数学史与数学教育

数学史与数学教育 数学史与数学教育 第一章 数 系 本章以数的历史发展脉络为主线，以自然数、整数、有理数、实数及 复数为研究范围，探索各数集产生的历史背景，曲折的发展历程以及在这 个变化过程中各数集所蕴涵的规律和特点。 ?1．1自然数 一.数的起源 1．“匹配”方法的产生 人们在最初是如何确定事物的“多’’和“少”或“几个”的？对于 这个问题,我们所知道的确实很少，但有一点可以肯定，那就是人们确定 事物的“多少”，绝不可能象我们现在这样通过“数(音Shǔ)数(音Shù)”的方法来得出事物对象的个数。 那么原始人是怎样解决这个问题的呢? 从历料发现，人们是运用“匹配”的方法来确认事物对象的“多”和 “少”的。所谓“匹配”的方法就是“对应”的思想,它充分体现了古人的创造智慧，它包含着深刻的思想内涵，这在历史上被称为“数学的第一 次抽象”。 人们把一些“匹配”对象如手指、绳结、鹅卵石以及贝壳等等，慢慢 地演化为记数工具。 2.“匹配”方法的教学意义 与人类发展的初始状态一样，数字对儿童(人的个体的初始状态)来说也是非常抽象的。 因此,对处在“幼儿期”的儿童，大量的“匹配”动作是必不可少的。 我们说,“匹配”的方法，既是人类的智慧，也是人类的本能。 二．记数法 1.数觉 数觉就是个体对事物对象个数的知觉，由于数觉的局限,导致了人类采用熟悉的办法——“匹配”的方法来迎对来自自身生理上局限的挑战。 2.记数发展过程 人们广泛使用的“匹配”工具逐渐固定下来，这样计算工具就得到了 “升级”,形成了人类记数发展过程的第一个阶段：。 1 “上古结绳而治，后世圣人易之以书契。” 记数方法由“结绳”发展到“书契”，是一种意义重大的历史进步。 随着“书契”记数方法逐渐推广，人类进入了记数发展过程的第二个 阶段：。 数码计数就是用一定的符号来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示数。各个国家和民族用不同的符号 来表示数，如古巴比伦的契形数字，埃及的象形数字和中国的筹码数字等。 伴随着文字的不断创造，数码计数阶段也自然而然地跨入了记数发展 过程的第三个阶段 —— 。最典型的要数“中国数字”了， 即一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。这十个数字简洁美观，易 识易写，随即广为流传，并为后来的“十进位值制”的产生奠定文字基础。 3.印度?阿拉伯数字 现在国际上通用的阿拉伯数字“0，1，2，3，„，9，”是印度人对数学乃至对整个人类文化发展的重要贡献。 这些数字因阿拉伯人而传入欧州，所以人们就叫它们为“阿拉伯数 字”。 三．十进位值制 1．进位制的产生 历史上较为典型的进位制主要有，二进位制、五进位制、十进位制、 十二进位制和六十进位制。 很自然，手是人类天然的记数工具。如果说一只手是低级记数单位， 那么一双手就是高级记数单位了。这也许是二进位制产生的最早原型。 玻里尼亚群岛、美拉尼西亚群岛的居民至今仍使用五进位制。我国算 筹和算盘中就采用“以一代五” 的五进位制思想。 十进位制在各民族部落都有广泛的应用，特别是在我国把它用于算筹 之中，从而焕发出其具大的生命力。 另外,现今的时钟，一年的月数，中国的“地支”以及西方的“一打” 等都留有十二进位制的痕迹。 六十进位制记数法在古代巴比伦广为流行，并在稍晚的时候流传到别 的民族。如角度的度量，时间的分秒，“六十甲子”等都是六十进位制的 印记。 2.位值制 现代计数法中包含着三个重要的因素，它就是 ? 简洁的符号；?十进位制；?位值制。