弯曲应力计算

弯曲应力计算 第7章 弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关;而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩，所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力FQ时，就必然有切应力τ;有弯矩M时，就必然有正应力?。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。 图7-1 变形方面 为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a) 所示的矩形截 - 150 - 面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、b-b。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶Me，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线a'a'、b'b', 靠顶面的aa线缩短了，靠底面的bb线伸长了。横向线m-m、n-n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设: (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面(且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d?，则距中性层为y处的任一层纵向纤维bb变形后的弧长为 b'b'?(ρ?y)dθ 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO的长度不变，故有 bb?OO?O'O'?ρdθ 由此得距中性层为y处的任一层纵向纤维的线应变 ε?b'b'?bb(ρ?y)dθ?ρdθy?? (a) bbρdθρ - 151 - 上式表明，线应变ε?随y按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E相等，则由虎 克定律，得 ς?Eε?Ey (b) ρ 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y=0，因而?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等(图7-5)。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z轴，过z、y轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x轴，作用于微面积dA上的法向微内力为?dA。在整个横截面上，各微面积上的微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足?Fx?0，?My?0，?Mz?0三个平衡方程。 由于所讨论的梁横截面上设有轴力，FN?0，故由?Fx?0，得 FN?ςdA?0 (c) A? 将式(b)代人式(c)，得 ?AςdA?EA?yEdA?ρρ A?AydA?ESz?0 ρ式中，E/??恒不为零，故必有静矩Sz??ydA?0，由第5章知道，只有当z轴通过 - 152 - 截面形心时，静矩Sz才等于零。由此可得结论:中性轴z通过横截面的形心。这样就完全确定了中性轴在横截面上的位置。 由于所讨论的梁横截面上没有内力偶My，因此由?My?0,得 My?zςdA?0 (d) A? 将式(b)代人式(d)，得 ?AzςdA?Eρ?AyzdA?EIyz?0 ρ 上式中，由于y轴为对称轴，故Iyz?0，平衡方程 纯弯曲时各横截面上的弯矩M均相等。因此，由?Mzz?0自然满足。 ?M?0，得 M? 将式(b)代人式(e)，得 ?yσdA (e) A M? 由式(f)得 ?yEyEdA?Aρρ?Ay2dA?EIz (f) ρ 1M (7-1) ?ρEIz 式中，ρ为中性层的曲率，EIz为抗弯刚度，弯矩相同时，梁的抗弯刚度愈大，梁的曲率越小。最后，将式(7-1)代入式(b)，导出横截面上的弯曲正应力公式为 ς?My (7-2) Iz 式中，M为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，y为横截面上待求应力的y坐标。应用此公式时，也可将M、y均代入绝对值，?是拉应力还是压应力可根据梁的变形情况直接判断。以中性轴为界，梁的 凸出一侧为拉应力，凹入一侧为压应力。 以上分析中，虽然把梁的横截面画成矩形，但在导出公式的过程中，并没有使用矩形的几何性质。所以，只要梁横截面有一个对称轴，而且载荷作用于对称轴所在的纵向对称面内，式(7-1)和式(7-2)就适用。 由式(7-2)可见，横截面上的最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的点上。用ymax表示最远点至中性轴的距离，则最大弯曲正应力为 - 153 - ςmax 上式可改写为 Mymax ?Iz M (7-3) Wzσmax? 其中 Wz?Iz (7-4) ymax 为抗弯截面系数，是仅与截面形状及尺寸有关的几何量，量纲为[长度]3。高度为h、宽度为b的矩形截面梁，其抗弯截面系数为 bh3/12bh2 Wz?? h/26 直径为D的圆形截面梁的抗弯截面系数为 πD4/64πD3 Wz?? D/232 工程中常用的各种型钢，其抗弯截面系数可从附录的型钢表中查得。当横截面对中性轴不对称时(其最大拉应力及最大压应力将不相等。