551 已知正三棱柱ABC—A′B′C′中,AB′⊥BC′,BC=2,求线段AB

551 已知正三棱柱ABC—A′B′C′中,AB′⊥BC′,BC=2,求线段AB 551. 已知:正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′?BC′，BC,2，求:线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长. 解析:如图，取BC的中点D.?AD?BC，侧面?底面ABC，?AD?侧面BCC'B' 是斜线AB′在侧面的射影.又?AB′?BC′，??BC′. B'DB'DBCC'B' 2设BB′,x，在RtΔ中，BE?BD,，,. B'BDBB'B'D1，x 112?E是ΔBB′C的重心.?BE,BC′, 4，x33 122?x,?，解得:x,2.?线段AB′在侧面的射影长为2. 1，xx，43 552.ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0,θ,90?,，则S′,S?cosθ. 证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D?BC，垂足为D. ?AA′?平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC. ,AD11?AD?BC.??ADA′,θ.又S′,A′D?BC，S,AD?BC，cosθ,,?S′,S?cosAD22 θ. 证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′,S?cosθ. 553. 求证:端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面. 证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ ,?平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.?PQ?平面α，MNα，?PQ?MN.在平面APQ内，PQ?a,PQ?MN,?MN?a,a?α，又?PM,MQ，?AN,NQ，同理可证NR?b,RA,RB. 即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内. 554. 如图，已知直三棱柱ABC—ABC中，?ACB,90?，?BAC,30?，BC,1，AA1111 6,，M是CC的中点，求证:AB?AM. 111 解析:不难看出BC?平面AACC，AC是AB在平面AACC上的射影.欲证AM?AB，1111111111只要能证AM?AC就可以了. 11 3证:连AC，在直角ΔABC中，BC,1，?BAC,30?，? AC,AC,. 111 AA612设?ACA,α，?MAC,β? tanα,,,, 1111AC311 保护原创权益?净化网络环境 6 ,,1,tantanMC21,121tgβ,,,.?cot(α+β),,,0, 2tan,，tan,AC32112，2?α+β,90? 即AC?AM. ?BC?CA，CC?BC，?BC?平面AACC， 1111111111111AC是AB在平面AACC上的射影. ?AC?AM，?由三垂线定理得AM?AB. 11111111评注:本题在证AC?AM时，主要是利用三角函数，证α+β,90?，与常见的其他题目不11 太相同. 555. 矩形ABCD，AB,2，AD,3，沿BD把ΔBCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落 在AD上. (1)求证:CD?AB; (2)求CD与平面ABD所成角的余弦值. (1)证明 如图所示，?CM?面ABD，AD?AB， ?CD?AB (2)解:?CM?面ABD ??CDM为CD与平面ABD所成的角， DMcos?CDM, CD 作CN?BD于N，连接MN，则MN?BD.在折叠前的矩形ABCD图上可得 DM?CD,CD?CA,AB?AD,2?3. 2?CD与平面ABD所成角的余弦值为 3 556. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，?PBA,45?，?PBC,60?，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角;(2)求证:AB?平面PMC. 解析:此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ? PA?AB，??APB,90? 在RtΔAPB中，??ABP,45?，设PA,a， 2则PB,a,AB,a,?PB?PC，在RtΔPBC中， 3??PBC,60?,PB,a.?BC,2a,PC,a. 保护原创权益?净化网络环境 2222?AP?PC ?在RtΔAPC中，AC,,,2a a，(3a)PA，PC (1)?PC?PA,PC?PB,?PC?平面PAB， ?BC在平面PBC上的射影是BP. ?CBP是CB与平面PAB所成的角 ,60?，?BC与平面PBA的角为60?. ??PBC (2)由上知，PA,PB,a,AC,BC,2a. ?M为AB的中点，则AB?PM，AB?CM. ?AB?平面PCM. 说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 557. 在空间四边形ABCP中，PA?PC，PB?BC，AC?BC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30?和45?。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论;(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离. 解析:主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力. 解 (1)AB与PC不能垂直，证明如下:假设PC?AB，作PH?平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，?HC?AB，?PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PB?BC，PA?PC. ?BH?BC，AH?AC ?AC?BC，?平行四边形ACBH为矩形. ?HC?AB，?ACBH为正方形. ?HB,HA ?PH?平面ACBH.?ΔPHB?ΔPHA. ??PBH,?PAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为?PBH，?PAH.由已知?PBH,45?，?PAH,30?，与?PBH,?PAH矛盾. ?PC不垂直于AB. (2)由已知有PH,h,??PBH,45? 3?BH,PH,h.??PAH,30?，?HA,h. 2222BH，HAh，(3h)?矩形ACBH中，AB,,,2h. h,3h3HB,HA作HE?AB于E，?HE,,,h. 22hAB ?PH?平面ACBH，HE?AB， 由三垂线定理有PE?AB，?PE是点P到AB的距离. 保护原创权益?净化网络环境 732222PH，HE在RtΔPHE中，PE,,,h. h，(h)22 7h. 即点P到AB距离为2 评析:此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法. 1558. 如图，在棱长为a的正方体AC中，M是CC的中点，点E在AD上，且AE,AD，F113 1在AB上，且AF,AB，求点B到平面MEF的距离. 3 解法一:设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EF?BD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC?面MEF，而MR是交线，所以作OH?MR，即OH?面MEF，OH即为所求. ?OH?MR,OR?MC， 118a?OH,. 59 解法二:考察三棱锥B—MEF，由V,V可得h. B-MEFM-BEF 点评 求点面的距离一般有三种方法: ?利用垂直面; ?转化为线面距离再用垂直面; ?当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离. 559( 正方体ABCD—ABCD的棱长为a，求AC和平面ABC间的距离. 1111111 解法1 如图所示，AC?平面ABC，又平面BBDD?平面ABC. 111111 故若过O作OE?OB于E，则OE?平面ABC，OE为所求的距离 111111 由OE?OB,OB?OO， 11111 3a可得:OE, 13 保护原创权益?净化网络环境 C的高h. 解法2:转化为求C到平面ABC的距离，也就是求三棱锥C—AB1111 3由 V,V，可得h,a. C,ABCA,BCC11113 解法3 因平面ABC?平面CDA，它们间的距离即为所求，连BD，分别交BO、DO与F、111111G(图中未画出)。易证BD垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得 1 3aFG,. 3 点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路. AMAN1560. 在ΔABC中，M、N分别是AB、AC上的点，,,.沿MN把ΔAMN到ΔA′MBNC2 MN的位置，二面角A′—MN—B为60?，求证:平面A′MN?平面A′BC. 解析:作AD?BC于D，设AD?MN,P，?A′PD,60?，可证A′P?平面A′BC. 保护原创权益?净化网络环境