函数、不等式恒成立问题解法

函数、不等式恒成立问题解法 www.591up.com 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 2类型1：设f(x),ax，bx，c(a,0)，（1）上恒成立；（2）,a,0且,,0f(x),0在x,R 上恒成立,a,0且,,0。 f(x),0在x,R 2类型2：设f(x),ax，bx，c(a,0) bbb,,,,,,,,,,,,,,,,,（1）当时，f(x),0在x,[,,,]上恒成立， a,0,或或2a2a2a,,, ,,,f(,),0,,0f(,),0,,, f,(),0,f(x),0在x,[,,,]上恒成立 ,,f,(),0, f,(),0,（2）当f(x),0在x,[,,,]时，上恒成立 a,0,,f,(),0, bbb,,,,,,,,,,,,,,,,,f(x),0在x,[,,,]上恒成立 ,或或2a2a2a,,, ,,,f(,),0,,0f(,),0,,, 类型3： f(x),,对一切x,I恒成立,f(x),,f(x),,对一切x,I恒成立,f(x),,。 maxmin 类型4： f(x),g(x)对一切x,I恒成立,f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x),g(x)minmax 恒成(x,I) 一、用一次函数的性质 对于一次函数f(x),kx，b,x,[m,n]有： f(m),0f(m),0,, f(x),0恒成立,,f(x),0恒成立,,,f(n),0f(n),0,, 2例1：若不等式m2x,1,m(x,1),2,m,2对满足的所有都成立，求x的范围。 2解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x,1),(2x,1),0，； f(,2),0,2令f(m),m(x,1),(2x,1),2,m,2f(m),0，则时，恒成立，所以只需即,f(2),0, 1 2,xx,2(,1),(2,1),0,1，71，3,x,(,)，所以x的范围是。 ,222,2(x,1),(2x,1),0, 二、利用一元二次函数的判别式 2 对于一元二次函数f(x),ax，bx，c,0(a,0,x,R)有： （1）上恒成立； f(x),0在x,R,a,0且,,0 （2）上恒成立,a,0且,,0 f(x),0在x,R 2例2：若不等式(m,1)x，(m,1)x，2,0的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论 m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； m,1,0,（2）时，只需，所以，。 m,1,0m,[1,9),2mm,,(,1),8(,1),0, 三、利用函数的最值（或值域） （1）,f(x),m对任意x都成立； f(x),mmin （2）,m,f(x)对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。f(x),mmax 由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 ,B2例3：在f(B),4sinBsin(，)，cos2B,且|f(B),m|,2ABC中，已知恒成立，求实数m的,42 范围。 解析：由 ,B2f(B),4sinBsin(，)，cos2B,2sinB，1？,0,B,,,？sinB,(0,1]，f(B),(1,3]，42 m,f(B),2,？|f(B),m|,2恒成立，？,2,f(B),m,2，即恒成立，？m,(1,3] ,m,f(B)，2, 例4：（1）求使不等式a,sinx,cosx,x,[0,,]恒成立的实数a的范围。 ,,,3,解析：由于函2a,sinx,cosx,2sin(x,),x,,[,,]，显然函数有最大值，4444？a,2。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： ,,（2）求使不等式a,sinx,cosx,x,,(0,)恒成立的实数a的范围。 42 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 22a,2y,sinx,cosx的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利 2 用这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 12x例5：已知，求实数a的取值范围。 a,0,a,1,f(x),x,a,当x,(,1,1)时,有f(x),恒成立2 112x2x解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函f(x),x,a,，得x,,a22 1122,1数分别在x=-1和x=1处相交，则由,,a及,,,a得到a分别等于2和0.5，并作出函数1(1)22 11xx2xxy,2y,2及y,()x,,a的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在x,(,1,1)22 12区间对应的图象在y,x,在区间对应图象的上面即可。当a,1时,只有a,2x,(,1,1)x,(,1,1)2 110,a,1时，只有a,才能保证，而才可以，所以a,[,1):(1,2]。 22 22 例6：若当P(m,n)为圆x，(y,1),1上任意一点时，不等式恒成立，则c的取m，n，c,0值范围是（ ） A、,1,2,c,2,12,1,c,2，1 B、 C、c,,2,1c,2,1 D、 解析：由m，n，c,0，可以看作是点P(m,n)在直线x，y，c,0的右侧，而点P(m,n)在圆2222x，(y,1),1x，(y,1),1上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。 0，1，c,0,,，故选D。 ？？c,2,1|0，1，c|,,1,221，1, xx124，，aafx()lg,,aR,x,,,(.1)fx()3 xx1240，，,a分析：如果x,,,(.1)时，fx()恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分 x12，xx,,2离后a,,,,，(22)x,,,(.1)，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求x4 解。 xx解：如果,，，,1240ax,,,(.1)fx()x,,,(,1)时，恒有意义，对恒成立. x12，xx,,2,,,,,，a(22)x,,,(.1)恒成立。 x4 3 112,x令，gttt()(),,，又则对恒成立，又t,2t,，,(,)t,，,(,)x,,,(.1)？,agt()22 1133在上为减函数，，。 t,，,[,)g()()tg,,,？,,agt()max2244 2faxxfa(1)(2),,,,(,),,，, ax,[0,1] 212,,,,axxa分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意x,[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 2解：？,,,,faxxfa(1)(2)是增函数对于任意恒成立 fx()x,[0,1] 2,,,,,12axxa对于任意恒成立 x,[0,1] 22gxxaxa()1,，，,,，，,,xaxa10对于任意恒成立，令，，所以原x,[0,1]x,[0,1] 1,0, ,aa,ga,00)( ,,,2,aa,,问题gxaa()1,20,,,，,,,,,gx()0，又即 易gxga()(),,,,,,20,,minminnim42,, 2,2 ,,a2,2 ,,a,,,, 求得a,1。 , ,方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。 解：原不等式,4sinx+cos2x<-a+5 当x,-a+5>(4sinx+cos2x),R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 max 22设f(x)= 4sinx+cos2x=-2sinx+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3,f(x)=4sinx+cos2x则 ?-a+5>3a<2？ 2方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sinx,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为 2a+1-2sin,x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1], 2？,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。 ,2设f(t)= 2t？？-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)=f(1)=2-a,2-a>0a<2 min ,,, 分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间, 恒成立问题。 2解：设F(x)= f(x)-a=x-2ax+2-a. 2?)当,,=（-2a）-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-21,并且必须也只121 需 gf(2)(2),x o 2 故log2>1,a>1,？10,若将等号两边2分别构造函数即二次函数y= x+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。 22解：令Ty ：y= x+20x=（x+10）-100, T：y=8x-6a-3,则如1122 图所示，T的图象为一抛物线，T的图象是一条斜率为定值8，而12l截距不定的直线，要使T和T在x轴上有唯一交点，则直线必须12l1 位于l和l之间。（包括l但不包括l) 1212 当直线为l时，直线过点（-20，0）此时纵截距为1l2 163-6a-3=160,a=,; x 6 1-20 o 当直线为l时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=,22 1163?a的范围为[，）。 ,,62 , 分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。 22解：原不等式可化为 (x-1)p+x-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x-2x+1,则原问题等价于 5 f(p)>0在p?[-2,2]上恒成立，故有： y y -2 o 2 x -2 2 x 方法一：x,,10x,,10,,或?x<-1或x>3. ,,f(2)0,f(2)0,,,, 2,xx,4，3,0x,3或x,1f(2)0,,,,,方法二：即解得： ,,,2f(2)0,x,1或x,,1,x,1,0,,, ?x<-1或x>3. 6