陈雪宇同学的有效长度并不总是有效一文

陈雪宇同学的有效长度并不总是有效一文 陈雪宇同学的《“有效长度”并不总是有效》一文～严密地论述了 导体在磁场中运动产生感应电动势问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中用“有效法”解题的局限性～ 并能归纳出其局限的范围。陈雪宇同学能正确地理解微积分与等效法等 物理解题方法的关系～深刻地认识到科学的怀疑精神，在认识达到有一 个新的高度。 指导教师:吴宏忠 “有效长度”并不总是有效 汕头金山中学 陈雪宇 中学物理由于数学知识的限制，往往采用一些等效法将较为复杂的物理问题简化，例如在非惯性参照系中引入等效重力，在多电源问题中采用等效电源简化为简单电源，弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势问题中用“有效长度”化为直导线问题。然而这些等效法并不总是灵丹妙药，本文将论述“有效长度”在某种情况下失效。 中学物理在求解直线型导体在磁场中运动产生感应电动势的问题上，往往采用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ε=BVLsinθ,在V、,垂直的情况下，θ取L与BV平面的夹角,(见例1,，并说明当导线上各点线速度不同时，V取平均线速度v,见例2,，为了解决弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势的问题，引入了“有效长度”的概念，即把弯曲导体等效为连接该弯曲导体两端的直导体，用该等效直导体的长度代入公式进行计算求感应电动势，这种方法在解决弯曲导体在磁场中作直线运动的问题上取得良好效果,见例3,，在一些弯曲导体在磁场中旋转的问题也大大方便了计算,见例4,，然而我们只要把例4中ω的轴旋转90度,见例5,，则这种 等效法就会导致错误。 例1:如图1所示～一长为L的直导线在磁感应强度为B的磁场中以速度V做直线运动～各值方向见图～求导线两端的感应电动势。 解:ε= BLVsinθ 例2:如图2所示～一长为L的直导线在磁感应强度为B的磁场中绕过其一端且与B平行的轴以角速度ω作旋转运动 ～各值方向见图～求导线两端的感生电动势。 ,, 解:平均速度v = (0 + V)= ( 0 + ωL) max-- ,, , = ωL， - , ?θ= 90? ,2 则ε= BLvsinθ= BωL - , , 例3:如图3所示～一半径为R的圆的弧导体在- , 磁感应强度为B的磁场中以速度V做直线运动～各值方向见图～求导线两端的感应电动势。 , 解:用等效法将圆的弧导体等效为该弧的弦导- , 体，长L=?2 R， ?θ= 90?，则ε= BLVsinθ= BV?2 R , 例4:如图4所示～一半径为R的圆的弧导体在磁感应强度为B中绕过其- , 一端且与B平行的轴以角速度ω作旋转运动 ～各量方向见图～求导线两端的感应 电动势。 , 解:用等效法将圆的弧导体等效为该弧的弦导体，- , , 长L=?2 R，θ=π， - , 平均速度 ,, v = (0 + v)=( 0 + ωR )= ωR， max-- ,, ,,,2 则ε= BLvsinθ=B??2R?ωR?sinπ=BωR--- ,,, , 例5:如图所示～一半径为R的圆的弧导体在磁感应强度为B的磁场中- , 绕过其一端且与B垂直的轴以角速度ω作旋转运动 ～各量方向见图～求导线两 端的感应电动势。 , 解一,等效法,:用等效法将圆的弧导体等效为该- , ,弧的弦导体，长L=?2 R，θ=π，- , ,,平均速度v =(0 + V)=ωR，max-- ,, ,,,2 则ε= BLvsinθ= B??2R?ωR?sinπ=BωR --- ,,, 解一似乎很简便，我们顺着从例1到例5的思路，似乎没啥不对的，然而， 在下面采用的微分法和微积分法中，我们很容易看出它的破绽。 , 解二,微分法,假设在ω的垂直平面上有一与- ,圆弧导体共(圆)心等(半)径的固定的圆形导体轨 ,道，CO、和OE点有固定的直导体连接， 圆的C- , 点固定，D点在圆形轨道上滑行，则CDEO形成一理想回路，以图示时刻为0时刻， 则CDEO回路的磁通量函数为 ,2 φ(t)= B?S(t)= B?πRsin(ωt) - , 据法拉第电磁感应定律知感应电动势等于磁通量变化率， ,2 则ε(t)=φ,(t)=[BπRsin(ωt)] , - , ,,22 =πBRsin,(ωt),πBRωcos(ωt)， -- ,, ,2代入t = 0， 则有ε=πBRω。 - , 如果我们按照等效法，将弧CD等效为弦CD， ,2 则S(t)=Rsin(ωt)。 等效- , ,,2 与S(t)相差一个系数π，所以得出的ε=BωR,与ε同样相差一个等效-- ,, ,系数π。 - , 如果嫌上述微分法太复杂，下面利用发电机的结论来解，原理上与微分法相 同，而计算上简单得多。 , 解三,补全法,:将圆补全为一个完整的圆，则- , 这个问题变成一个“发电机”问题，则这个完整的圆在图7 示时刻(θ=0)的感应电动势为最大值 2,= ε BωScosθ= BωπRcos0?= BωπR。