这三个因素是十进位值制之所以成为现代计数法的根 本原因。 然而，尽管有了简洁“印度?阿拉伯数字”，和有效的十进位制，记 数依然繁琐无序。因为现代计数法中的第三个因素，也是最重要的一个因 素 —— 位值制是记数法的灵魂。 2 所谓位值制就是同一数码符号在不同的位置表示不同的数值。这一做 法充分体现了固定（位置固定）与变化（符号变化）；有限（数码符号个 数有限）与无限（表示的数值无限）的辩正关系。 那么位值制首先在哪里使用的呢？毫无疑问在中国。主要的理由是萌 芽于殷商时代的算筹在世界上是独一无二的。 不仅如此，天才的中国先人还利用算筹创造出一个“零”，那就是“空 位”! 就是说，如果某一位上的数是0，则不放置任何算筹。 母庸置疑，这个被马克思称誉为“人类最美妙的发明之一”的十进位 值制的发明权应归属于谁，现在看来，已经再清楚不过了。 由于算筹的易散性和携带的不便性的弊端逐渐显现，人们就用更先进 的记数工具(后来发展为计算工具) —— 算盘取而代之。算盘秉承了算筹 的所有优点，并且发扬光大，它把计算方法推向一个新的高度 —— 珠算算法。 四．十进位值制的教学 探索这些人类在认识数的过程中表现出来的行为特征和心理现象，对 小学数学教学都具重要的引导作用。值得我们关注的有如下几点： (1)人类认识数时进行的“匹配” 活动是形成抽象的数字，进而进行数字 计算的必要前提。 (2) 直观是最好的老师。 (3) 十进位值制的发现过程中的辩证思维，给我们提供了良好的教育素材。 〖问题1.1〗 1.如何评价“匹配”方法在记数发展中的作用？ 2.记数发展过程一般分哪几个阶段,各具什么特点？ 3.十进位值制的产生对整个数学发展具有什么样的历史意义？ 4.中国算筹记数法具有什么特点？其记数方式、法则各是什么？ 5.在印度－阿拉伯数字中，零的出现较其他九个数字要晚，据史料考证， 零的发明权应归属于那些国家？ 6.自然数的发展历史给数学教育带来何种启示意义？ ?1.2整数 一．负数的产生 3 早在西汉时期(约公元前2世纪)，就已经使用赤筹表示正数，用黑筹 表示负数。约成书于公元50至100年间的名著《九章算术》在其第八章 “方程”章也述及正负数的概念。 魏晋时期(公元220～420)，刘徽注释《九章算术》，指出“今两算(筹) 得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”基本 上引用了西汉时期的做法。 另外印度也是较早研究负数的国家之一。欧州直到15世纪在对方程 的讨论中才首次出现负数。 二．正负数的运算 《九章算术》“方程”章第3题给出正负术曰：“同名相除，异名相益， 正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入 负之。” 在我国正负数概念的引入，正负数运算法则的形成，在世界数学发展 史上是十分值得称道的。不仅比西欧发现得早，而且比印度的发现也要早 四、五百年之久。 三．负数概念及正负数运算的教学 1．既要重视对负数的认识问题，也要重视负数产生的原由（计算上的需 要）问题。 2．在自然数向整数的扩充，即引入负数的过程中，对学生来说，遭遇的 最大问题与其说是认识障碍还不如说是“心理障碍”。 3．建议直接通过数的计算这个角度来引入负数，先解决“心理问题”再 解决认识问题。 4．学生在学习负数过程中产生的另一问题是符号。可否参照中国算筹的 颜色区分或位置区分的方法进行过渡。 〖问题1.2〗 1. 负数最早产生于哪个国家？ 2. 中国古代使用负数与现代相比具有什么不同的特点？ 3. 负数的历史对于现代数学教育具有什么启示意义？ ?1．3 分 数 一．