五猴分桃
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这是著名物理学家李政道先生访问中国科学技术大学时，曾经考过该大学的
少年班的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，但没有人能答出来．
5只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定先睡一会儿再分．
过了不知多久，来了一只猴子，它见别的猴子没来，便将这一堆桃子平均分
成5份，结果多了1个，它就将多的这个吃了，拿走了其中的一堆．又过了不知
多久，第二只猴子来了，它不知道有一个同伴已经来过，还以为自己是第一个到
的呢，于是将地上的桃子堆起来，平均分成5份，发现也多了1个，同样吃了这1个桃子，拿走了其中的一堆．第三只、第四只、第五只猴子都这样„„试问这
五只猴子至少摘了多少个桃子？第五个猴子拿走后还剩下多少个桃子？
据说这个问题是物理学家狄拉克提出来的，很多人尝试着做过，包括狄拉克
本人在内，都没有找到很简便的解法．李政道教授说，著名数理逻辑学家和哲学
家怀德海曾经用高阶差分方程理论中通解与特解的关系，给出了一个巧妙的解
法．
但是，张景中先生却说“仔细想想，有一个十分简单有趣的解法，小学生都
不难理解”．下面我们把张先生所说的“小学生都能理解”的两种方法提供给读
者，供参考．
解法一：设这一堆桃子至少有x个，由于每次平均分成五堆后都多一个，因
此借给它们4个，于是连同这4个桃子，一共有(x+4)个桃子．
假定这五子猴子分别拿走了（包括它们各自所吃掉的1个）a、b、c、d、e
x，44(4)x，16(4)x，64(4)x，256(4)x，个桃子．于是， a=；b=；c=;d=；e＝．而5251256253125e为整数，且256与3125互质，因此x+4应是3125的倍数，于是x+4=3125k，其中k为自然数．
显然，当k=1时，x=3121．即这五只猴子至少摘了3121个桃子．
解法二：设第五只猴子拿走了x只桃子,那么第五只猴子取桃子前的桃子数是
5(5x+1)；第四只猴子取桃子前还有的桃子数是[(51)1x，，]；第三只猴子取桃子4
55前还有{ []+1}个桃子;第二只猴子取桃子前还有(51)1x，，44
555{[(51)1x，，]+1}＋1个桃子；第一只猴子取桃子前一共有444
555553(1)x，{{[(51)1x，，]+1}＋1}+1=12 x +8+个桃子． 4444256
设x +1=256k，则x=256k－1,于是这堆桃子一共有12(256k-1)+8+53k=3125k-4．
显然，当k=1时，桃子数最少，因此，这五只猴子至少摘了3121个桃子．
浙公网安备 33021202002483