n阶常系数非齐次线性微分方程的通解

n阶常系数非齐次线性微分方程的通解 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解 12唐生强 ，唐清干 (1.桂林电子工业学院图书馆，广西 桂林 541004;2.桂林电子工业学院计算科学与数学系，广西 桂林 541004) 摘 要:为研究 n 阶常系数非齐次线性常微分方程解的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，求证了 n 阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和 特 解的积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式(利用韦达定理和一个变量替换，对 n 阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶，导出该方程的 一个 用积分表示的通解公式，并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解和特解公式( 关 键 词: n 阶常系数非齐次线性微分方程;通解;特解;韦达定理 中图分类号:O175.1 文献标识码:A The General Solution Derivation of Order n Non-homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients 12TANG Sheng-qiang，TANG Qing-gan (1.Library，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，PRC;2.Dept.of Computing Science and Mathematic ， Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，PRC) Abstract:To obtain the general solution and their special solutions in integration form，the way to get the n order non-homogeneouslinear ordinary equation with constant coefficients was studied(Resorting to the theory of Vieta and an alternative transformation，the order of the equation is lowered and a general solution formula，expressed by integrations was derived(According to root cases of the auxiliary equation，the detailed expressions of the general solution and their special solutions were given( Key words:order n non-homogeneous linear differential equation with constant coefficients ;general solution;special solutions;the theory of Vieta [12]，一般常微分方程教材中，用特征根法求 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 已很成熟， 用积分表示方程的通解在文献[3]~[5]中进行了探讨，但还不完善，仍值得研究( 设 n 阶常系数非齐次线性微分方程 ( n) ( n 1) y ay … ay ay f (x) ( f (x)连续)(1) 1 n 1 n 所 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 ， 由 韦 达 定 理 可 将 方 程 (1) 化 为 r, r, … , r 1 2 n kn( n 1) ( n k 1) ( y ry )rr… r( y ry) … ( 1) … (-1) r… r( y ry) f (x) (n i ii n 1 n 1 n 1 2 k1 i i … i n 112k 令 y y ry ，则上述方程可降阶为 n,1 阶方程，即: 1 n ( n 1) ( n k 1) kn … ( 1) … ( 1) rr…ry f ( x) ( (2)y r r …r y 12 n 1 1 1iii 11 2 1 i i … i n 1 12 k 收稿日期:2004-03-18 基金项目:广西区教育厅资助项目(D20010) 第 30 卷第 5 期 唐生强等 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解 479 1 公式的推导 r,r,… ,r( n 2) 定理 1 若方程 (1) 所对应的齐次方程的特征根为 ，则方程(1 )的通解为 1 2 n ( r r ) x r x rx( r r ) x ( r r ) x n 1 1 2 y e e (e ( … (e f ( x)dx )dx)… dx)dx)dx (e (n 1 n n 2 n 1 n 的一个通解为 证明:当 n 2 时，二阶 常系数非齐次线性微分方程 y ay ay f ( x) 1 2 )xr xr x(r r [1]121 2 f (x) d x) d x (现设论断当 n 1 时成立，即 n 1 阶常系数非齐次线性微分方程的 (e ye e 2 rx( r r) x ( r r) x ( r r) x rxn 1n 2 n 1 n 3 n 2 1 2 1一个通解为 ( 由变换 y ee(e(…( e(e f ( x) d x) d x) … d x) d x) d x n1 y y ry 可将方程(1)化为方程(2)，所以: 1 n ( r r) x ( r r) x ( r r) x rx rx n 2 n 1 n 3 n 2 12 1n 1e (e ( …(e (e f ( x) d x) d x )… d x) d x) d x ; y r y e n rx(r r) x (r r) x (r r)x rx n n 1n n 2 n 112 1 y ee(e( …(e(ef (x) d x) d x)…d x) d x) d x (n n 11 1 引理 1 设 r, r,…, r为互不相等的常数，则 . 