【doc】换远放缩思路综合探究

【doc】换远放缩思路综合探究 换远放缩思路综合探究 12囊学篇《数理化解题研究}2OLO年第6期 ', 像舍探;….-._.-一-.-..-.-.-.-.- , 甘肃省高台4-g一中学(734300)郭惠英? 换元与放缩是高中数学中的两个重要的解题方 法与技巧,融含深刻逻辑推理与数学转化思想.理解 这两种方法本质与强化这两种思维的应用,能够使知 识低层次不断分化,高层次重新组合,形成科学高效 的思维,促使创新能力发展.换元与放缩两种思路的 结合应用,更会使许多问题求解变得简捷高效,更加 有利于培养思维的灵活性,发散性,独创性,形成深刻 的洞察力.本文集锦一些两种方法结合应用的题目, 在分类认识的基础上,通过与常规思路的对比,达到 启迪思维的妙用. 一 ,换元放缩在含参方程中的应用 例1若关于的方程l6+(4+口)?4+4= 0有解,则实数a取值范围是() A.(一O0,一8]u[0,+.o)B.(一,一4] C.(一8,一4]D.(一O0,一8] 解法一常规思路 令t=4(t?O),原方程可化为 t+(4+a)t+4=0. 由题意知此方程需要有正根,所以??0且两根 之和为正数,则可得不等式组:f+4一16?0, L一(a+4)>0, 从而易得:a?一8. 解法二换元放缩思路 令t=4(f?0),原方程可化为 t2+(4+口)t+4=0. 移项并两边同除以t(t>0),则可知: (4+口一,一??一4, 从而易得:a?一8. 点评第一种方法是换元与一元二次根的判别 式结合求解,是换元转换后首先想到的基本思路.第 二种换元转换后采用方程形式的等效转换,得到了有 效形式后采用基本不等式放缩得到了结果.显然第二 种方法求解过程简捷高效,有利于思维深层次的训 练换元后将复杂方程转换为一元二次方程是解题的 基础,应用换元后自变量的定义域,使方程转化为函 数的形式是解题的关键,利用基本不等式放缩后得到 结果是解题的技巧. 二,换元放缩在不等式中的应用 例2已知a,b,C,d?R,求证:ac+6d? ,//(口+b.)(c+d2). 解法一常规思路 因为(a.b)(C+d)一(ac+bd)=(bc+ ad)?0,所以(a+b)(c+d)?(ac+6d), 所以v/(n+b)(c+d)?10c+6dJ?ac+ 6d,且p:0c+bd?~/(口+b)(c+d). 解法二换元放缩思路 设I.co'』.2c0'(,,r均为变tb=I$1'nol,L=r2sin 量),则 ac+bd=rlr2cosotco+r1r2sino~si =rlr2cos(一)?Ir1r2I. Ir】r'I=l,】Ilr2I=+b??c+d = ?(0+b)(c+d), 即:0c+bd??(0+b)(c+d). 点评第一种应用的是差值比较与放缩法直接 得到了结果.第二种采用三角换元的方式,利用三角 函数的值域进行放缩得到l『结果.从形式上看,第一 种解法比第二种解法思维直接,解题过程简单,但第 一 种解法需要多次转换,思维歧点较多.第二种采用 三角转换后,歧点较少,开辟直接到达结果的目的.利 用三角换元是解题的基础,利用三角函数的值域进行 放缩是解题的关键,利用三角函数的性质使三角形式 转换为原不等式是解题的技巧. 三,换元放缩在含参不等式中的应用 例3已知?R时,3一(k+1)?3+2>0. 则Jj}取值范围是() A.(一O0,一1)B.(一O0,2?2一1) 路, 粤一 缩, 放一 方一 拯, ?..._.- ., 《数理化解题研究))2olo年第6期数学篇l3 C.(一1,2?2—1)D.(一2J2—1,242—1) 解法一常规思路 设t=3(t>0),则原不等式可转化为: t.一 (+1)t+2>0. 对应的方程t一(+1)t+2=0的?=(+1) 一8=.+2一7. (1)当一2?2—1<后<2?2—1时,?<0,方程 t一(+1)t+2=0无实根.不等式t一(+1)t+ 2>0恒成立.因此当?(一2?2—1,245—1)时, 不等式3h一(+1)?3+2>0是成立的. (2)当?一2一1或?2一1时,??0, 方程t一(+1)t+2=0有实数根.设此方程两个实 根为tl,t2,且t?t2.要使得t>0时不等式t一(七 十1)t+2>0成立,则方程t一(+1)t+2=0的 大根t2?0.因为t?t2=2>0,所以t2?0. 又因为t+t2=+1<0,即:后<一1. 结合分析条件?一2一1或?2一1可 知:?(,..,一2?2—1],且p当?(一?,一2? 一 1]时等式3h一(+1)?3+2>0是成立的. 只要满足(1)或(2)结果,3h一(+1)?3+2 >0均成立,因此取值范围是(一..,2一1). 解法二换元放缩思路 令3=(t>0),则原式可转换为: t一(+1)t+2>0. 移项并两边同除以t(t>0),则可知:+1<t+ ,'1 ?.而由不等式的性质可知:t+??2,' 所以+1<2?2,且p:<2?2—1. 所以取值范围是(一o.,2?2—1). 点评第一种方法是换元与二次函数的性质结 合求解,根据函数的开口向上,利用根与系数关系,就 可讨论t>0使不等式成立条件,是换元转换后首先 想到的基本思路.第二种方法是换元转换后将不等式 等效转换,得到了有效形式后采用放缩得到了结果. 