用式(7-3)计算最大拉应力时，可在式(7-4)中取ymax 等于最大拉应力点至中性 轴的距离;计算最大压应力时，在式(7-4)中应取ymax等于最大压应力点至中性轴的距离。 例7-1 受纯弯曲的空心圆截面梁如图7-6(a)所示。已知:弯矩M= l kN.m，外径D=50mm，内径d=25mm。试求横截面上a、b、c及d四点的应力,并绘过a、b两点的直径线及过c、d两点弦线上各点的应力分布图。 解: - 154 - (1) 求 Iz ?(D4?d4)π(504?254)Iz???(10?3)4m4?2.88?10?7m4 6464 (2) 求? a 点 ya?D?25mm 2 M1?103 ?3ςa?ya??25?10Pa?86.8MPa(压应力) ?7Iz.88?10 b 点 yb?d?12.5mm 2 M1?103 σb?yb??12.5?10?3Pa?43.4MPa(拉应力) ?7Iz.88?10 c 点 21d2)21252)yc?( D?442?(50?442?21.7mm M1?103 σc?yc??21.7?10?3Pa?75.3MPa(压应力) ?7Iz.88?10 yd?0 σd?Myd?0 Izd 点 给定的弯矩为正值，梁凹向上，故a及c点是压应力，而b点是拉应力。过a、b的直 径线及过c、d的弦线上的应力分布图如图7-6(b)、(c)所示。 7.2.2 横力弯曲梁的正应力 公式(7-2)是纯弯曲情况下以7-2-1提出的 两个假设为基础导出的。工程上最常见的弯曲问 题是横力弯曲。在此情况下，梁的横截面上不仅 有弯矩，而且有剪力。由于剪力的影响，弯曲变 形后，梁的横截面将不再保持为平面， 即发生所 - 155 - 谓的“翘曲”现象，如图7-7(a)。但当剪力为常量时，各横截面的翘曲情况完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差异。图7-7(b)表示从变形后的横力弯曲梁上截取的微段，由图可见，截面翘曲后，任一层纵向纤维的弧长A’B’，与横截面保持平面时该层纤维的弧长完全相等，即A’B’=AB。所以，对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲正应力公式(7-2)仍然适用。当梁上作用有分布载荷，横截面上的剪力连续变化时，各横截面的翘曲情况有所不同。此外，由于分布载荷的作用，使得平行于中性层的各层纤维之间存在挤压应力。但理论分析结果表明，对于横力弯曲梁，当跨度与高度之比l,h大于5时，纯弯曲正应力计算公式(7-2) 仍然是适用的，其结果能够满足工程精度要求。 例7-2 槽形截面梁如图7-8(a)所示，试求梁横截面上的最大拉应力。 解 绘M图，得B、C两截面的弯矩MB??10kN.m，MC?7.5kN.m,如图7-8(b)所示。 求截面的形心及对形心轴的惯性矩，取参考坐标z1Oy，如图7-8(c)所示，得截面形心C的纵坐标 ? 因y为对称轴，故 350?500?250?250?400?200mm?317mm 350?500?250?400 1?0 过形心C取z轴，截面对z轴的惯性矩为 1Iz?{?350?5003?350?500?(317?250)2 12 1?[?250?4003?250?300?(317?200)2]}mm4 12 ?1728?106mm4 B截面的最大拉应力为 - 156 - ςBtMB10?103?(500?317)?10?3?ymax?Pa?1.06MPa Iz1728?106?(10?3)4 MC7.5?103?317?10?3 ?ymax?Pa?1.38MPa 6?34Iz1728?10?(10)C截面的最大拉应力为 σCt 可见，梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘线上。 7.3弯曲切应力 横力弯曲时，梁横截面上的内力除弯矩外还有剪力，因而在横截面上 除正应力外还有切 应力。本节按梁截面的形状，分几种情况讨论弯曲切应力。 7.3.1 矩形截面梁的切应力 在图7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力FQ皆与截面的对称轴y重合， 见图7-9(b)。现分析横截面内距中性轴为y处的某一横线，ss’上的切应力分布情况。 根据切应力互等定理可知，在截面两侧边缘的s和s’处，切应力的方向一定与截面的侧边相切，即与剪力FQ的方向一致。而由对称关系知，横线中点处切应力的方向，也必然与剪力FQ的方向相同。因此可认为横线ss’上各点处切应力都平行于剪力FQ。由以上分析，我们对切应力的分布规律做以下两点假设: 1(横截面上各点切应力的方向均与剪力FQ的方向平行。 2(切应力沿截面宽度均匀分布。 现以横截面m-m和n-n从图7-9(a)所示梁中取出长为dx的微段，见图7-10(a)。设作用于微段左、右两侧横截面上的剪力为FQ，弯矩分别为M和M+dM，再用距中性层为y的rs截面取出一部分mnsr，见图7-10 (b)。该部分的左右两个侧面mr和ns上分别作 - 157 - 用有由弯矩M和M+dM引起的正应力?mr及?ns。除此之外，两个侧面上还作用有切应力?。根据切应力互等定理，截出部分顶面rs上也作用有切应力?'，其值与距中性层为y处横截面上的切应力?数值相等，见图7-10(b)、(c)。设截出部分mnsr的两个侧面mr和ns上的法向微内力?mrdA和?nsdA合成的在x轴方向的法向内力分别为FN1及FN2，则FN2可表示 为 FN2? 同理 ?A1σnsdA??M?dMM?dMy1dA?A1IzIz?A1y1dA?M?dM*Sz (a) Iz FN1?M*Sz (b) Iz 式中，A1为截出部分mnsr侧面ns或mr的面积，以下简称为部分面积S*z为A1对中性轴的静矩。 