12 n r) r)(rk 1 (r i i nkn i 1;i k n 1 i 1 k 1n 2 (r r )(r r ) … ( 1)(r r ) … ( 1) i j i j i j n 1 1 2 i j n 1 i j n, i, j k , 1 i j n, i, j n 1 证明: ( (r r)(r r)k 1 k i i j n i 1,i k 1 i j n n 2 g(r,…, r) a(r r) 记上式分子为 g (r,…, r) ， 则 ， 可以确定常数 a ( 1)， 所以 ， 1n 1 n i j 1 i j n 1 n 1 1 1 ( (r r)(r r)k 1 n i k i n i 1;i k n 1 i 1 in 1 n 2( 1) ( 1) 引理 2 (n 1 i)!i! (n 1)! i 0 in 3n 2n 1n 1n 2 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 证明:当 n 为偶数时，( … (n 1)!0! (n 2)!1! 3!(n 4)! 2!(n 3)! 1!(n 2)! (n 1)! (n 1 i)!i! i 0 in 1n 2 ( 1)1 1 ( 1) 1k kn 2 n 1 0n 1 当 n 为奇数时，( C… ( 1) C … C C ) (C C n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 (n 1 i )!i! (n 1)! ( n 1)! (n 1)! i 0 定理 2 设方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r, r,…, r，则: 12 n nr x k (1)当 r , r ,…, r 互不相等时，方程(1)的通解为 ;e r xy ( n 2) kf ( x ) d x e 1 2 n k 1 ( r r) k i n i 1, i k ii n 1 i n 1 x( 1)x rxrx r r … r r (2)当 时，则方程(1)的通解为 y e f (x) d x ; 1 2 n e i! (n 1 i)! i 0 第 30 卷第 5 期 唐生强等 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解 479 r, r,… , r(1 k n ) (3)当方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 互不相等时，则方程(1)的通解为 1 2 k 480 湖南农业大学学报(自然科学版) 2004 年 10 月 1 i in 1 i in 1 iniiin 1 n 1 n 1 k k kk 1k 1 k 1 kk 2k 2 k 2 k 1k k 1 k 2 ( 1) x ( 1) x r x r r x r r x ( )( )kk 1 k k 2 k 1 y e e ( e ( 1) x ( n 1 i)!i!(n 1 i)!i!( n 1 i)!i!i 0 i 0 i 0 k k k k 1 k 1 k 1k 2 k 2 k 2 k k 1k 2 n 1 i in 1i12 1 1 i r x( 1) x( r r ) x (d x) d x) d x ( ( e ( x e f (x) d x d x) ) 1 2 1 1 … … (n 1 i)!i!i 0 1 111 rxrx 2 1 e e rx rx 2 1 ef ( x) d x 证明 1)当 n 2 时，因为 r r ，由定理 1 知其通解为 yef ( x) d x ( 1 2 2 r r rr2 1 1 2 rx k n 1e 现设论断对 n 1 阶常系数非齐次线性微分方程成立，即其通解为 ， rx y f ( x ) d x k e n 1 (r r) ki k 1 n 1 i 1,i k ( r r) x rx k n n n n 11e e r x r x 故方程(1)的通解为 r x r x k y e f ( x )dx ) ( ne y 2) dx e ( e f ( x )d x n n (r(r r ) n i kk( n n 1 n i 1,i k n i 1,i k k 1 r) k 1 i rx k ne rx 由引理(1)有 y k (n 2) ( nef (x)dx (r r) k i k 1 n i 1,i k (2)现设论断对 n 1 阶常系数非齐次线性微分方程成立，则方程(1)的通解为(由引理(2)推得): i ( n 2 i )i i n 1 i in 2 n 1 ( 1)xx ( 1)x x rx rx rx rx y e(ef ( x) d x) d x eef (x) d x ( n (n 2 i )! i! (n 1 i)! i! i 0 i 0 , … , r , r(3)暂设方程 (1) 的特征根为 r, r, , r，其中 r，做变换 r… r … n 1 n11 2 nn 2 1 1 1 n n 1m( n n 1) ( n n m) ( n n) n n ，则方程 (1)1 1 1 1r…ry ( 1) n 1 n yy r…ry … … ( 1) 1 i i ry1 m 1 n i 1 n 1 i i … i n 1 1 2 m i 1 n 1n( n 1) (n ) ( n m) m11 1 1 化为 y ry … ( 1)r…ry … ( 1) r…ry f (x) (由定理 2 之 (2) 1 i 1 i i1 1 n 1 1 m1 1 i i … i ni 1 12 m 1 n n 1in 1 in 1 1 111( n n )( n n 1)( 1) x 1 1 rx i rx 11 1 ry y … e 知上方程的通解为 yx e f (x) d x ，因此， n i 11(n 1 i)!i!i 1i 0 1 1 11 in 1 i 1 n1 11 1( 1) x rx im rx ( n n m) n n 11f (x) d x ( 111 ( 1) r…ry x e … ( 1) r…ry e iin 1 n 1 m 1(n 1 i)!i!n 1 i i … i ni 0 1 1 1112 m 1 不妨将此方程的特征根改写为 r , … , r，且 r … r r ，再做变换 , r,… , r 11 n21 nnn n 22 12 ( n n n) ( nnnm ) n n n m12 12 12n i … i2 12 m r…ryyy … ( 1) … ( 1) 2 ii 1m 1 i n n 1 r… ry ， 则方程ii 1m化为 n 2( n) ( n 1) ( n m) mn 2 2 2 2 y (再由定理 2 y r y … ( 1)iy … ( 1)r … nr …r r y1 i 2 i 2 m 2 2 2 1 1 1 i i … i ni 1 12m 2 第 30 卷第 5 期 唐生强等 n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解 481 n 1 in 1 i iiin 12 2 2n 11 1122 1 ( 1) x ( 1) x rx ( r r) x i rx 212 1 1 e e 之(2)知上方程的通解为 y( x ef (x) d x) d x (重复 2(n 1 i)!i!(n 1 i)!i!i 0 i 0 2 2 2 1 1 12 1 上述过程 k 次，最后就能得到所证( r, r,… , r推 论 若方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 ，则: 1 2 n rx (r r) x ( r r) x (r r) x rx n n 1n n 2 n 1 1 2 1(1)方程(1)的 1 个特解为 ;y e e (e(…(e (e f ( x) d x) d x)…d x ) d x ) d x rx k ne rx r,…,rk y (2)若 互不相等，则方程(1)的 1 个特解为 (n 2) ; f (x) d x 1 n e (r r) k i k 1 n i 1,i k i n 1 iin 1 ( 1)xxrx rxr r … r r (3)若 ，则方程(1)的 1 个特解为 y f ( x) d x ; 1 2 n e e i!(n 1 i)! i 0 r, … , r(1 k n) n n … n n (4)若 互不相同且重数依次为 n, n,…, n; ，则方程(1)的 1 1 k 12 k 1 2 k i n 1 ii n 1 i in 1 i i i n 1 k k k 1 k 1 k 1k 1 k 1 k 2 k 2k 2 k 1n n k 2 k k 1 ( 1) x ( 1) x ( 1) x r x r ) x (r r) x ( r k k 1 k k 2 k 1 个特解为 y e ee ( (n1 i)!i !1 i)!i!1 i)!i!(n(ni 0 i 0 i 0 k kk 1 k 1k 2 k 2 k k k 1k 1k 2 k 2 n 1 i i i1 2 n 11 1 x ( 1) ( r r) xi rx1 2 1 1(f ( x ) d x ) d x )( ( e x e d x ) d x ) d x ( … … (n 1 i)!i!i 0 1 1 1 1 在应用以上特解公式时，积分常数均应取零值( 2 举 例 x y 2 y y 2 y x e(1)求方程 的通解( 解:方程的特征根为 r 2, r 1, r 1, 由定理 1，方程的通解为: 1 2 3 15 x 2 x x 2 2 x (1 2) x ( 1 1) x ( x ) x ) e ( x c e c e ( x y ee(e(e(x e) d x) d x) d x c3 2 1 12 36 2x y 3y 3 y y x e (2)求方程 的 1 个特解( i i 2 i ( 1)x x x 2 x x解:方程的特征根为 r r r 1 ，由定理 2 得方程的通解为 y e 1 2 3 (x e e ) d x (2 i)! 0! 2 1 3 x1 3 3 2 2 x x 3 2 2 x (c ，故方程的 1 个特解为 y ( x x 4x 6) e ( c x c ) e ( x x 4 x 6) e 1 2 3 2 2 2 2 2 参考文献: [1] 曲贺梅(二阶常系数非齐次线性微分方程特解公式的推导[J](天中学刊，2003，(5):10-11( [2] 王高雄(常微分方程[M](北京:高等教育出版社(101-166( [3] 朱珉仁(二阶常系数线性微分方程的通解及首次积分[J](工科数学，2000，(1):113-116( [4] 徐千里(一类常系数非齐线性微分方程的通解[J](数学理论与应用，2000，(4):32-34( [5] 全生寅，苏连存(二阶非齐次线性常微分方程的通解公式[J](青海大学学报(自然科学版)，2001，(1):60-61( 责任编辑:王赛群 英文编辑:罗文翠