圆 圆 ,, 构成该圆的四个圆具有对称性，且由右手定则知四个圆的感应电动-- ,, ,势方向均为逆时针方向，故每个圆的感应电动势为 - , ,,2 ε=ε=πBωR。 弧圆-- ,, , 如果我们用等效法，将圆的弧等效为弦，则补全为一个正方形,其面积为- , ,,2S= 2R,与圆的面积之比恰好为π，计算出来的ε与ε之比也为π。 正方形等效-- ,, 通过上述两种方法的分析，我们可以看出，解一所用的等效法犯了面积“缩水”的错误。 解四,微元法～积分法,:取两条与B平行的直线，其间的距离为Δd 假设Δd足够小，以至Δd之间的弧形导体可以视为直导体，长度为ΔL,且导体上各 点的线速度相等，设圆心到两条直线的距离为d， 使d在[0，R]之间变动，则产生无限多个小导体Δ ,L，圆弧导体两端的感应电动势ε等于这些导体- , ΔL的感应电动势Δε之和。 如果我们对等效法的等效直导线也取微元 ΔL，感应电动势为Δε。 等效等效 则Δε= BvΔLcosθ= BωrΔd 22 = BωΔd?(R-d)， Δε= Bv,ΔL,cosθ,= Bωr,Δd = BωΔd(R-d)等效 两者的差别在于旋转半径的差别，在图上可以很直观地看出:除两个端点r = r之外r > r，故有Δε=Δε(d = 0或d = R)，Δε>Δε等效等效等效等效 (0 <,<,)。所以ε>ε。用数学不等式可作严密证明，在此从略。等效 ,,22利用积分法可以分别求出ε与ε的值 :ε=πBωR，ε=BωR(计等效等效-- ,,算过程省略)。与用微分法和补全法得出的结果一致。 从上面的分析中等效法由于半径“偷工减料”，导致了最终结果的变小。 让我们回头看看例3和例4，按照我们上述的微元法处理弯曲导线和直导线，其微元为ΔL及ΔL，我们很容易看出ΔL及ΔL在B垂直方向上的分量相等，等效等效 而且速度相等，故Δε= Δε，故可以用等效代替，然而例5中ΔL与ΔL等效等效在B垂直方向上的分量相等，但是速度不等，所以，我们可以看到，等效法在解决弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势的问题时，只解决了长度问题而没有解决速度是否相等的问题，在原导线元与等效导线元之间速度不等的情况下，用“等效长度”解决问题必定要犯错误 。 结论:用“有效长度”解弯曲导体在磁场中运动产生感应电动势问题有局限性 讨论:在思考的过程中，我曾经为“有效长度”作过辩护，在例5中，如果长度用“有效长度”而速度用回原导体的“平均速度”，这样仍然能得出正确的结论。然而，这样把原来是一个物理对象上的两种性质分到两个物理对象上，这是不当的，再而，求平均速度还是要用到微积分，也简便不了多少。 导体在磁场中运动产生感应电动势问题是一个比较复杂的问题。从导体的角度，导体可以是弯曲的也可以是直的,从速度的角度，导体上各点可以是相同也可以是不同的，例如旋转，另外还有转轴的方向问题,从磁场的角度，B可以是均匀的也可以是不均匀的,从三者的方向的关系的角度，三者可以是互相垂直，也可以只有两个不垂直，也可以只有两个垂直，也可以三个都互不垂直。当然，各种情况还可以进行组合。在复杂的题目里，无论采用有效长度、平均速度还是投影法，都只是对公式ε=BVLsinθ的小修小补，处理起来也复杂得很，最好还是用法拉第电磁感应定律，用微积分来解。 微积分与等效法等物理解题方法的关系是中学物理教育中一个值得讨论的问题。微积分是解决一些复杂问题的有效的和广泛使用的数学工具，但是现在中学数学不再教授微积分，所以现在绝大多数中学在物理教学中也不引入微积分这种方法。但是因为物理解题方法总有一些局限性，因此，要探索一些深一点的物理问题，自学一点微积分是很有意义的事。其实，自学微积分并非一件很困难的事，在我们汕头金山中学我这一年级就有好几个同学自学了微积分。但是，依赖于微积分也是不对的，尤其在计算机技术发达的今天，用微积分解题已经变成了一种公式化的程序，什么都套进那个思路就行了。而等效法等这些物理解题方法却闪耀着思维的光辉，要想出这些巧妙的方法出来确实要花费不少时间，同时思维也得到不少锻炼。我记得在学习振动方程时首先接触的是用微积分推导振动方程的方法，虽然能理解但是觉得挺无聊的，后来看到用投影法将简谐振动化为匀 速圆周运动，不禁感叹该法的灵巧。虽说现在这些方法也有一些公式化的倾向,这在高考的应试压力下尤其严重,，但对思维的锻炼要比微积分好得多。所以，我 建议 关于小区增设电动车充电建议给教师的建议PDF智慧城市建议书pdf给教师的36条建议下载税则修订调整建议表下载 解题的时候最好先用物理方法解，再用微积分验证。 在这篇论文快要完成的时候，我想起了杨振宁和李政道在1956年提出的“在弱相互作用中宇称不守恒”。当然，这篇论文与获得诺贝尔奖的“宇称不守恒”在意义上不具可比性，前者只说明了中学物理一种解题方法的局限性，而后者是关系到整个物理学的基本理论。然而，两者都体现了一个最基本的思维方法--不完全归纳法的不可靠性，对不完全归纳法的研究往往可以发现前人或同时代的人忽略的问题。另外，两者还有一个共同之处，就是科学的怀疑精神，对于科学来说，没有怀疑就没有进步，而对于我个人来说，怀疑就是创新，正是怀疑精神指导我对很多问题的思考并写下这篇论文，怀疑是我从物理中学到的最精华的东西。