考虑截出部分mnsr的平衡，见图7-10(c)(由?Fx?0，得 FN2?FN1?τ'bdx?0 (c) 将式(a)及式(b)代入式(c)，化简后得 dMS* z τ?dxIzb' - 158 - 注意到上式中dM?FQ，并注意到?'与?数值相等，于是矩形截面梁横截面上的切dx 应力计算公式为 τ?FQS, z Izb (7-5) 式中，FQ为横截面上的剪力，b为截面宽度，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，S*z为横截面上部分面积对中性轴的静矩。 对于给定的高为h宽为b的矩形截 面(图7-11)，计算出部分面积对中性轴 的静矩如下 bh2 S?y1dA?by1dy1?(?y2)A1y24* Z??h/2 将上式代入(7-5)，得 h2 τ?(?y2) (7-6) 2Iz4 由(7-6)可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。当y=?h,2时，?=0，即截面的上、下边缘线上各点的切应力为零。当y=0时，切应力?有极大值，这表明最大切应力发生在中性轴上，其值为 FQ τmax? 将Iz?bh3/12代人上式，得 FQh28Iz τmax?3FQ 2bh (7-7) 可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力为平均切应力FQ/bh的1.5倍。 根据剪切虎克定律，由式(7-6)可知切应变 FQh2τγ??(?y2) G2GIz4 - 159 - (7-8) 式(7-8)表明，横截面上的切应变沿截面高度按抛物线规律变化。沿截面高度各点具有按非线性规律变化的切应变，这就说明横截面将发生扭曲。 由式(7-8)可见，当剪力FQ为常量时，横力弯曲梁各横截面 上对应点的切应变相等，因而各 横截面扭曲情况相同。这一情况 已在5-7-2中做了说明。 例7-3 矩形截面梁的横截 面尺寸如图7-12(b)所示。集中 力F=88kN，试求1-1截面上的 最大切应力以及a、b两点的切 应力。 解 支反力FA、FB分别为 FA=40kN，FB=48kN 1-1截面上的剪力 FQ1=FA=40kN 截面对中性轴的惯性矩 40?703 Iz??(10?3)4m4?1.143?10?6m4 12 截面上的最大切应力 ?max a点的切应力 3FQ13?40?103??Pa?21.4MPa ?62A2?40?70?10 S* z?Aaya?40?(70170?25)?10?6?[25??(?25)]?10?3m3?1.2?10?5m3 222 40?103?1.2?10?5 τa??Pa?10.5MPa ?6?3Izb1.143?10?40?10 b点的切应力 FQ1S*z S* z?Abyb?40?(70170?15)?10?6?[15??(?15)]?10?3m3?2?10?5m3 222 40?103?2?10?5 τb??Pa?17.5MPa ?6?3Izb1.143?10?40?10 7.3.2 工字形截面梁的切应力 工字形截面由上、下翼缘及腹板构成，见图7-13(a) ，现分别研究腹板及翼缘上的 - 160 - FQ1S*z 切应力。 1(工字形截面腹板部分的切应力 腹板是狭长矩形，因此关于矩形截面梁切应力分布的两个假设完全适用。在工字形截面梁上，用截面m-m和n-n截取dx长的微段，并在腹板上用距中性层为y的rs平面在微段上截取出一部分mnsr，见图7-13(b)、(c)，考虑mnsr部分的平衡，可得腹板的切应力计算公式 τ?FQS, z Izd (7-9) 式(7-9)与式(7-5)形式完全相同，式中d为腹板厚度。 计算出部分面积Al对中性轴的静矩 S* z? 代人式(7-9)整理，得 1HhHh1hh(?)b(?)?(?y)d(?y) 22222222 h2 τ?[b(H?h)?4d(?y2)] (7-10) 8Izd422FQ 由式(7-10)可见，工字形截面梁腹板上的切应力 ??按抛物线规律分布，见图7-13(c)。以y=0 及y=?h/2分别代人式(7-10)得中性层处的最大切应力及腹板与翼缘交界处的最小切应力分别为 τmax?FQ 8Izd[bH2?(b?d)h2] τmin?FQ 8Izd[bH2?bh2] 由于工字形截面的翼缘宽度b远大于腹板厚度d，即b??d，所以由以上两式可以看 - 161 - 出，?max与?min实际上相差不大。因而，可以认为腹板上切应力大致是均匀分布的。若以图7-13(c)中应力分布图的面积乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FQ1。计算结果表明，FQ1约等于(0.95-0.97) FQ。可见，横截面上的剪力FQ绝大部分由腹板承受。因此，工程上通常将横截面上的剪力FQ除以腹板面积近似得出工字形截面梁腹板上的切应力为 τ?FQ hd (7-11) 2(工字形截面翼缘部分的切应力 现进一步讨论翼绦上的切应力分布问题。在翼缘上有两个方向的切应力:平行于剪力FQ方向的切应力和平行于翼绦边缘线的切应力。平行于剪力FQ的切应力数值极小，无实际意义，通常忽略不计。在计算与翼缘边缘平行的切应力时，可假设切应力沿翼缘厚度大小相等，方向与冀缘边缘线相平行，根据在冀缘上截出部分的平衡，由图7-13(d)可以得出与式(7-9)形式相同的冀缘切应力计算公式 τ?FQS, z Izt (7-12) 式中t为翼缘厚度，图7-13(c)中绘有冀缘上的切应力分布图。工字形截面梁翼缘上的最大切应力一般均小于腹板上的最大切应力。 从图7-13(c)可以看出，当剪力FQ的方向向下时，横截面上切应力的方向，由上边缘的外侧向里，通过腹板，最后指向下边缘的外侧，好象水流一样，故称为“切应力流”。