量子力学自测
题
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4
一、（共25分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符
和坐标
的共同本征函数。（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间
和能量
的测不准关系。（5分）
二、（15分）已知厄密算符
，满足
，且
，求
1、在A
表
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象中算符
、
的矩阵表示；
2、在A表象中算符
的本征值和本征函数；
3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）线性谐振子在
时处于状态
，其中
，求
1、在
时体系能量的取值几率和平均值。2、
时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15分）当
为一小量时，利用微扰论求矩阵
的本征值至
的二次项，本征矢至
的一次项。
五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
量子力学自测题4参考答案
一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。
3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
4、宇称算符
和坐标
的对易关系是：
，将其代入测不准关系知，只有当
时的状态才可能使
和
同时具有确定值，由
知，波函数
满足上述要求，所以
是算符
和
的共同本征函数。
5、设
和
的对易关系
，
是一个算符或普通的数。以
、
和
依次表示
、
和
在态
中的平均值，令
，
，
则有
，这个关系式称为测不准关系。
时间
和能量
之间的测不准关系为：
二、1、由于
，所以算符
的本征值是
，因为在A表象中，算符
的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符
的矩阵是：
设在A表象中算符
的矩阵是
，利用
得：
；由于
，所以
，
；由于
是厄密算符，
，
令
，（
为任意实常数）得
在A表象中的矩阵表示式为：
2、在A表象中算符
的本征方程为：
即
和
不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即
对
有：
，对
有：
所以，在A表象中算符
的本征值是
，本征函数为
和
3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符
在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即
三、解：1、
的情况：已知线谐振子的能量本征解为：
，
当
时有：
，
于是
时的波函数可写成：
，容易验证它是归一化的波函数，于是
时的能量取值几率为：
，
，能量取其他值的几率皆为零。
能量的平均值为：
2、
时体系波函数
显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故
时体系能量的取值几率和平均值与
的结果完全相同。
四、解：将矩阵改写成：
能量的零级近似为：
，
，
能量的一级修正为：
，
，
能量的二级修正为：
，
，
所以体系近似到二级的能量为：
，
，
先求出
属于本征值1、2和3的本征函数分别为：
，
，
，
利用波函数的一级修正公式
，可求出波函数的一级修正为：
，
，
近似到一级的波函数为：
，
，
五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以
表示第
个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：
（1）
；（2）
（3）
；
（4）
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