=a( ??ABF??DAE， ?AF=DE， ?AF,AD=DE,DC， ?DF=CE， ?CE=a( ?点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点， ?MN是?AEF的中位线，MQ是?ABF的中位线， ?MN=AE，MN?AE，MQ=BF，MQ?BF( ?MN=MQ(?MNP=?NPQ=?PQM=90?， ?四边形MNPQ是正方形( 在Rt?ABF中，由勾股定理，得 BF=5a( ?MN=MQ=( ?S=( 四边形MNPQ 2?S=9a， 正方形ABCD 2?S:S=:9a=25:36( 四边形正方形MNPQABCD 答:S:S=25:36( 四边形正方形MNPQABCD 第17页(共23页) 10((2015•长春)在矩形ABCD中，已知AD,AB(在边AD上取点E，使AE=AB，连结CE，过点E作EF?CE， 与边AB或其延长线交于点F( 猜想:如图?，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为 AF=DE ( 探究:如图?，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G(判断线段AF与DE的大小关系，并加以证 明( 应用:如图?，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG的长( 【解答】解:?AF=DE; ?AF=DE， 证明:??A=?FEC=?D=90?， ??AEF=?DCE， ?AEF和?DCE中， 在 ， ??AEF??DCE， ?AF=DE( ???AEF??DCE， ?AE=CD=AB=2，AF=DE=3，FB=FA,AB=1， ?BG?AD， ?=， ?BG=( 第18页(共23页) 11((2012•辽阳)已知:在?PAB的边PA、PB上分别取点C、D，连接CD使CD?AB(将?PCD绕点P按逆时 针方向旋转得到?PC′D′(?APC′,?APB)，连接AC′、BD′( (1)如图1，若?APB=90?，PA=PB，求证:AC′=BD′;AC′?BD′( (2)在图1中，连接AD′、BC′，分别取AB、AD′、C′D′、BC′的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、 H得到四边形EFGH(请判断四边形EFGH的形状，并说明理由( (3)?如图2，若改变(1)中?APB的大小，使0?,?APB,90?，其他条件不变，重复(2)中操作(请你直接 判断四边形EFGH的形状( ?如图3，若改变(1)中PA、PB的大小关系，使PA,PB，其他条件不变，重复(2)中操作，请你直接判断是四 边形EFGH的形状( 【解答】解:(1)延长AC′交BD′于点M， ??APB=90?， ??PAB+?PBA=90?( ?PA=PB， ??PAB=?PBA( ?CD?AB， ?PBA=?PDC， ??PCD=?PAB， ??PCD=?PDC， ?PC=PD( ?将?PCD绕点P按逆时针方向旋转得到?PC′D′， ??APB=?C′PD′，PC′=PC，PD′=PD( ??APB,?C′PB=?C′PD′,?C′PB，PC′=PD′( ??APC′=?BPD′( 在?AC′P和?BD′P中， ， ??AC′P??BD′P(SAS)， ?AC′=BD′，?PAC′=?PBD′( ??PAC′+?BAC′+?ABP=90?， ??BAC′+?ABP+?PBD′=90?， ??MAB+?ABM=90?， ??AMB=90?， ?AC′?BD′( ?AC′=BD′;AC′?BD′; (2)四边形EFGH是正方形( ?点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点， ?EF=GH=BD′，GF=EH=AC′，EF?BD′，EH?AM， ??AEF=?ABM，?BEH=?BAM， ??AEF+?BEH=90?， ??FEH=90? 第19页(共23页) ?AC′=BD′， EF=FG=GH=HE， ? ?四边形EFGH是正方形; (3)?四边形EFGH是菱形( ?PA=PB， ??PAB=?PBA( ?CD?AB， ??PCD=?PAB，?PBA=?PDC， ??PCD=?PDC， ?PC=PD( ?将?PCD绕点P按逆时针方向旋转得到?PC′D′， ??APB=?C′PD′，PC′=PC，PD′=PD( ??APB,?C′PB=?C′PD′,?C′PB，PC′=PD′( ??APC′=?BPD′( 在?AC′P和?BD′P中， ， ??AC′P??BD′P(SAS)， ?AC′=BD′( ?点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点， EF=GH=BD′，GF=EH=AC′， ? ?AC′=BD′， ?EF=FG=GH=HE， ?四边形EFGH是菱形; ?四边形EFGH是矩形( 如图3，延长AC′交BD′于点M， ?将?PCD绕点P按逆时针方向旋转得到?PC′D′， ??APB=?C′PD′，PC′=PC，PD′=PD( ??APB,?C′PB=?C′PD′,?C′PB，( ??APC′=?BPD′( ?CD?AB， ?， ?( ??AC′P??BD′P， ??PAC′=?PBD′( ??APB=90?， ??PAC′+?BAC′+?ABP=90?， ??BAC′+?ABP+?PBD′=90?， ??MAB+?ABM=90?( ?点E、F、G、H分别是AB、AD′、C′D′、BC′的中点， ?EF=GH=BD′，GF=EH=AC′，EF?BD′，EH?AM， ?四边形EFGH是平行四边形(?AEF=?ABM，?BEH=?BAM， ??AEF+?BEH=90?， 第20页(共23页) ??FEH=90?， 平行四边形EFGH是矩形( ? 12((2014•青海)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题( (1)如图1，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交 CB于点F，将另一边交BA的延长线于点G(求证:EF=EG( (2)如图2，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接 回答EF和EG的数量关系:EF = EG(用“=”或“?”填空) (3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题:如图3，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩 形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB=4，BG=3，求的值( 【解答】解:(1)证明:??AEF+?AEG=90?，?AEF+?CEF=90?， ??AEG=?CEF， 又??GAE=?C=90?，EA=EC， ??EAG??ECF(ASA) ?EG=EF (2)EF=EG; 过点E作EM?AB于点M，作EN?BC于点N，如图2所示， 则?MEN=90?，EM=EN， ??GEM=?FEN， 又因为?EMG=?ENF=90?， ??EMG??ENF ?EF=EG( 故答案为:=( (3)过点E作EM?AB于点M，作EN?BC于点N，如图3所示: 则?MEN=90?，EM?BC，EN?AB， ?， ?， 又??GEM+?MEF=90?，?FEN+?MEF=90?， ??FEN=?GEM， ?Rt?GME?Rt?FNE， ? 第21页(共23页) 13((2014•潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G( (1)求证:AE?BF; (2)将?BCF沿BF对折，得到?BPF(如图2)，延长FP到BA的延长线于点Q，求sin?BQP的值; (3)将?ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到?AHM(如图3)，若AM和BF相交于点 N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积( 【解答】(1)证明:如图1， ?E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ?CF=BE， 在Rt?ABE和Rt?BCF中， ?Rt?ABE?Rt?BCF(SAS)， ?BAE=?CBF， 又??BAE+?BEA=90?， ??CBF+?BEA=90?， ??BGE=90?， ?AE?BF( (2)解:如图2，根据题意得， FP=FC，?PFB=?BFC，?FPB=90? ?CD?AB， ??CFB=?ABF， ??ABF=?PFB， ?QF=QB， 令PF=k(k,0)，则PB=2k 在Rt?BPQ中，设QB=x， 222?x=(x,k)+4k， 第22页(共23页) ?x=， ?sin?BQP===( (3)解:?正方形ABCD的面积为4， ?边长为2， ??BAE=?EAM，AE?BF， ?AN=AB=2， ??AHM=90?， ?GN?HM， ?=， ?=， ?S=， ?AGN ?S=S,S=1,=， 四边形GHMN?AHM?AGN?四边形GHMN的面积是( 第23页(共23页)