所以在根据剪力FQ的方向确定了腹扳的切应力方向后，就可由“切应力流”确定翼缘上切应力的方向。对于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面，也可利用“切应力流”来确定截面上切应力方向。 7.3.3 圆形截面梁的切应力 在圆形截面梁的横截面上，除中性轴处切应力与剪力平行外，其他点的切应力并不平行于剪力。考虑距中性轴为y处长为b的弦线AB上各点的切应力如图7-14(a)。根据切应力互等定理，弦线两个端点处的切应力必 与圆周相切，且切应力作用线交于y轴的某点p。弦线中点处切应力作用线由对称性可知也通过p点。因而可以假设AB线上各点切应力作用线都通过同一点p，并假设各点沿y方向的切应力分量τy相等，则可沿用前述方法计算圆截面梁的切应力分量τy，求得τy后，根据已设定的总切应力方向即可求得总切应力τ。 - 162 - 圆形截面梁切应力分量τy的计算公式与矩形截面梁切应力计算公式形式相同。 τy?FQS, z Izb (7-13) 22*式中b为弦线长度，b?2R?ySz;仍表示部分面积A1对中性轴的静矩，见图 7-14(b)。 圆形截面梁的最大切应力发生在中性轴上，且中性轴上各点的切应力分量τy与总切应力τ大小相等、方向相同，其值为 τmax4FQ? 3πR2 (7-14) 由式(7-14)可见，圆截面的最大切应力?max为平均切应力 7.3.4 环形截面梁的切应力 FQπR2的 4,3倍。 图7-15所示为一环形截面梁，已知壁厚t远小于平均半径R，现讨论其横截面上的切应力。环形截面内、外圆周线上各点的切应力与圆周线相切。由于壁厚很小，可以认为沿圆环厚度方向切应力均匀分布并与圆周切 线相平行。据此即可用研究矩形截面梁切应力的方法分析环形截面梁的切应力。在环形截面上截取dx长的微段，并用与纵向对称平面夹角 ??相同的两个径向平面在微段中截取出一部分如图7-15(b)，由于对称性，两个rs面上的切应力τ'相等。考虑截出部分的平衡图7-15(b)，可得环形截面梁切应力的计算公式 - 163 - τy?FQS, z 2tIz (7-15) 式中，t为环形截面的厚度。 环形截面的最大切应力发生在中性轴处。计算出半圆环对中性轴的静矩 S? 及环形截面对中性轴的惯性矩 *Z?A1ydA?2RcosθtRdθ?2R2t 0?π/2 Iz??AydA?22?2π0R2cos2θtRdθ?πR3t 将上式代入式(7-15)得环形截面最大切应力 τmax?FQ(2R2t) 2tππ3t?FQ πRt (7-16) 注意上式等号右端分母?Rt为环形横截面面积的一半，可见环形截面梁的最大切应力为平均切应力的两倍。 7.4 弯曲强度计算 梁在受横力弯曲时，横截面上既存在正应力又存在切应力，下面分别讨论这两种应力的强度条件。 7.4.1弯曲正应力强度条件 横截面上最大的正应力位于横截面边缘线上，一般说来，该处切应力为零。有些情况下，该处即使有切应力其数值也较小，可以忽略不计。所以，梁弯曲时，最大正应力作用点可视为处于单向应力状态。因此，梁的弯曲正应力强度条件为 - 164 - ?max?(M)max?[?] (7-17) Wz 对等截面梁，最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上，这时弯曲正应力强度条件为 ?max?Mmax?[?] (7-18) Wz 式(7-17)、式(7-18)中，[?]为许用弯曲正应力，可近似地用简单拉伸(压缩)时的许用应力来代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具体数值可从有关设计 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 或手册中查得。对于抗拉、压性能不同的材料，例如铸铁等脆性材料，则要求最大拉应力和最大压应力都不超过各自的许用值。其强度条件为 ?tmax?[?t]，?cmax?[?c] (7-19) 7.4.2 弯曲切应力强度条件 一般来说，梁横截面上的最大切应力发生在中性轴处，而该处的正应力为零。因此最大切应力作用点处于纯剪切应力状态。这时弯曲切应力强 度条件为 τmax?(FQS, z Izb)max?[?] (7-20) 对等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面上。弯曲切应力强度条件为 τmax?FQmaxS, zmax Izb?[τ] (7-21) 许用切应力[??通常取纯剪切时的许用切应力。 对于梁来说，要满足抗弯强度要求，必须同时满足弯曲正应力强度条件和弯曲切应力强度条件。也就是说，影响梁的强度的因素有两个:一为弯曲正应力(一为弯曲切应力。对于细长的实心截面梁或非薄壁截面的梁来说，横截面上的正应力往往是主要的(切应力通常只占次要地位。例如图7-16所示的受均布载荷作用的矩形截面梁，其最大弯曲正应力为 - 165 - 图7-16 ςmax?Mmax Wzql23ql2?? bh24bh2 6 而最大弯曲切应力为 τmax? 二者比值为 3FQmax2Aql33ql?? 2bh4bh ςmax τmax3ql2l?? 3qlh 4bh 即，该梁横截面上的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比等于梁的跨度l与截面高度h的比。当l>>h时，最大弯曲正应力将远大于最大弯曲切应力。因此，一般对于细长的实心截面梁或非薄壁截面梁，只要满足了正应力强度条件，无需再进行切应力强度计算。但是，对于薄壁截面梁或梁的弯矩较小而剪力却很大时，在进行正应力强度计算的同时，还需检查切应力强度条件是否满足。 