通过对比,第二种方法思维过程简单,省时灵活,将参 数特性充分显示在不等式中,使这个辅元,转换了角 色,变成了主元得到了讨论.换元后将复杂方程转换 为一元二次不等式是解题的基础,应用等效转换的形 式将辅元参数转换为主元是解题的关键,利用不等式 的性质放缩后得到结果是解题的技巧. 四,换元放缩在函数中的应用 t~,l4函数y=的值域是——. 解法一常规思路 令=,?0, 则原函数可转换为:),:. 进而可看作以Y为参数的方程,即: yt一t+),=0. 此方程有非负实根的充要条件是:(1)Y=0时, 代入方程,即可得t=0,满足题意. (2)y?0时,根据方程有大于零的实根,两根之 和等于一次项系数的相反数得不等式组: 』?=4,【 ,l?2?>0, 解得yE(0,?].综合(1),(2),Y?(0,?]. 解法二换元放缩思路 令t=+4?0, 则原函数可转换为:),==__?丢. 十了 又从函数的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式可知,Y?0,所以,,?[0,?]. 点评第一种方法采用换元将函数转换成含参 方程,使得函数变成了参数,利用一元二次方程根的 判别来求解函数的值域.第二种方法换元后,利用换 元后自变量的定义域直接对函数形式转换,采用放缩 形式得到结果.第二种方法求解息路简单,求解过程 明了,彰显了数学思维的简捷美.换元转换是解题的 基础,形式转换是解题的关键,应用放缩是解题的技巧. 五,换元放缩在二元函数中的应用 例5已知 f [2x + Y y:22.0,求?.g(3++一? 3)的应用. 解析不等式组对应的 可行域如图1中的阴影及以上 的部分.图1 l%(3+3r)?log92=l.g2+(= Y时取等号). 14数学篇《数理化解题研究))2olo年第6期 令z=+),,易知直线y=一+:过点(, )时,取最小值_.4 l0g9(3+3y)?l0g92+??l0g92+?, 从而当=y=?时,1og(3+3y)取最小值 log92+. 点评本题只能在线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 的基础上利用换元 放缩得到结果.将问题建立在线性规划的基础上求解 的思维方式是解题的基础,采用放缩与换元的方式将 所求复杂函数转换为线性规划的目标函数是解题的 关键,做图找到可行区域是解题的技巧,理解换元函 数是目标函数的截距就能使问题得以解决. 山东省惠民县第一中学(251700)关丽? 导数,函数一直是高考中的重点,而切线问题很 好地体现了导数在函数中的应用,将两者有机地结合 起来,在近几年各省市考试题中频繁出现.下面谈谈 三种易混类型的切线方程的求法. 一 ,求曲线某点处的切线方程 例1(2009年北京卷)设函数.厂()=e(? 0),求曲线Y=)在点(00))处的切线方程. 分析此点为曲线的切点,该点处的导数即为 切线的斜率. 解因为0)=0且f()=(1+kx)e", 所以点(0,0)处的切线斜率=f(0)=1. 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为,:. 二,求曲线过某点(此点不在曲线上)的切线方 程 例2已知函数.厂()=一3x,过点A(0,16)作 曲线Y=)的切线,求此切线方程. 错解因为厂()=3x一3,所以f(0)=一3, 所以切线方程为Y一16=一3(一0),即Iy=一3x+l6. 分析本题错解的原因在于将点当成曲线的 切点来考虑,认为=0处的导数即为过点的切线 斜率.实际上A点坐标不满足函数方程,不在曲线上. 要求过点的切线就要用好切点,没有切点就要设 出.切点如同一个桥梁,连接了曲线与切线,它即在曲 线上又在切线上,而且曲线所对函数在切点处导数是 切线的斜率. 解设过A点的切线与曲线相切于点P(.,一 ::'. .. .. .. II ::二. 3),所以切线斜率为直线AP的斜率,即 , 一 30一l6 :——————————_ 0 因为-厂()=3x一3,所以切线的斜率又为P点 处的导数即切线斜率k=3x一3. 由上述两个关于k的式子得.=一2,代人关于 k的式子得k=9,所以所求切线方程为Y=9x+16. 三,求曲线过某点(此点在曲线上)的切线方程 例3已知函数)=一3x,过点B(2,2)作 曲线Y=)的切线,求切线的方程. 分析此题乍一看和例2相同,仔细考虑不难发 现例2中的点A不在曲线上,而本题中的点B在曲线 上.问题来了,点B是不是切点?因而考虑分类讨论两 种情况.学生在做本题时易忽视讨论产生漏解. 解(1)当点B为切点时,因为f()=3x一 3,所以f(2)=9.所以点B处的切线方程为Y一2= 9(一2),即Y=9x—l6. (2)当点B不是切点时,设切点为P(.,一 3x.)(.?0),又厂():3x一3,则所求切线的方 程为Y一(一3Xo)=(3一3)(一.). 由于切线过点B(2,2),所以 2一(一3x.)=(3一3)(2一.), 解得.=一1或.=2(舍). 又因为f(一1)=0,所以切线方程为Y一2=0. 综上(1)(2)知,所求切线方程为Y=9x一16或 1,:2.