分数的产生 4 1.分数含义的解释 虽然各个国家语言文化的背景不尽相问，但对“分数”一词的解释大 体一致，那就是“被分割的数”。 2．分数的应用 据记载，古埃及人是最早用“单位分数”进行度量的。而我国殷商(公 元前12世纪)时期也已用“半”等作为度量位了。 除了中国之外，其他国家分数理论的形成则比较晚了。如印度直到公 元八世纪才提出了分数的有关理论。 3．分数理论的形成 《九章算术》第一章“方田”章中对分数作了详细说明。 首先是名称的来源。书中把分子、分母在运算前称为子、母，这恐怕 是分子、分母名称的最早记录了。 而在运算过程中则称实、法，即所谓“上实”、“下法”，这样的处理， 就把分数和除法运算完美地结合起来了，达到了高度的统一。进一步地书 中明确提出了分数的四则运算。 总之，早在公元五世纪左右，中国已经建立起较为完整的分数理论了， 这是一个非常了不起的成就。 二．分数发展历史的启示意义 首先，中国古代的记数法非常先进，特别是十进位值制的算筹记数法 为分数理论的建立提供了坚实的基础。 其次，中国古代数学以“算”著称，非常注重实际。 第三，刘徽并不满足《九章算术》已有的“算法”，而进一步致力“算 理”的探索研究工作。 最后，中国古代分数理论的发展过程经历了三个阶段，即方法创造阶 段、实际应用阶段和理论完善阶段。 〖问题1.3〗 1. 早在《九章算术》中就把分数和除法运算完美地结合起来了，这给数 学教学特别是小学数学教学有何启发？ 2. 通过对分数历史的分析,你认为应如何更好地进行分数的教学？ ?1.4 小 数 一.小数的产生 有了十进制记数法的广泛使用，再加上完善的分数理论，小数的产生 自然是水到渠成了。而这两个条件同时都较为成熟的国家毫无疑问首推中 5 国。 公元263年刘徽注释《九章算术》之开方术时，就明确提出了十进小 数的概念和记法,然而正式采用十进小数的现代符号记法已经是一千多年 后的清朝了。 由于符号使用上的落后，使得中国对“十进小数”的发明权几乎拱手 让与他人。可见符号对数学来说是何等的重要！ 二.数点的演变历史 1.利用“单位”表示小数 2.利用“名称”表示小数 3.斯台文表示法 4.布尔吉表示法 5.克拉维斯表示法 1593年克拉维斯使用小黑点，从此现代小数表示法得以确立。 〖问题1.4〗 1. 为什么说世界上最早使用（十进）小数的国家是中国？ 2. 一个小小的小数点从无到有、从烦琐到简单,都经历了长时间的演化过 程,这一点给数学符号的教学能带来什么启示？ ?1.5 无理数 一.无理数的产生 无理数就象立于一个叉路口的路碑，沿着不同方向的两条路而来匀能 发现它的存在，只是由一个方向来的人已经到了它的面前竟然视而不见， 而来自另一方向的人却有意躲避它。前者就是中国，后者则为古希腊。 1.无理数与中国 《九章算术》第四章“少广”章开方术中称“若开之不尽者，为不可 开，当以面命之。” 刘徽在注释《九章算术》中对于开方不尽的数如何求其平方根的近似 值的问题，采用继续开方，求其微数的方法。这样求得的数，离“无限不 循环小数”己近在咫尺了，但是中算家素有“注重实效” 的传统，在他看来已是“不足言之也”，从而使得我们中国与无理数迎面而遇却失之交 6 臂。 2．无理数与古希腊 毕达哥拉斯学派是一个兼有政治、宗教和哲学(数学)性质的团体。他们把“万物皆数(shǔ)”作为他们的哲学基础和理论出发点，认为“数是 现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒 关系”，因而数是最具“理性”的。 他们只相信直角三角形的三边之比都应是整数比，这与他们的理论基 础是一致的。 