另外，对某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁，在其腹板与翼缘联接处，同时存在相当大的正应力和切应力。这样的点也需进行强度校核，将在第10章进行讨沦。 - 166 - 图7-17 例7-4 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图7-17(a)所示，铸铁抗拉许用应力为[?t]=30MPa，抗压许用应力为[?c]=140MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz?763cm4，且y1?52mm，试校核梁的强度。 解 由静力平衡方程求出梁的支反力为 FA?2.5kN,FB?10.5kN 做弯矩图如图7-17(b)所示。最大正弯矩在截面C上，MC=2.5Kn.m，最大负弯矩在截面B上，MB??4kN.m。T形截面对中性轴不对称，同一截 面上的最大拉应力和压应力并不相等。在截面B上，弯矩是负的，最大拉应力发生于上边缘各点，且 ςt?MBy1 Iz4?103?52?10?3?Pa?27.2MPa ?24763?(10) 最大压应力发生于下边缘各点，且 ςc?MBy2 Iz40?103?(120?20?52)?10?3 ?Pa?46.2MPa?24763?(10) 在截面C上，虽然弯矩MC的绝对值小于MB，但Mc是正弯矩，最大拉应力发生于截面的下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力，其值为 ςt?MCy2 Iz2.5?103?(120?20?52)?10?3 ?Pa?28.8MPa?24763?(10) 所以，最大拉应力是在截面C的下边缘各点处，但从所得结果看出，无论是最大拉应力或最大压应力都未超过许用应力，强度条件是满足的。 - 167 - 由例7-4可见，当截面上的中性轴为非对称轴，且材料的抗拉、抗压许用应力数值不等时，最大正弯矩、最大负弯矩所在的两个截面均可能为危险截面，因而均应进行强度校核。 例7-5 简支梁AB如图7-18(a)所示。l=2m， a=0.2m。梁上的载荷为q=10kN,m，F=200kN。材 料的许用应力为[?]?160MPa， [?]?100MPa。试 选择适用的工字钢型号。 解 计算梁的支反力，然后做剪力图和弯矩图， 如图7-18(b)、(c)所示。 根据最大弯矩选择工字钢型号，Mmax?45kN?m， 由弯曲正庄力强度条件，有 Mmax45?103 33 Wz??m?281cm6[?]160?10 查型钢表，选用22a工字钢，其Wz?309cm3。校核 梁的切应力。代入切应力强度条件 Iz*Sz腹板厚度d=0.75cm。由剪力图FQmax?210kN。?18.9m， τmax?FQmaxS, z Izb210?103?Pa?148MPa?*τ+ ?2?218.9?10?0.75?10 ?max超过[?]很多，应重新选择更大的截面。现以25b工字钢进行试算。由表查出， Iz *Sz?21.27cm，d=lcm。再次进行切应力强度校核。 210?103 21.27?10?2?max??1?10?2Pa?98.7MPa?[?] 因此，要同时满足正应力和切应力强度条件，应选用型号为25b的工字钢。 7.5 提高弯曲强度的一些措施 前面曾经指出，弯曲正应力是控制抗弯强度的主要因素。因此，讨论提高梁抗弯 - 168 - 强度的措施，应以弯曲正应力强度条件为主要依据。由σmax? 为了提高梁的强度，可以从以下三方面考虑。 7.5.1 合理安排梁的支座和载荷 Mmax?[σ]可以看出，Wz 从正应力强度条件可以看出，在抗弯截面模量Wz不变的情况下，Mmax越小，梁的承载能力越高。因此，应合理地安排梁的支承及加载方式，以降低最大弯矩值。例如图7-19(a)所示简支梁，受均布载荷q作用，梁的最大弯矩为Mmax?12ql。 8 图7-19 如果将梁两端的铰支座各向内移动0.2l，如图7-19(b)所示，则最大弯矩变为 Mmax?12ql，仅为前者的1,5。 40 由此可见，在可能的条件下，适当地调整梁的支座位置，可以降低最大弯矩值，提高梁的承载能力。例如，门式起重机的大梁图7-20(a)，锅炉筒体图7-20(b)等，就是采用上述措施，以达到提高强度，节省材料的目的。 图7-20 再如，图7-21(a)所示的简支梁AB，在集中力F作用下梁的最大弯矩为 - 169 - Mmax?1Fl 4 如果在梁的中部安置一长为l/2的辅助梁 CD(图7-21b)，使集中载荷F分散成两个 F/2的集中载荷作用在AB梁上，此时梁 AB内的最大弯矩为 Mmax?1Fl 8 如果将集中载荷F靠近支座，如图(7-21c) 所示，则梁AB上的最大弯矩为 Mmax?5Fl 36 图 由上例可见，使集中载荷适当分散和 使集载荷尽可能靠近支座均能达到降低最 大弯矩的目的。 7.5.2 采用合理的截面形状 由正应力强度条件可知，梁的抗弯能 力还取决于抗弯截面系数WZ。为提高梁的 抗弯强度，应找到一个合理的截面以达到既提高强度，又节省材料的 目的。比值Wz 图7-21 A Wz值越大，截面越趋于合理。例如图7-22中A可作为衡量截面是否 合理的尺度， 所示的尺寸及材料完全相同的两个矩形截面悬臂梁，由于安放位置不 同，抗弯能力也不同。竖放时 bh2 Wzh?? Abh6 平放时 b2h Wzb?? Abh6 当h>b时，竖放时的WzW大于平放时的z，因此，矩形截面梁竖放比平放更为合理。AA - 170 - 在房屋建筑中，矩形截面梁几乎都是竖放的，道理就在于此。 表7-1列出了几种常用截面的Wz值，由此看出，工字形截面和槽形截面最为合A 理，而圆形截面是其中最差的一种，从弯曲正应力的分布规律来看，也容易理解这一事实。以图7-23所示截面面积及高度均相等的矩形截面及工字形截面为例说明如下:梁横截面上的正应力是按线性规律分布的，离中性轴越远，正应力越大。