然而毕达哥拉斯的学生发现了不可通约(不可公度)现象的存在。 例如，直角边为1的等腰直角三角形，其斜边既不是整数也不是分数， 也就的说，根本就找不到一把这样的尺子(那怕这尺子非常短)，它既能度量直角边整数次，也能度量斜边整数次。 对于毕达哥拉斯学派来说，他们已经步入这样的两难境地，如果不承 认它(无理数)的存在，事实却让他们无法解释；如果承认它的存在，学派 赖以存在的“万物皆数”的思想基础将被动摇。 由于古希腊数的思想理论基础并不牢固，人们对它的学术成果开始怀 疑，在思想上也表现出极度的困惑和混乱，由此产生了数学历史上的“第 一次数学危机”。 二．无理数的认识 将近一百年后，欧道克斯(Eudoxus，希腊，公元前408～ 前355)提出了一个具有历史意义的观点，他认为量（欧道克斯称之为变量）是连续变动的，而数与量不同，是从一个跳到另一个的，如从4跳到5。 欧道克斯的这种“数”与“量”的分离法，使人们暂时忘却了因“无 理数”而引起的内心忧虑。 直到 “文艺复兴”的繁荣时期(1400～1600年)，无理数开始慢慢地被人们接受和使用。 但是，关于它的所有疑惑仍旧存在。人们表现出的是一种既乐意接受 它又心存疑虑的矛盾心理。 而后来的数学家像哈里奥特、沃利斯、斯台文和笛卡尔等人则承认无理数是独立存在的东西，是地地道道的数，这也是人们对实数理论进行探 索的思想开端。 三．无理数的教学 无理数教学存在的问题： (1)从“小数”引出“无理数”，给人一种“牵强”的感觉。 (2)“无理数”的名称往往给学生造成心理上的疑惑。 7 (3)与人类一千多年始终依赖几何量来理解无理数的历史一样，学生也不可 能在“瞬间”就能摆脱几何量，直接去理解“数的连续性”。 〖问题1.5〗 1. 刘徽和毕达哥拉斯学派“接近”无理数的角度有何不同？ 2. 在意大利南端创建一个兼有宗教、哲学和政治性质的秘密团体，致力 于数学和哲学基础的探讨，他们将算术和几何结合起来，并发现了勾股 定理和黄金分割，这一团体属于什么学派？ 3. 什么是数学历史上的“第一次数学危机”？它是由什么问题引起的？ 4. 刘徽和毕达哥拉斯学派“接近”无理数时,各自体现了出什么样的数学 风格？ 5. 无理数的曲折历史对于现代数学教育具有何种启示意义？ ?1．6 实 数 一．实数理论的历史背景 十九世纪初期，柯西(A．L.Chauchy,法国，1789～1857)建立极限理论，把牛顿（Isaac.Newton,英国,1643～1727）、莱布尼兹(G．W．Leibniz，德国，1646～1716)的微积分理论向前推进了一大步。 牛顿、莱布尼兹建立在几何直觉上的微积分理论“漏洞百出”。 为了弥补这些“漏洞”，柯西完全放弃几何直观，用极限方法在理论 上对微积分(特别是无穷小量)加以解释和完善，化解了第二次数学危机 （指无穷小量）给人们带来的种种困惑。 随后的德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass，1815～1897)提出， 柯西理论实质上是凭借“运动直观”来叙述极限概念的，这依然不是“真 正的严格”，是不可靠的。 就这样，他（维尔斯特拉斯）超越了柯西的“动态描述法”，而给出 ,他的“静态描述法”来定义极限，即著名的“ε-”语言。 但是此后不久数学家们便发现，他们搭建的“亭台楼阁”虽然“完美 无比”，可“地基”却并不牢固。这个“地基”就是实数理论。 二．实数理论的建立 1872年戴德金(R.Dedekind，德国1843～1930)在直线分割的启发下 (这也是一种“量的直观”)给了著名的“有理数分割”(即戴德金分割)，从而定义了实数并建立了实数理论，这标志着数学分析的基础理论的建 立。 