工字形截面有较多面积分布在距中性轴较远处，作用着较大的应力，而矩形截面有较多面积分布在中性轴附近，作用着较小的应力。因此，当两种截面上的最大应力相同时，工字形截面上的应力所形成的弯矩将大于矩形截面上的弯矩。即在许用应力相同的条件下，工字形截面抗弯能力较大。同理，圆形截面由于大部分面积分布在中性轴附近，其抗弯能力就更差了。 图7-22 图7-23 W表7-1 几种常用截面的z A值 合考虑刚度、稳定性以及结构、工艺等方面的要求，才能最后确定。 在讨论截面的合理形状时，还应考虑材料的特性。对于抗拉和抗压强 度相等的材料，如各种钢材，宜采用对称于中性轴的截面，如圆形、矩形和工字形等。这种横截面上、下边缘最大拉应力和最大压应力数值相同，可同时达到许用应力值。对抗拉和抗压强度不相等的材料，如铸铁，则宜采用非对称于中性轴的截面，如图7-24所示。我们知道铸铁之类的脆性材料，抗拉能力低于抗压能力，所以在设计梁的截面时，应使中性轴偏于受拉应力一侧，通过调整截面尺寸，如能使y1和y2之比接近下列关系: ςtmax?ςcmaxMmaxy1IzMmaxy2 Iz?y1*ςt+? y2*ςc+ - 171 - 图7-24 则最大拉应力和最大压应力可同时接近许用应力，式中[?t]和[?c]分别表示拉伸和压缩许用应力。 7.5.3 采用等强度梁 ςmax?M(x)?*?+ W(x) 时，称为等强度梁。等强度梁的抗弯截面模量随截面位置的变化规律为 Wz(x)?M(x) (7-22) [?] 由式(7-22)可见，确定了弯矩随截面位置的变化规 律，即可求得等强度梁横截面的变化规律，下面举例说 明。 设图7-25(a)所示受集中力F作用的简支梁为矩形截 面的等强度梁，若截面高度h=常量，则宽度b为截面位 置x的 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，b=b(x)，矩形截面的抗弯截面模量为 b(x)h2 Wz(x)?6 弯矩方程式为M(x)?FLx 0?x? 22 将以上两式代人式(7-22)，化简后得 图 7-25 - 172 - b(x)?3Fx (a) 2h[?] 可见，截面宽度b(x)为x的线性函数。由于约束与载荷均对称于跨度中点，因而截面形状也对跨度中点对称(图7-25b)。在左、右两个端点处截面宽度b(x)=0，这显然不能满足抗剪强度要求。为了能够承受切应力，梁两端的截面应不小于某一最小宽度bmin，见图7-25(c)。由弯曲切应力强度条件 3FQmax3???*?+ 2A2bminhFτmax 得 bmin? 若设想把这一等强度梁分成若干 狭条，然后叠置起来，并使其略微拱 起，这就是汽车以及其他车辆上经常 使用的叠板弹簧，如图7-26所示。 若上述矩形截面等强度梁的截面 宽度b为常数，而高度h为x的函数， 即h=h(x)，用完全相同的方法可以求 得 3F 4h[?] (b) h(x)?3Fx b[?] (c) 图7-26 hmin?3F (d) 4b[?] 按式(c)和式(d)确定的梁形状如图7-27(a)所示。如把梁做成图7-27(b)所示的形式，就是厂房建筑中广泛使用的“鱼腹梁”。 - 173 - 图7-27 图7-28 使用公式(7-17)，也可求得圆截面等强度梁的截面直径沿轴线的变化规律。但考虑到加工的方便及结构上的要求，常用阶梯形状的变截面梁(阶梯轴)来代替理论上的等强度梁，如图7-28所示。 7.6 开口薄壁杆件的弯曲中心 在前面讨论中指出，当杆件有纵 向对称面，且载荷也作用于对称面内 时，杆件的变形是平面弯曲。对非对 称杆件来说，即使横向力作用于形心 主惯性平面内，杆件除弯曲变形外， 还将发生扭转变形，如图7-29(a)所示。 只有当横向力的作用平面平行于形心 主惯性平面，且通过某一特定点A时， 杆件才只有弯曲而无扭转图7-29(b)。 这一特定点A称为弯曲中心。 图 7-29 开口薄壁杆件的弯曲中心有较大的实际意义，而且它的位置用材料力学的方法就可确定。为此，首先讨论开口薄壁杆件弯曲切应力计算。 图 7-30 - 174 - 图7-30(a)为一开口薄壁杆件，y和z为横截面的形心主惯性轴，设载荷F平行于y轴，且通过弯曲中心。这时杆件只有弯曲而无扭转，z轴为弯曲变形的中性轴。横截面上的弯曲正应力仍由式(7-2)计算。至于弯曲切应力(由于杆件的壁厚t远小于横截面的其它尺寸，所以可以假设沿壁厚t切应力的大小无变化。又因杆件的内侧表面和外侧表面都为自由面，未作用任何与表面相切的载荷，所以横截面上的切应力应与截面的周边相切。以相距为dx的两个横截面和沿薄壁厚度t的纵向面，从杆中截出一部分abcd图7-30(b)、(c)。在这一部分的ad和bc面上作用着弯曲正应力，在底面dc上作用着切应力。这些应力的方向都平行于x轴。由7-3所述的方法，求得bc和ad面上的合力FN1和FN2分别是 FN1?M*Sz Iz FN2?M?dM*Sz Iz 式中M和(M+dM)分别是bc和ad两个横截面上的弯矩;S*z是截面上截出部分面积(图中画阴影线的面积)对中性轴的静矩:Iz是整个截面对中性轴的惯性矩。根据横截面上的切应力分布规律和切应力互等定理，底面dc上的内力为?tdx 把作用于abcd部分上的力投影于，x轴(由平衡条件'?Fx?0，可知 FN2?FN1?τ'tdx?0 即 M?dM*M*'Sz?Sz?τtdx?0 IzIz **FSdMSz由此求得 τ'??Qz dxIztIzt 由切应力互等定理可知，?'等于横截面上距自由边缘为?处的切应力?，即 τ?FQS, z Izt (7-23) 这就是开口薄壁杆件弯曲切应力的计算公式。 - 175 - 图7-31 求得开口薄壁杆件横截面上弯曲切应力后，就可以确定弯曲中心的位置。现以槽钢为例，说明确定弯曲中心的方法。