8 1883年康托尔(G．Cantor，德国，1845～1918)、维尔斯特拉斯和梅雷(C．Meray，1835～1911)给出了与戴德金所作等价的实数定义。 1886年斯图尔茨(?)把无理数定义为“无限不循环小数”。 然而，实数理论赖以建立的有理数是否可靠，值得怀疑。为此人们在 自然数的基础上重新定义有理数并建立起相应的有理数理论。 “自然数就那么可靠吗?” —— 人们又一次提出了心中的疑问。 最终，人们自然数自身固有的性质来定义自然数，并建立起了相应的 自然数理论。 ?可数性 —— 自然数基数理论。康托尔以集合中事物对象的个数为 “基数”来定义自然数，从而建立了自然数基数理论。 ?有序性 —— 自然数序数理论。皮亚诺(G．Peano，意大利，1858～ 1932)于1889年著《算术原理新方法》阐述了自然数序数理论。 〖问题1.6〗 1. 为什么说柯西的极限理论依然不是“真正的严格”？ 2．人们又一次面对自然数时，是如何摆脱“直观”和“默认”，而严格定 义自然数的？ 3．实数理论是在什么样的历史背景下建立起来的？ 4．实数发展历史过程中，人们表现出来的追求严密的科学精神对数学教 育有何启示意义？ ?1．7 复 数 一．复数发展的历史背景 印度数学家婆什伽罗(Bhaskara,1114～1185)在研究方程时注意到了 负数的开平方问题， 但他并没有意识到“负数的开平方”的背后隐藏着 巨大的数学奥秘。 直到1545年，意大利数学家卡丹(G.Cardano, 1501～1576)在解方程 时涉及到“负数平方根”后，这一问题又重新引起了人们的关注。但是卡 丹对负数的平方根到底是否存在，深存疑虑，所以他不得不称这个表达式 是“虚构的”、“想象的”。 数学大师欧拉(L.Euler,瑞士，1707～1783)在使用虚数时，也认为“一 切形如、的数学式，„„纯属虚幻。” ,1,2 直到十八世纪，挪威的测绘员威赛尔和巴黎的会计师阿尔干借助于法 国数学家笛卡尔(G.Descartes,1596～1650)的平面直角坐标系，给复数作 出了令人信服的几何解释。 从开始注意到虚数，人们耗费了六百多年的时间，才认清它的真正面 目，究其原因可以归纳为两条： 9 (1)思维定势：因“负数的平方根”是由数的运算(或解代数方程)而产生的， 人们理所当然地认为它也应该足通常理解的、熟悉的数 —— 实数，也应 符合实数的运算法则。 (2)条件限制：人们的思维不能从“一维”的定势中跳出来而进入“二维”， 与平面直角坐标系这个条件还不成熟有着直接的关系。 二. 对复数教学的思考 中学生的整个数系的学习过程，基本上与数学历史上数系的发展脉络 相吻合。在他们的学习过程中，也不可避免地会产生对“虚数”的困惑， 这种“困惑”与数学历史上人们探索复数时所产生的“虚幻感”完全相同。 他们(中学生)同样受到“思维定势”的困扰，同样摆脱不了“一维”思维 方式的束缚。 中学生在学习中对“虚数”表现出的困惑主要表现在： （1）表现出激烈的内心冲突。 （2）对新学的知识难以接受和认同。 （3）无法理解复数的本质。 在复数教学可作如下设想： ? 避免重复前人所走的弯路。 2? 放弃使用 “x+1=0是否有解，解是什么？” ? 以“二维”的思维方式引出复数概念。 〖问题1.7〗 1. 历史上第一个发现“复数”的数学家是谁？是在研究什么问题时发现 的？ 2. 从发现虚数到真正认识它，数学家们花费了几百年时间,这在整个数学 历史上是罕见的。你认为其中的原因是什么？ 3. 复数不平凡的历史给现今数学教学带来什么启示？ 10