设槽形截面尺寸如图7-31(a)所示，且外力平行于y轴。当计算上翼缘距右边为?处的切应力?1时， ,SZ?ξth 2 代人公式(7-23)，得 τ1?FQξh 2Iz 可见，上翼缘上的切应力?1，沿翼缘宽度按直线规律变化，见图7-31(b)。 如以FQ1代表上冀缘上切向内力系的合力，则 FQ1??τ1dA??A1b0FQξhFQb2ht ξ?2Iz4Iz (a) 用同样的方法可以求得下翼缘上的内力F'Q1。F'Q1与FQ1大小相等，但方向相反。计算腹板上距中性轴为y处的切应力?2时 bthdh2 S??(?y2) 224* z 代人公式(7-23)，得 FQbthdh2 τ2?*?(?y2)+ Izd224 可见腹板上切应力?2沿高度按抛物线规律变化。以FQ2代表腹板上切向内力系的合 - 176 - 力，则 FQ2??h 2h?2FQbthdh2FQbth2dh32[?(?y)]ddy?(?) Izd224Iz212 槽形截面对中性轴z的惯性矩Iz约为 bth2dh3 Iz??212 以Iz代人上式，得 FQ2?FQ (b) 至此，我们已经求得了截面上的三个切向内力FQ1、F'Q1和FQ2，见图7-31(c)。FQ1和F'Q1组成力偶矩FQ1h，将它与FQ2合并，得到 内力系的最终合力。这一合力仍等于FQ2 (FQ2?FQ)，只是作用线向左平移了一个距离e。如对腹板中线与z轴的交点取矩，由合力矩定理知 FQ1h?FQe 以式(a)代人上式，得 e?FQ1h FQb2h2t (7-24) ?4Iz 由于截面上切向内力系的合力FQ (即截面上的剪力)在距腹板中线为e的纵向平面内，如外力F也在同一平面内，则杆件就只有弯曲而无扭转，这就是图7-29(b)所表示的情况。 若外力沿z轴作用，因z轴是横截面的对称轴，因此杆将产生平面弯曲而无扭转变形。这表明弯曲中心一定在截面的对称轴上。所以，FQ和对称轴的交点A即为弯曲中心也称为剪切中心。在槽形截面的情况下，弯曲中心A在对称轴z上，其位置由公式7-24确定。该式表明，弯曲中心的位置与外力的大小和材料的性质无关，它是截面图形的几何性质之一。 由以上分析可知，对于具有一个对称轴的截面，例如槽形、T形、开口环形和等边角钢等，截面的弯曲中心一定位于对称轴上。因此，只要确定出e值后，即可定出弯曲中心的位置。对于具有两个对称轴的截面，例如矩形、圆形和工字形等，弯曲中 - 177 - 心必在两对称轴的交点上，即截面形心和弯曲中心重合。如截面为反对称，例如Z字形截面，则弯曲中心必在反对称的中点，也与形心重合。表7-2给出了几种常见开口薄壁截面梁弯曲中心的位置。 表7-2 开口薄壁靛面的弯曲中心的位置 综上所述，当外力通过弯曲中心时，无论是平行于y轴或沿着z轴，外力和横截面上的剪力在同一纵向平面内，杆件只有弯曲变形。反之，若外力F不通过弯曲中心，这时把外力向弯曲中心简化，将得到一个通过弯曲中心的力F和一个扭转力偶矩。通过弯曲中心的横向力F仍引起上述弯曲变形，而扭转力偶矩却将引起杆件的扭转变形，这就是图7-29(a)所表示的情况。 对实体截面或闭口薄壁截面杆件，因其弯曲中心和形心重合或靠近形心，且切应力数值通常又较小，所以不必考虑弯曲中心的位置。但对于开口薄壁截面杆件，因其承受扭转变形的能力很差，所以外力的作用线应尽可能通过弯曲中心，以避免产生扭转变形。因此，确定开口薄壁杆件弯曲中心的位置，是具有实际意义的。 例7-6 试确定图7-32(a)所示开口薄壁截面的弯曲中心，设截面中线为圆周的一部分。 解 以截面的对称轴为z轴，y、z轴为形心主惯性轴，因而弯曲中心A必在z轴上。设剪力FQ过弯曲中心A，且平行于y轴。用与z轴夹角为?的半径截取部分面积A1，其对z轴的静矩为 - 178 - 图7-32 S?* Z?A1ydA?2Rsin?tRd??tR2(cosθ?cosα ) θ?α 整个截面对z轴的惯性矩为 Iz??AydA?22?α?α(Rsin?)2tRd??tR3(α?sinα cosα ) 代入公式(7-23)，得 τ?FQ(cosθ?cosα ) tR(α?sinα cosα ) 以圆心为力矩中心，由合力矩定理 FQe? 积分后求得 ?ARτdA?R?α?αtRdθ tR(α?sinα cos ααFQ(cosθ?cosα ) e?2R 当??sinα?αcosα α?sinαcosα (a) ?时，得到半圆形开口薄壁截面如图7-33(b)，此时由式(a)得 2 e?4R π 当???时，得到圆形开口薄壁截面如图7-33(c)，此时由式(a)得 e?2R 习 题 7-l 把直径d=lmm的钢丝绕在直径D=2m的轮缘上，已知材料的弹性模量E=200GPa，试求钢丝内的量大弯曲正应力。 7-2 简支梁受均布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截 - 179 - 面，且Dl=40mm，d23?。试分别计算它们的最大弯曲正应力。并问空心截面比实D25 心截面的最大弯曲正应力减小了百分之几? 7-3 图示圆轴的外伸部分是空心圆截面，试求轴内的最大弯曲正应力。 7-4 某操纵系统中的摇臂如图所示，右端所受的力F1=8.5kN，截面1-1和2-2均为高度比h,b=3的矩形，材料的许用应力[?]=50MPa。试确定1-1和2-2两个横截面的尺寸。 7-5 桥式起重机大梁AB的跨长l=16m，原设计最大起重量为100kN。若在大梁上距B端为x的C点悬挂一根钢索，绕过装在重物上的滑轮，将另一端再挂在吊车的吊钩上。使吊车驶到C的对称位置D。这样就可吊运150kN的重物。试问x的最大值等于多少，设只考虑大梁的正应力强度。 - 180 - 7-6 图示轧辊轴直径D=280mm，L=1000mm，l=450mm，b=100mm，轧辊材料的弯曲许用应力[?]=100MP。试求轧辊能承受的最大轧制力F(F=qb)。 7-7 割刀在切割工件时，受到F=1kN的切削力作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀内的最大弯曲正应力。 7-8 图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为?形，材料的拉伸和压缩许用应力之比[?t]?1,4。求水平翼扳的合理宽度。 [?c] 7-9 ?形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力 [?]=40MPa，压缩许用应力[?]=160MPa，截面对形心轴zc的惯性矩IzC?10180cm4，h1?9.64cm，试计算该梁的许可载荷F。 - 181 - 7-10 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、D两点间长度的改变?l?27?10?3mm材料的E=200GPa，试求梁截面上的弯矩M。 7-11 梁AB的截面为10号工字钢，B点由圆钢杆BC支承，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的[?]=160MPa，试求许用均布载荷[q]。 7-12 某吊车用28b工字钢制成，其上、下各焊有75mm x 6mm x 5200mm的钢板，如图所示。已知[?]=100MPa，试求吊车的许用载荷F。 7-13 设梁的横截面为矩形，高300mm，宽50mm，截面上正弯矩的数值为240kN?m。材料的抗拉弹性模量Et为抗压弹性摸量Ec的1.5倍。若应力未超过材料的比例极限，试求最大拉应力与最大压应力。 - 182 - 7-14 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力[?t]=40MPa，许用压应力[?c]=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，即成为?形，是否合理?何故, 7-15 图示为一用钢板加固的木梁。已知木材的弹性模量E1=10GPa，钢的弹性横量E2=210GPa，若木梁与钢板之间不能相互滑动，试求木材及钢板中的最大正应力。 7-16 图示为用两根尺寸、材料均相同的矩形截面直杆组成的悬臂梁，试求下列两种情况下梁所能承受的均布载荷集度的比值: (1)两杆固结成整体。 (2)两杆叠置在一起，交界面上摩擦可忽略不计。 7-17 试计算图示矩形截面简支梁的1-1截面上a点和b点的正应力和切应力。 - 183 - 7-18 图示圆形截面简支梁，受均布载荷作用。试计算梁内的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力，并指出它们发生于何处。 7-19 试计算图示工字形截面梁内的最大正应力和最大切应力。 7-20 起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机自重W=50kN，起重量W2=10kN。许用应力[?]=160MPa，[?]=100MPa。若暂不考虑梁的自重，试按正应力强度条件选定工字钢型号，然后再按切应力强度条件进行校核。 7-21 由三根本条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示。跨度 l = l m。若胶合面上的许用切应力为[?]=0.34MPa，木材的许用弯曲正应力[?]=10MPa，许用切应力为 [?]=1MPa，试求许可载荷F。 7-22 在图(a)中，若以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截出一邪分，如图(b)所示。试求在纵向面abcd上由?dA组成的内力系的合力，并说明它与什么力平衡。 - 184 - 7-23 用螺钉将四块木板联接而成的箱形梁如图所示。每块木板的横截面都为150mm x 25mm。若每一螺钉的许可剪力为1 lkN，试确定螺钉的间距s。设F=5.5kN。 7-24 图示梁由两根36a工字钢铆接而成。铆钉的间距为s=150mm，直径d=20mm，许用切应力[?]=90MPa。梁横截面上的剪力FQ=40kN，试校核该铆钉的剪切强度。 7-25 截面为正方形的梁按图示两种方式放置。试问按哪种方式比较 合理? 7-26 为改善载荷分布，在主梁AB上安置辅助梁CD。设主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为Wl和W2，材料相同，试求辅助梁的合理长度a。 7-27 在18号工字梁上作用着可移动载荷F。为提高梁的承载能力，试确定a和b的合理数值及相应的许可载荷。[?]=160MPa。 7-28 我国制造规范中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 7-29 均布载荷作用下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成，如图所示。变形后两杆仍密切接触。两杆材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1=2E2。试求两杆各自承担的弯矩。 - 185 - 7-30 以F力将置放于地面的钢筋提起。若钢筋单位长度的重量为Q，当b=2a时(试求所需的力F。 7-31 试判断图示各截面的切应力流的方向和弯曲中心的大致位置。设剪力FQ铅垂向下。 7-32 试确定图示箱形开口薄壁截面梁弯曲中心A的位置。设截面的壁厚t为常量，且壁厚及开口切缝都很小。 7-33 试确定图示薄壁截面梁弯曲中心A的位置，设壁厚t为常量。 - 186 -